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Übungsaufgaben & Musterlösungen gemische Aufgaben

Gemischte Übungsaufgaben

Aufgabe 1

a) Ordne der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.

-0,6 6/100 -1/6 0,16

b) Lea behauptet: „65% sind mehr als 25/30“. Hat Lea recht? Überprüfe die Behauptung durch eine Rechnung.


Aufgabe 2

In einem Beutel befinden sich 8 grüne, 2 gelbe und 6 rote Kugeln.

a) gib die Wahrscheinlichkeit an, eine gelbe Kugel zu ziehen.

b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Es wird eine grüne oder eine rote Kugel gezogen“.


Aufgabe 3

Löse das lineare Gleichungssystem.

  1. 3x+4y=22

  2. 5x-4y=-6

Aufgabe 4

--> siehe Abbildung Aufgabe 4

 

Paul behauptet: „Wenn der Winkel alpha 7,1° beträgt, ist die Höhe u=17,7cm.“ Hat Paul Recht? Begründe durch eine Rechnung.


Aufgabe 5

Weise nach, dass der Punkt S(50/20) der Scheitelpunkt der Parabel f(x)=-0,008x²+0,8x.


Aufgabe 6

Kaffee ist das Lieblingsgetränk der Deutschen. Im Schnitt trinkt jede Person ca. 165 Liter Kaffee im Jahr, davon 5% aus Pappbechern.

Wie viel Kaffee (in Litern) trinkt jeder Deutsche jährlich aus Pappbechern?


Aufgabe 7

Ein Pappbecher hat die Form eines Kegelstumpfes.

Das Volumen des Kegelstumpfes lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

V=(r1²+r1*r2+r2²)*(pi*h)/3

a) Ein Pappbecher hat die Maße r1=3cm, r2=3,5cm und h=8,5cm. Berechne das Volumen des Bechers mit der angegebenen Formel.

b)Lea berechnet das Volumen näherungsweise mit der Formel für den Zylinder. Als

Radius nimmt sie den Mittelwert der beiden Radien des Kegelstumpfes, die Höhe bleibt gleich. Lea behauptet: „Das Ergebnis weicht um weniger als 1 % vom Ergebnis des Kegelstumpf-volumens ab.“ Hat sie recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.


Aufgabe 8


--> siehe Abbildung Aufgabe 8


a) Berechne die fehlende Länge der Seite b im Dreieck.

c) Entscheide, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen a=6cm, b=8cm und c=10cm rechtwinklig ist. Begründe deine Antwort.


Aufgabe 9

a) Löse das Gleichungssystem:

  1. 2x+y=14

  2. 3x-2y=7

b) Begründe, warum das folgende lineare Gleichungssystem keine Lösung hat.

  1. y=4x+8

  2. y=4x+5

     

 

 

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Musterlösungen gemischte Übungsaufgaben

Aufgabe 1

a) -0,6 -1/6 6/100 0,16

b) 65% sind als Bruch 65/100. Um jetzt beide Brüche (also 65/100 und 25/30) besser miteinander vergleichen zu können, muss man sie auf einen gemeinsamem Nenner bringen:

GN=300 65/100*3/3=195/300 und 25/30*10/10=250/300

Jetzt kann man deutlich erkennen, dass 250/300 mehr als 195/300 sind, also ist der Bruch 25/30 größer als die Prozentzahl 65%. Lea hat also Unrecht mit ihrer Behauptung.


Aufgabe 2

a) Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Farben lassen sich in Brüchen angeben: In dem Beutel befinden sich insgesamt 16 Kugeln, also steht im Nenner jeweils eine 16. 8 der 16 Kugeln sind grün, d.h. die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, beträgt 8/16 (gekürzt ½). 2 der 16 Kugeln sind gelb, d.h. die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, beträgt 2/16 (gekürzt 1/8). 6 der 16 Kugeln sind rot, d.h. die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 6/16 (gekürzt 3/8).

