Binomialverteilung

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• Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
• Bernoulli-Formel
• Was bedeutet "binomialverteilt"?
• Binomialverteilung als Tabelle und Diagramm darstellen
• Formulierungen für Trefferzahlen
• Wahrscheinlichkeiten berechnen
• Umkehraufgaben / n Bestimmen
• k bestimmen
• p bestimmen
• Erwartungswert
• Maximum
• Varianz und Standardabweichung

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen wie z.B. das Werfen einer Münze. Wiederholt man das Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander, entsteht eine Bernoulli-Kette.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was ein Bernoulli-Experiment und eine Bernoulli-Kette ist. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen, meist Treffer und kein Treffer. Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker und Physiker.

Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, sodass die Durchführungen voneinander unabhängig sind, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Schauen wir uns mal ein paar Beispiele für Bernoulli-Experimente an. Das Werfen eines Würfels ist ein Bernoulli-Experiment, wenn du dabei nur zwei Ausgänge betrachtest, zum Beispiel sechs oder keine sechs. Wenn du einfach jede gewürfelte Zahl notierst, ist das kein Bernoulli-Experiment, denn dann gibt es ja sechs mögliche Ergebnisse.

Bei einem Bernoulli-Experiment darf es aber nur zwei geben. Wie beim Werfen einer Münze, denn entweder kommt Kopf oder Zahl. Ebenso bei einer Tombola.

Entweder ziehst du einen Gewinn oder eine Niete. Das ist zwar ein Bernoulli-Experiment, aber anders als hier bilden mehrere Durchgänge nicht unbedingt eine Bernoulli-Kette, da sie nicht unabhängig voneinander sind. Da du das Los nicht zurücklegst, ändert sich ja im nächsten Zug die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bzw.

eine Niete. Hier oben ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. Nur wenn es so viele Lose gibt, dass es praktisch keinen Unterschied macht, spricht man von einer Bernoulli-Kette.

Auch eine Qualitätsprüfung von Geräten oder Ähnlichem ist ein Bernoulli-Experiment. Das Gerät ist entweder defekt oder nicht defekt. 100 Geräte zu prüfen, ist aber nicht unbedingt eine Bernoulli-Kette der Länge 100.

Das hängt davon ab, wo du die Geräte entnimmst. Stammen sie aus einer Lieferung von 500 Stück, ist das keine Bernoulli-Kette. Entnimmst du die Geräte aber zufällig aus der laufenden Produktion, dann ja.

Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel ist das Herzstück der Binomialverteilung. Mit dieser Formel kannst du die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Durchgängen berechnen. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Mal eine Sechs zu würfeln bei 10 Versuchen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video leiten wir die sogenannte Bernoulli-Formel her, die in der Binomialverteilung steckt. Als Beispiel nehmen wir dieses Glücksrad. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt man bei drei Versuchen keinen, genau einen, genau zwei und genau drei Treffer? Als Treffer gilt, wenn das Glücksrad auf dem grünen Feld stehen bleibt.

Da es nur die Ergebnisse Treffer und kein Treffer gibt und das Ergebnis nicht vorhersagbar ist, ist das einmalige Drehen ein Bernoulli-Experiment. Das dreimalige Drehen ist dann eine Bernoulli-Kette der Länge 3. Unser Ziel ist es jetzt, eine allgemeine Formel zu finden, mit der man die Wahrscheinlichkeit von k Treffern bei einer Bernoulli-Kette der Länge n berechnen kann. Ein Viertel des Kreises ist grün, also ist das die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.

Drei Viertel des Kreises sind rot, das ist dann die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen. Damit zeichnen wir jetzt das zugehörige Baumdiagramm. Bei jedem Dreh bleibt das Glücksrad entweder auf dem grünen oder dem roten Feld stehen.

Bezeichnen wir das grüne Feld mal mit t für Treffer und das rote Feld mit n für Niete. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist ein Viertel, also 0,25. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer ist drei Viertel oder 0,75.

Beide zusammen müssen immer 1 ergeben. War der erste Dreh ein Treffer, kannst du beim zweiten Mal wieder einen Treffer oder keinen Treffer erzielen. Genauso, wenn der erste Dreh kein Treffer war.

Und auch beim dritten Dreh gibt es jeweils die Ergebnisse Treffer und Niete. Nun bestimmen wir mit den Pfadregeln die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Die Zufallsvariable x steht für die Anzahl der Treffer.

Bei dreimal drehen können wir 0 bis 3 mal treffen. Das ist dann die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer, für 1 Treffer und so weiter. Zu 0 Treffern gehört dieser Pfad.

Hier kommt dreimal das rote Feld. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,75 mal 0,75 mal 0,75. Also 0,75 hoch 3. Das Ausrechnen sparen wir uns für später.

Jetzt geht es erstmal darum, ein Muster zu erkennen und damit eine Formel aufzustellen. Mit genau einem Treffer gibt es drei Pfade. Diesen, diesen und diesen.

Für den ersten Pfad ist die Wahrscheinlichkeit 0,25 mal 0,75 mal 0,75. Für den zweiten Pfad ist die Wahrscheinlichkeit 0,75 mal 0,25 mal 0,75. Die Zahlen sind also die gleichen, nur die Reihenfolge ist anders.

Hier kam 0,25 an erster Stelle und jetzt an zweiter. Und für den dritten Pfad ist die Wahrscheinlichkeit 0,75 mal 0,75 mal 0,25. Die Zahlen sind wieder die gleichen, nur diesmal kommt 0,25 an dritter Stelle.

Beim Multiplizieren ist die Reihenfolge aber egal. Die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen dieser Pfade ist 0,25 mal 0,75 zum Quadrat. Und das nehmen wir einfach mal 3, da es drei Pfade sind.

Mit genau zwei Treffern gibt es ebenfalls drei Pfade. Diesen, diesen und diesen. Bei zwei Treffern muss immer 2 mal 0,25 und einmal 0,75 am Pfad dran stehen.

Logisch, oder? Hier auch 2 mal 0,25 und einmal 0,75. Und hier auch 2 mal 0,25 und einmal 0,75. Da die Reihenfolge beim Multiplizieren keine Rolle spielt, hat somit jeder der drei Pfade die Wahrscheinlichkeit 0,25 zum Quadrat mal 0,75.

Und da es drei solcher Pfade gibt, nehmen wir das mal 3. Zu drei Treffern gehört dieser Pfad. Hier kommt 3 mal das grüne Feld. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,25 mal 0,25 mal 0,25.

Also 0,25 hoch 3. Um eine Formel zu erkennen, müssen wir das Ganze aber besser ordnen. Hier steht immer die Anzahl der zugehörigen Pfade. Hier und hier gibt es nur einen Pfad, deshalb steht da nichts.

Aber genauso gut können wir ja dafür eine 1 hinschreiben. Das ergibt immer noch das gleiche wie vorher. Nun schreibst du hier und hier hoch 1, denn das ist ja dasselbe.

Und nun fügst du noch hier 0,25 und hier 0,75 hinzu. Aber jeweils hoch 0, da sie eigentlich gar nicht vorkommen. Jede Zahl hoch 0 ergibt 1, außer 0 hoch 0. Somit kommt hier und hier immer noch das gleiche raus wie vorher.

Nun schauen wir uns nochmal diese Zahlen an. Das war ja die Anzahl der Pfade mit zwei Treffern bei drei Durchgängen. Das bezeichnet man mit 3 über 2. 3 über 1 ist dann die Anzahl der Pfade mit einem Treffer bei drei Durchgängen.

Das ist die Anzahl mit null Treffern bei drei Durchgängen. Und das mit drei Treffern. Und jetzt ist es möglich ein Muster zu erkennen.

Hier steht immer die Anzahl der Durchgänge. Hier steht immer die Anzahl der Treffer. Also diese Zahl.

Auch diese Hochzahl entspricht der Anzahl der Treffer. Damit steht auch fest, wie oft wir dann bei drei Versuchen nicht getroffen haben. Wenn wir zweimal getroffen haben, müssen wir einmal nicht getroffen haben.

Diese beiden Zahlen zusammen müssen immer 3 ergeben, also die Anzahl der Durchgänge bzw. die Länge der Bernoulli-Kette. Wenn diese Zahlen von 0 bis 3 aufsteigen, steigen diese umgekehrt ab.

Das schreiben wir jetzt als allgemeine Formel auf. Die Anzahl der Treffer wird mit k bezeichnet. Dann muss auch hier und hier k stehen.

Die Gesamtzahl der Durchgänge wird mit n bezeichnet. 0,25 war ja die Trefferwahrscheinlichkeit. Das ist p. 1 minus 0,25 macht 0,75.

Also ist das 1 minus p. 3 minus 2 ergibt 1. Also ist das n minus k. Das ist die sogenannte Bernoulli-Formel. Damit berechnest du die Wahrscheinlichkeit, bei n Durchgängen k Treffer zu erzielen. Dieser Ausdruck wird Binomialkoeffizient genannt.

Schauen wir uns mal nur die Binomialkoeffizienten an und beginnen mit diesem. Ausgeschrieben ergibt das diesen Bruch. Hier ist also kein Bruchstrich.

Achte drauf, dass du nicht aus Versehen einen Bruchstrich machst. Du beginnst mit dieser Zahl und multiplizierst sie mit allen ganzen Zahlen, bis du bei 1 angekommen bist. Dafür schreibt man auch 3 Fakultät.

Hier ist das nur 2 mal 1. Und hier nur 1. Hier geht das nicht, weil 0 schon kleiner als 1 ist und du außerdem auf keinen Fall durch 0 teilen darfst. Dieser Wert wird daher 1 gesetzt. Und das passt ja auch, denn es gibt genau einen Pfad mit 0 Treffern, nämlich diesen.