Du kannst das Ergebnis auch in Prozent angeben: 1/8=0,125*100%=12,5%.

b) Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zu bestimmen, musst du die Summenregel anwenden. Wenn du in Aufgabe a) noch nicht die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für „Ziehen einer grünen Kugel“ und „Ziehen einer roten Kugel“ berechnet hast, solltest du dies zunächst tun:

p(grün)=1/2=50% und p(rot)=3/8=0,375=37,5%

p(E)=p(grün)+p(rot)=1/2+3/8=4/8+3/8=7/8 oder 50%+37,5%=87,5%


Aufgabe 3

  1. 3x+4y=22

  2. 5x-4y=-6

Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein Gleichungssystem zu lösen: das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und die quadratische Ergänzung.

Betrachtet man beide Gleichungen, kann man erkennen, dass die Variable y in beiden Gleichungen 4 Mal vorkommt und mit unterschiedlichem Vorzeichen auftritt: Gleichung I) +4y und Gleichung II) -4y. Es bietet sich demnach an, das Additionsverfahren zu Verwenden:

  1. 3x+4y=22 /I)+II)

  2. 5x-4y=-6

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I)+II) 8x=16 /:8 → Durch die Addition beider Gleichungen fällt die Variable y weg x=2 (+4y-4y=0). Alle anderen Werte werden addiert (3x+5x=8x und 22+(- 6)=16). Jetzt lässt sich die Gleichung lösen, d.h. der Wert für die Variable x lässt sich ermitteln.

Um nun den Wert für die Variable y ermitteln zu können, setzten wir den Wert für x in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein:

x=2 → I) also: 3*(2)+4y=22

6+4y=22 /-6

4y=16 /:4

y=4 → Durch lösen der Gleichung lässt sich der Wert für y ermitteln.

Nun muss die Lösung nur noch notiert werden:

L{2/4}


Aufgabe 4

Wir kennen die Länge der Hypotenuse des Dreiecks. Die von Paul genannte Länge u ist in diesem Fall die Gegenkathete von alpha. Mithilfe des Sinus lässt sich der Winkel alpha bestimmen. Beträgt der erhaltene Winkel 7,1° hat Paul mit seiner Aussage Recht.

Kosinus eines Winkels=Gegenkathete/Hypotenuse

Zunächst müssen alle Zahlen in die gleiche Einheit umgerechnet werden: 17,5 cm*10=175mm (so umgehen wir Komma-zahlen)

Kosinus(alpha)=117mm/1435mm=0,0815

0,0815 als Prozentzahl ist 8,15%

Somit beträgt der Winkel alpha bei einer Gegenkatheten-Länge von 17,7cm 8,15% Paul hat also Unrecht mit seiner Behauptung.


Aufgabe 5

Die Funktion f(x) steht in der Normalform f(x)=ax²+bx+c. Um den Scheitelpunkt der Funktion zu bestimmen, verwendet man das Verschiebungsverfahren:

f(x)=-0,008x²+0,8x

g(x)=-0,008x²+0,8x → Es wird zunächst die Funktion g(x) aufgestellt, indem man die hinterste Zahl c einfach weglässt. Das bewirkt, dass die Funktion sich so verschiebt, dass sie durch den Ursprung verläuft. Da in diesem Fall die Funktion f(x) keinen Wert für c hat, nimmt man die selbe Funktion.

g(x)=0

-0,008x²+0,8x=0 → die Funktion g(x) wird gleich 0 gesetzt

-0,008(x²-100x)=0 → die Zahl vor dem x², also -0,008, muss ausgeklammert werden

-0,008[x(x-100)]=0 → x wird ausgeklammert

Jetzt können wir für x1 und x2 Werte nehmen, die den Term 0 ergeben lassen. X1 ist das x vor der klammer und damit immer 0, denn: 0*(...)=0. X2 ist das x in der Klammer. Der Wert für 52 muss so gewählt werden, dass der Inhalt der Klammer 0 ergibt, denn; ...*(0)=0.

x1=0 x2=100 (denn: (100-100)=0).

Indem x1 und x2 addiert und anschließend durch 2 teilt, erhält man die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

xs=(x1+x2)/2=(0+100)/2=50

Um die y-Koordinate des Scheitelpunkts zu bestimmen, muss man nun den erhaltenen Wert für x in die ursprüngliche Form f(x) einsetzen:

f(50)=-0,008*50²+0,8*50=-0,008*2500+40=-20+40=20

Als Scheitelpunkt ergibt sich also:

S(50/20)


Aufgabe 6

165 l*5%=165 l*5/100=825/100=8,25 l

Jeder Deutsche trinkt jährlich 8,25 l Kaffee aus Pappbechern.