Im Zähler beginnst du jeweils mit dieser Zahl und gehst rückwärts, bis du genauso viele Faktoren hast wie im Nenner. Hier stehen 2 Faktoren, also müssen hier 2 Faktoren stehen. Hier stehen 3 Faktoren, also müssen hier 3 Faktoren stehen.

Da Zähler und Nenner hier gleich sind, kürzen sie sich zu 1. Die übrigen Brüche rechnest du einfach aus. Wenn hier eine 1 steht, kannst du dir diesen Schritt auch sparen, denn es kommt immer diese Zahl raus. Beachte die Symmetrie.

Der erste und letzte Wert sind gleich. Ebenso der zweite und vorletzte Wert. Das sind hier schon alle Werte.

Aber wenn das eine längere Bernoulli-Kette wäre, würde das immer so weitergehen. Damit kannst du dir viel Rechenarbeit sparen. 3 über 3 ist ja die Anzahl der Pfade mit genau 3 Treffern.

Mit dem Binomialkoeffizienten kannst du diese Anzahl auch leicht für mehr als 3 Durchgänge ausrechnen. Zum Beispiel für 5. Im Nenner schreibst du 3 mal 2 mal 1. Das macht 6. Im Zähler beginnst du mit 5 und gehst runter, bis du 3 Faktoren hast wie im Nenner. Das ergibt 60.

Gekürzt macht das 10. Wiederholen wir den Versuch also 5 Mal, gibt es 10 Pfade mit genau 3 Treffern. Jetzt stell dir mal vor, wie groß dein Baumdiagramm das wäre.

Mit der Bernoulli-Formel brauchst du keine Baumdiagramme mehr. Nur damit du es mal gesehen hast. Auf das gleiche Ergebnis kommst du mit dieser Formel.

5 über 3 ist 5 Fakultät geteilt durch 3 Fakultät mal 5 minus 3 Fakultät. Hier ist dieser Bruch schon gekürzt. Allgemein ist n über k Fakultät geteilt durch k Fakultät mal n minus k Fakultät.

Aber das brauchst du dir nicht zu merken. Der Vollständigkeit halber rechnen wir diese Wahrscheinlichkeiten noch aus. Dafür hast du mehrere Möglichkeiten.

Die erste Möglichkeit ist, die Binomialkoeffizienten wie eben selbst zu berechnen und dann alles in den Taschenrechner einzugeben. Die Wahrscheinlichkeit zu treffen ist 0,4219, also rund 42%. Ebenso die Wahrscheinlichkeit, einmal zu treffen.

p von x gleich 2 ist 0,1406 und p von x gleich 3 ist 0,0156, also unter 2%. Die Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer 1. Die Binomialkoeffizienten kannst du auch mit einer Funktion deines Taschenrechners ausrechnen. Meist heißt diese ncr.

Hier würdest du zum Beispiel 3ncr2 eingeben. Oder du lässt den Taschenrechner gleich alles berechnen mit einer Funktion, die binompdf oder ähnlich heißt. Dafür gibst du diese Zeile nicht direkt ein, sondern teilst dem Taschenrechner nur mit, was n, p und k sind.

Hier wäre n gleich 3, p 0,25 und k 2. Dann gibt dir der Taschenrechner sofort das Ergebnis aus.

Was bedeutet "binomialverteilt"?

Häufig steht in einer Aufgabe: "Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt." Hier erfährst du, was damit gemeint ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was mit Binomialverteilung gemeint ist. Wenn sich eine Zufallsvariable x als Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben lässt, heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Wahrscheinlichkeit für k-Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n berechnet man mit der Bernoulli-Formel. Statt p von x gleich k kannst du auch das schreiben.

Schauen wir uns zwei Beispiele für Binomialverteilungen an. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Die Zufallsvariable x zählt die Treffer.

Man gewinnt, wenn das Glücksrad auf dem grünen Feld stehen bleibt. Drehen des Glücksrads ist somit ein Bernoulli-Experiment, denn entweder gewinnt man oder nicht. Das dreimalige Drehen ist dann eine Bernoulli-Kette der Länge 3. Da x die Trefferzahl bei dieser Bernoulli-Kette ist, ist x binomialverteilt mit n gleich 3 und p gleich 0,25.

Denn die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist 0,25, also ein Viertel. Da ein Viertel des Kreises grün ist. Die Kurzform dafür sieht so aus.

Das b steht für Binomialverteilung. Dann kommt die Anzahl der Durchgänge und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. Und das zweite Beispiel? Ein Würfel wird fünfmal geworfen.

Die Zufallsvariable x zählt die Sechsen. Es geht also nur um die Ergebnisse 6 und keine 6. Somit ist Würfeln hier ein Bernoulli-Experiment. Fünfmal würfeln ergibt dann eine Bernoulli-Kette der Länge 5. Eine 6 bedeutet einen Treffer.

Damit entspricht x der Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette. x ist demnach binomialverteilt mit n gleich 5 und p gleich 1,6. Denn das ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6. Die Kurzform sieht entsprechend so aus.

Binomialverteilung als Tabelle und Diagramm darstellen

So stellst du eine Binomialverteilung tabellarisch und grafisch dar:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Binomialverteilung darzustellen. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Die Zufallsvariable x ist binomialverteilt mit n gleich 4 und p gleich 0,3.

Stelle die Verteilung bzw. die kumulierte Verteilung tabellarisch und grafisch dar. Die gesuchte Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht so aus.

n gleich 4 bedeutet, es gibt 4 Durchgänge. Bei jedem Durchgang erzielen wir entweder einen Treffer oder nicht. Nach 4 Durchgängen können wir also 0 bis 4 Treffer erzielt haben.

Die Trefferzahl wird mit k bezeichnet. Für jede Trefferzahl musst du nun die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Das ist p von x gleich k. Also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable x den Wert k annimmt.

Mit dem Taschenrechner geht das direkt über eine Funktion, die meist Binompdf oder Binomialpdf heißt. Die berechneten Werte trägst du dann hier ein. Im Anschluss zeige ich dir, wie du diese Wahrscheinlichkeiten auch ohne besondere Funktionen ausrechnen kannst.

Jetzt machen wir aber erstmal hier weiter. Grafisch kannst du diese Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Beispiel in einem Histogramm darstellen. Unten stehen die möglichen Trefferzahlen k, also die Zahlen von 0 bis 4. Die Höhe der Balken entspricht der jeweiligen Wahrscheinlichkeit, die auf dieser Achse zu sehen ist.

Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer ist rund 0,24. Für 1 Treffer etwa 0,41. Für 2 Treffer etwa 0,26.

Für 3 Treffer etwa 0,08. Und für 4 Treffer ist die Wahrscheinlichkeit weniger als 1%. Der Balken ist kaum noch zu sehen.

Am wahrscheinlichsten ist 1 Treffer. Hier hat die Verteilung ihr Maximum. Gar nicht zu treffen ist fast genauso wahrscheinlich wie zweimal zu treffen.

Nun fehlt noch die kumulierte Verteilung. Statt kumuliert sagt man auch summiert. Dazu fügst du der Tabelle einfach eine Zeile hinzu.

Statt p von x ist gleich k, schreibst du hier p von x kleiner gleich k. Das ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer. Zum Beispiel steht hier die Wahrscheinlichkeit, höchstens zweimal zu treffen. Bei 0 Treffern sind die Wahrscheinlichkeiten gleich.

Nun addierst du nach und nach diese Werte. 0,2401 plus 0,4116 macht 0,6517. Und das plus das macht das.

Das ist das gleiche, als hättest du diese drei Werte zusammengerechnet. Das plus das macht das. Und das plus das macht 1. Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer 1. Nun trägst du diese Werte genauso ins Diagramm ein wie vorher.

Die Balken werden jetzt immer höher. Und der letzte Balken geht bis 1. Bei der kumulierten Verteilung muss im Diagramm auch kleiner gleich stehen. Wie hier.

Mit dem Taschenrechner kannst du diese Werte auch direkt berechnen. Ohne diese Werte zu kennen. Die Funktion dafür heißt meist BinomCDF oder BinomialCDF.

Jetzt zeige ich dir noch, wie du diese Wahrscheinlichkeiten ohne eine spezielle Funktion deines Taschenrechners berechnen kannst. Das geht mit der Bernoulli-Formel. n ist bei uns 4. p ist 0,3.

1-p ist dann 1-0,3, also 0,7. Logisch, oder? Wenn die Wahrscheinlichkeit zu treffen 0,3 ist, dann muss die Wahrscheinlichkeit nicht zu treffen 0,7 sein. k ist die Trefferzahl, die von 0 bis 4 reicht.

0 bedeutet, wir haben in den 4-Durchgängen nie getroffen. Und 4 bedeutet, wir haben immer getroffen. Diese Wahrscheinlichkeiten sind die Werte, die du anschließend in die Tabelle einträgst.

Jetzt rechnen wir sie aus. k kommt an diesen Stellen in der Formel vor. Ist k 0, muss also auch hier und hier eine 0 stehen.

Und hier steht 4-0, also 4. Wenn wir 0 von 4 mal getroffen haben, bedeutet das, dass wir 4 mal nicht getroffen haben. Jede Zahl hoch 0 ergibt 1, außer 0 hoch 0. Steht hier unten eine 0, ist der Binomialkoeffizient immer 1. Das musst du dir merken. 0,7 hoch 4 ist 0,2401.

Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer ist also ziemlich genau 24%. Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer. Hier und hier muss nun ebenfalls eine 1 stehen.

Wenn wir 1 von 4 mal getroffen haben, bedeutet das, dass wir 3 mal nicht getroffen haben. 0,3 hoch 1 ist das gleiche wie 0,3. Steht hier eine 1, entspricht der Binomialkoeffizient dieser Zahl.

Das musst du dir auch merken. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 0,4116. Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für 2 Treffer.