Aufgabe 7

a) V=(r1²+r1*r2+r2²)*(pi*h)/3

V=(3cm²+3cm*3,5cm+3,5cm²)*(pi*8,5cm)/3=(9cm²+10,5cm²+12,25cm²)*(pi*8,5cm)/3=31,3cm²*(pi*8,5cm)/3=278,6069cm³

b) Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders: V=pi*r²*h

r=Mittelwert der Radien des Kegelstumpfes

Mittelwert berechnen: (x1+x2)/2 also: (3cm*3,5cm)/2=10,5cm²/2cm=5,25cm

h=8,5cm

Einsetzen in die Formel: V=pi*5,25cm²*8,5cm=140,194cm³

1% von 278,6069cm³ berechnen: 278,6069cm³*1%=278,6069cm³*1/100=2,786069cm³

278,6069cm³-2,786069cm³=275,820831cm³

278,6069cm³+2,786069cm³=281,392969cm³

Würde das von Lea erzielte Ergebnis nur um weniger als 1% vom richtigen Ergebnis abweichen, dürfte Leas Ergebnis nicht kleiner als 275,820831cm³ oder größer als 281,392969cm³ sein.

Lea hat also Unrecht mit ihrer Behauptung.


Aufgabe 8

a) Da es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann man die fehlende Seitenlänge mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

SdP: a²+b²=c²

C ist dabei die Hypotenuse; die Seite, welche am längsten ist und dem rechten Winkel gegenüberliegt.

a=55cm b=? c=70cm

(55cm)²+x²=(70cm)²

3025cm²+x²=4900cm² /-3025cm²

x²=1875cm² /Wurzel ziehen

x=Wurzel aus 1875

x=43,301cm Die Seite c ist ca. 43,301cm lang.

b) Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann muss der Satz des Pythagoras gelten: a²+b²=c²

6²+8²=10²

36+64=100

100=100

Die Gleichung stimmt, daher ist das Dreieck rechtwinklig.


Aufgabe 9

a) I) 2x+y=14

II) 3x-2y=7

Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein Gleichungssystem zu lösen: das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und die quadratische Ergänzung.

Betrachtet man beide Gleichungen, kann man erkennen, dass man mindestens eine davon erst umformen muss, um eines der Verfahren anwenden zu können.

  1. 2x+y=14 /-2x

    y= -2x+14

Nun haben wir die Gleichung I) so umgeformt, dass das y auf einer Seite steht. Jetzt kann man das Einsetzungsverfahren anwenden:

  1. y= -2x+14 /I) in II)

  2. 3x-2y=7

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  1. in II) 3x-2*(-2x+14)=7

      3x+4x-28=7

      7x-28=7 /+28

      7x=35 /:7

      x=5

In die Gleichung II) wurde der Teil der Gleichung I) eingesetzt, welcher auf der anderen Seite des =-Zeichens zum y steht. So kann man das y in Gleichung II) durch einen Term mit x ersetzen, sodass eine Gleichung mit nur noch einer Variable, dem x, entsteht. Die Gleichung lässt sich lösen und man erhält den Wert für x.

Um den Wert für y zu ermitteln, muss man nun den Wert für x in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen:

  1. 2*5+y=14

    10+y=14 /-10

    y=4

Jetzt kann man die Lösung notieren:

L{5/4}

b) Variable x und y kommen in beiden Gleichungen in gleicher Häufigkeit vor. Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch den letzten Wert. Es handelt sich also um lineare Gleichungen mit gleicher Steigung, jedoch unterschiedlichen Schnittpunkten mit der y-Achse.

Um ein Gleichungssystem lösen zu können, muss man für beide Gleichungen den gleich x- und y- Wert erhalten.

Setzt man für x eine Zahl ein, z.B. x=1, kann man leicht feststellen, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist, da beide Gleichungen andere Werte für y erhalten würden:

  1. y=4*1+8=12

  2. y=4*1+5=9


Abbildung Aufgabe 4Abbildung Aufgabe 8