Hier und hier muss dann ebenfalls eine 2 stehen. Und 4 minus 2 ist 2. Für den Binomialkoeffizienten schreibst du einen Bruch. Unten multiplizierst du alle ganzen Zahlen von 2 bis 1. Das sind nur zwei Faktoren.

Oben fängst du bei 4 an und gehst so weit runter, bis dort ebenfalls zwei Faktoren stehen. 4 mal 3 ist 12 und 2 mal 1 ist 2. Das ist gekürzt 6. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 0,2646. Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für 3 Treffer.

Hier und hier muss dann ebenfalls eine 3 stehen. Und 4 minus 3 ist 1. 0,7 hoch 1 ist das gleiche wie 0,7. Bei den Binomialkoeffizienten gibt es eine Symmetrie.

Der erste und letzte Wert sind gleich. Ebenso der zweite und der vorletzte Wert. Wenn wir noch mehr Werte hätten, würde es so weitergehen.

Das ist also auch 4. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 0,0756. Nun berechnen wir noch die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer. Dann muss auch hier und hier eine 4 stehen.

Wenn wir 4 von 4 mal getroffen haben, bedeutet das, dass wir 0 mal nicht getroffen haben. Jede Zahl hoch 0 ist 1 außer 0 hoch 0. Der Binomialkoeffizient ist wie hier 1. 0,3 hoch 4 ergibt 0,0081. Das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x.

Formulierungen für Trefferzahlen

Oft ist nicht die Wahrscheinlichkeit für "genau k Treffer" gesucht, sondern für "mindestens", "höchstens", "weniger als" oder "mehr als" k Treffer. Das bedeuten diese Formulierungen:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was verschiedene Formulierungen bei der Anzahl der Treffer bedeuten. Genau 4 bedeutet, x ist gleich 4. Mehr als 4 bedeutet, x ist größer als 4. Die Spitze zeigt zudem, was von beidem kleiner ist. Mindestens 4 bedeutet, x größer gleich 4. Dieses Zeichen ist eine Mischung aus diesen beiden Zeichen.

x kann jetzt 4 sein oder größer als 4. Statt mindestens kann dort auch wenigstens stehen. Weniger als 4 bedeutet, x ist kleiner als 4. Das Zeichen ist jetzt umgedreht wie hier. Höchstens 4 bedeutet, x kleiner gleich 4. Dieses Zeichen ist eine Mischung aus diesen beiden Zeichen.

x kann jetzt 4 sein oder kleiner als 4. Mehr als 4 und weniger als 8 bedeutet, dass x zwischen 4 und 8 liegt. Da x mehr als 4 sein soll, muss 4 kleiner als x sein. Das ist das gleiche wie hier, nur in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben.

Entscheidend ist, dass die Spitze zur 4 zeigt. Und weniger als 8 ist wie hier nur mit 8 statt mit 4. Mindestens 4 und weniger als 8 ist fast wie hier. Nur, dass x jetzt auch 4 sein darf.

Das wird durch das kleine Gleichzeichen ausgedrückt. Mehr als 4 und höchstens 8 ist auch fast wie hier. Nur, dass x jetzt auch 8 sein darf.

Das wird wieder durch das kleine Gleichzeichen ausgedrückt. Mindestens 4 und höchstens 8 ist wie hier nur, dass x jetzt auch gleich 4 und gleich 8 sein darf. Das letzte Beispiel ist 4 oder 5 oder wird in der Mathematik durch dieses Zeichen ausgedrückt.

Hier steht also x ist gleich 4 oder x ist gleich 5. Um die Wahrscheinlichkeit davon zu berechnen, berechnest du p von x gleich 4 und p von x gleich 5 und addierst beide.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit obiger Bernoulli-Formel kannst du Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung berechnen. Wie das geht, lernst du in diesem Video. Mit dem Taschenrechner geht das auch direkt. Die Funktion für genau k Treffer heißt dort meist "binompdf" und für höchstens k Treffer "binomcdf".

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung zu berechnen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Bei einem Test gibt es zehn Fragen mit jeweils vier Antworten, von denen nur eine richtig ist.

Jemand kreuzt rein zufällig bei jeder Frage eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der A genau zwei richtige Antworten, B. Höchstens zwei richtige Antworten, C. Mindestens drei richtige Antworten, D. Mindestens zwei richtige Antworten und E. Mehr als zwei und weniger als sechs richtige Antworten. Als Treffer gilt, wenn die richtige Antwort angekreuzt wurde.

Da es nur die beiden Ergebnisse Treffer und Nicht-Treffer gibt, ist das eine Binomialverteilung. Speziell für Binomialverteilungen gibt es die Bernoulli-Formel. N ist bei uns 10, da es zehn Fragen gibt.

x bzw. k ist die Anzahl der Treffer. k kann also nur eine Zahl von 0 bis 10 sein.

10 bedeutet, alle Antworten wurden richtig angekreuzt und 0 bedeutet, keine Antwort wurde richtig angekreuzt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist 0,25, denn eine von vier Antworten ist die richtige und ein Viertel ist 0,25. Drei von vier Antworten sind falsch.

Die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Antwort anzukreuzen, ist somit drei Viertel oder 0,75. Das ist das gleiche wie 1-p, also 1-0,25. Mit dieser Formel berechnest du jetzt die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

Dazu setzt du für k die jeweilige Trefferzahl ein. Mit dem Taschenrechner kannst du diesen Ausdruck sogar direkt berechnen. Kommen wir zur Aufgabe a. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau zwei richtige Antworten anzukreuzen? K ist also 2. Das muss dann auch hier und hier stehen.

Wenn man 2 von 10 Fragen richtig beantwortet, muss man 8 falsch beantworten, denn 10-2 ist 8. Für diesen Ausdruck gibt es eine spezielle Funktion auf deinem Taschenrechner, die meist binom.pdf heißt. Wenn du sie aufrufst, brauchst du nur einzugeben, was n, p und k sind. n ist 10, p ist 0,25 und k ist 2. Der Taschenrechner gibt dir sofort diesen Wert aus.

Du kannst die Wahrscheinlichkeit aber auch ohne eine spezielle Funktion berechnen. Dazu schreibst du für den Binomialkoeffizienten einen Bruch. Unten multiplizierst du alle ganzen Zahlen von 2 bis 1. Das sind nur zwei Faktoren.

Oben beginnst du bei 10 und gehst so weit runter, bis dort auch zwei Faktoren stehen. 10 mal 9 ist 90 und 2 mal 1 ist 2. 90 geteilt durch 2 ist 45. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du dieses Ergebnis.

Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Fragen richtig zu beantworten, ist 0,2816, also rund 28%. Hier siehst du die Binomialverteilung in einem Diagramm. Hier unten stehen die Treffer und auf dieser Achse die Wahrscheinlichkeiten dafür.

Die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal zu treffen, ist rund 0,28. Wie du siehst, ist das die Trefferzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit. In Aufgabe b ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, höchstens zwei Fragen richtig zu beantworten.

x ist jetzt also kleiner gleich 2. Dazu gehören diese drei Balken. Du musst also die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer, 1 Treffer und 2 Treffer addieren. Auch dafür hat der Taschenrechner eine spezielle Funktion, die meist Binom-CDF heißt, diesmal mit c statt mit p. Du brauchst dann nur für n10, für p 0,25 und für k 2 einzugeben und erhältst sofort das Ergebnis.

Oder du rechnest das wieder mit der Bernoulli-Formel aus. Diese brauchst du dann aber dreimal, beziehungsweise zweimal, da wir diese Wahrscheinlichkeit ja schon in Aufgabe a ausgerechnet haben. Diese Zahl kommt hier hin.

Hat derjenige 0 von 10 Fragen richtig angekreuzt, muss er alle 10 falsch angekreuzt haben. Bei der Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer steht hier eine 1. Hat derjenige diesmal 1 von 10 Fragen richtig angekreuzt, hat er 9 falsch angekreuzt. Steht hier eine 0, ist der Binomial-Koeffizient immer 1. Das musst du dir merken.

Jede Zahl hoch 0 ist ebenfalls 1, außer 0 hoch 0. Das überträgst du. Steht hier eine 1, ist der Binomial-Koeffizient immer diese Zahl. 0,25 hoch 1 ist das gleiche wie 0,25.

Den Rest schreibst du einfach ab. Hier zum Vergleich noch ein Zwischenergebnis. Das ergibt das.

Das ergibt das. Und diese Zahl überträgst du wieder. Alles zusammen macht 0,5256.

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei Fragen richtig zu beantworten, beträgt mehr als 50%. Das erkennst du auch gut am Balkendiagramm. Die rote Fläche ist etwa die Hälfte der Gesamtfläche.

Die Rechnung hat gezeigt, dass sogar ein bisschen mehr ist. Kommen wir zur Aufgabe C. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens drei Antworten richtig anzukreuzen? Also wie groß ist P von x größer gleich 3? Das entspricht im Diagramm den Balken für drei bis zehn Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Treffer ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau drei Treffer plus die Wahrscheinlichkeit für genau vier Treffer und so weiter bis genau zehn Treffer.

Das auszurechnen wäre aber eine Menge unnötiger Arbeit. Denn das sind genau die Balken, die in Aufgabe B übrig geblieben sind. Mindestens drei Treffer ist das Gegenereignis zu höchstens zwei Treffer.

Ereignis und Gegenereignis haben zusammen immer die Wahrscheinlichkeit 1. Ziehst du also von 1 die Wahrscheinlichkeit für 0 bis 2 Treffer ab, bleibt die Wahrscheinlichkeit für 3 bis 10 Treffer übrig. Statt dem hier kannst du also auch 1 minus P von x kleiner gleich 2 ausrechnen. Das ist laut Aufgabe B 0,5256.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit 0,4744. In Aufgabe D ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei richtige Antworten gesucht. Das entspricht den Balken von 2 bis 10 Treffern.

Also P von x gleich 2 plus P von x gleich 3 und so weiter bis P von x gleich 10. Versuche immer Ergebnisse aus früheren Aufgaben zu verwenden, um Zeit zu sparen. Die Wahrscheinlichkeit für 3 bis 10 Treffer hast du gerade in Aufgabe C ausgerechnet.

Das war P von x größer gleich 3. Und die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer hast du in Aufgabe A ausgerechnet. Das war P von x gleich 2. Das ist laut Aufgabe A 0,2816. Und das ist laut Aufgabe C 0,4744.

Zusammen ergibt das 0,756. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig mindestens zwei Fragen richtig anzukreuzen, beträgt also 75,6%. In Aufgabe E ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als zwei und weniger als sechs richtige Antworten gesucht.

Also P von 2 kleiner x kleiner 6. Mehr als 2 bedeutet mindestens 3. Und weniger als 6 bedeutet höchstens 5. Statt 2 kleiner x kleiner 6 kannst du also auch 3 kleiner gleich x kleiner gleich 5 schreiben. Das entspricht den Balken von 3 bis 5 Treffern. Eine Möglichkeit ist, diese drei Wahrscheinlichkeiten einzeln auszurechnen und dann zu addieren.

Das geht auch ohne eine spezielle Funktion des Taschenrechners. Die andere Möglichkeit macht nur bei Verwendung einer Spezialfunktion Sinn. Diese Möglichkeit geht so.

Du berechnest mit dem Taschenrechner die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer. Also P von x kleiner gleich 5. Und davon ziehst du die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer ab. So bleibt nämlich die Wahrscheinlichkeit für 3 bis 5 Treffer übrig.

Du rechnest also minus P von x kleiner gleich 2. Diesen Wert hast du in Aufgabe B schon bestimmt. Machen wir schnell diesen Weg fertig. Du willst also das ausrechnen.

Das war laut Aufgabe B 0,5256. Und diesen Wert bestimmst du mit der Funktion für die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Diese heißt bei den meisten Taschenrechnern Binomcdf.

Du brauchst dann nur die Parameter n gleich 10, p gleich 0,25 und k gleich 5 einzugeben. Der Taschenrechner gibt dann diesen Wert aus. Das minus das macht das.

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und weniger als 6 Fragen richtig zu beantworten, ist etwa 45%. Jetzt berechnen wir diese Wahrscheinlichkeit noch ohne eine spezielle Funktion des Taschenrechners. Wie schon festgestellt, müssen wir dazu die Wahrscheinlichkeiten für genau 3, genau 4 und genau 5 richtige Antworten bestimmen und addieren.

Für 3 Treffer schreibst du hier eine 3. Sind 3 von 10 Fragen richtig, müssen die anderen 7 falsch beantwortet sein. Bei 4 Treffern liegt man 4 mal richtig und 6 mal falsch. Und bei 5 Treffern liegt man 5 mal richtig und 5 mal falsch.

Für die Binomialkoeffizienten schreibst du jeweils einen Bruch. Hier multiplizierst du unten alle ganzen Zahlen von 3 bis 1. Das sind 3 Faktoren. Oben beginnst du bei 10 und gehst so weit runter, bis dort auch 3 Faktoren stehen.

Hier beginnst du entsprechend bei 4 und gehst hier so weit runter, bis hier auch 4 Faktoren stehen. Hier beginnst du bei 5 und gehst hier so weit runter, bis hier auch 5 Faktoren stehen. Das ergibt 120.

Das ergibt 210. Dieser Bruch unterscheidet sich von diesem nur durch die 7 und die 4. Du kannst deshalb auch einfach 120 mal 7 rechnen und das durch 4 teilen. So kommst du auch auf 210.

Und das ergibt 252. Dieser Bruch unterscheidet sich von diesem nur durch die 6 und die 5. Du kannst deshalb auch einfach 210 mal 6 rechnen und das durch 5 teilen. So kommst du auch auf 252.

Hier zum Vergleich noch ein Zwischenergebnis. Das ergibt das, das ergibt das und das ergibt das. Alles zusammen macht 0,4547.

Es kommt natürlich das gleiche raus wie auf dem anderen Weg. Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 2 und weniger als 6 Fragen richtig zu beantworten, ist etwa 45%.

Umkehraufgaben / n Bestimmen

In Umkehraufgaben sind nicht die Wahrscheinlichkeiten für Trefferzahlen gesucht, sondern die Parameter n, k oder p. Jetzt zeige ich dir, wie du solche Aufgaben löst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, bei einer Binomialverteilung n zu bestimmen. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Wie viele Versuche sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens eine 6 zu würfeln? Bei einmal würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ein Sechstel.

Das ist p. Wir wollen wenigstens eine 6, also wenigstens einen Treffer. k ist somit 1. Wie viele Versuche sind dafür nötig? Diese Anzahl ist dann n. Also ist hier n gesucht. Die Anzahl der Sechsen ist binomial verteilt, denn entweder würfelt man eine 6 oder nicht.

Es gibt nur diese beiden Möglichkeiten. Jetzt zeige ich dir, wie du diese Aufgabe löst. x gibt die Anzahl der Sechsen an.

Wir wollen wenigstens eine 6. Also ist x größer gleich 1. Die 1 ist das k. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll mindestens 95% betragen. p muss also größer gleich 0,95 sein. Größer gleich ist aber immer unpraktisch zum Rechnen.

Deshalb musst du das umformen. Das geht mit dem Gegenereignis. Diese Wahrscheinlichkeit ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis.

Und das Gegenereignis zu mindestens eine 6 würfeln, ist weniger als eine 6 zu würfeln. Also x kleiner 1. Weniger als eine 6 ist gar keine 6. Also x gleich 0. Nun schreibst du hierfür die Bernoulli-Formel auf. Der Binomialkoeffizient ist n über 0. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist 1 Sechstel.

Die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln, ist dann 5 Sechstel. Wenn wir 0 von n mal eine 6 würfeln, müssen wir n mal etwas anderes würfeln. Steht hier eine 0, ist der Binomialkoeffizient immer 1. Und irgendwas hoch 0 ist auch 1, außer 0 hoch 0. Übrig bleibt also 1 minus 5 Sechstel hoch n. Nun löst du nach n auf.

Dazu kannst du zum Beispiel die 1 rüberbringen. 0,95 minus 1 ist minus 0,05. Nun nimmst du mal minus 1. Dadurch ändern sich die Vorzeichen.

Außerdem dreht sich das Relationszeichen um. Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl teilst. Um an n ranzukommen, logarithmierst du beide Seiten.

Nimmst du dafür den natürlichen Logarithmus ln, brauchst du dir um das Relationszeichen erstmal keine Gedanken zu machen. Nun kannst du das n als Faktor vorziehen. Dann kommt ln von 5 Sechstel.

Und hier steht ln von 0,05. Nun teilst du durch das, damit n alleine auf einer Seite steht. Dazu musst du daran denken, dass der ln von 5 Sechstel negativ ist.

Denn 5 Sechstel ist kleiner als 1. Aber erst für größere Zahlen als 1 ist der ln positiv. Somit dreht sich das Relationszeichen wieder um. Das macht auch Sinn, denn wir wollen ja wissen, wie viele Versuche mindestens notwendig sind.

Deshalb muss hier stehen n größergleich und nicht kleinergleich. Das ergibt 16,43. Das bedeutet, es sind mindestens 17 Versuche nötig.

Denn n muss eine ganze Zahl sein. Und die nächste ganze Zahl, die größer als 16,43 ist, ist 17. Es sind also mindestens 17 Versuche nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens eine 6 zu würfeln.

Zum Schluss möchte ich dir noch kurz zeigen, wie du die Aufgabe mit einem CAS oder GTR lösen kannst. Bis zu dieser Zeile ist alles gleich. Jetzt machen wir ab hier weiter.

Löse nach p von x gleich 0 auf. Dazu kannst du das zum Beispiel rüberbringen. Und nun bringst du 0,95 rüber.

1 minus 0,95 ist 0,05. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Dabei dreht sich natürlich das Zeichen mit um.

Nun gibst du in deinen Rechner eine Funktion ein. Je nach Modell sieht das etwas anders aus. Die Funktion y1 ist Binom pdf mit diesen Parametern.

n kennst du ja nicht, das willst du erst herausfinden. Deshalb nimmst du dafür x. p ist ein Sechstel und k ist 0. Nun lässt du dir die Funktionswerte in einer Tabelle anzeigen. In der Spalte mit y1 schaust du, welcher der letzte Wert ist, der noch kleiner gleich 0,05 ist.

Dann liest du den zugehörigen x-Wert aus der Tabelle ab. Dieser Wert entspricht dem gesuchten n.

k bestimmen

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, bei einer Binomialverteilung k zu bestimmen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein Würfel wird 20-mal geworfen.

Wie oft müsste man mindestens eine 6 würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit dafür weniger als 5% beträgt? Wir würfeln 20-mal. Das ist n. Bei einmal Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ein Sechstel. Das ist p. Eine 6 gilt als Treffer.

Hier wird also gefragt, wie viele Treffer man mindestens bräuchte. Das ist k. Somit ist k gesucht. Hier liegt eine Binomialverteilung vor.

Denn entweder würfelt man eine 6 oder nicht. Es gibt nur diese beiden Möglichkeiten. Jetzt zeige ich dir, wie du diese Aufgabe löst.

x gibt die Anzahl der Sechsen an. Wir wollen mindestens so viele Sechsen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür kleiner als 5% ist, also 0,05. Größer gleich ist aber immer unpraktisch zum Rechnen.

Deshalb musst du das umformen. Das geht mit dem Gegenereignis. Diese Wahrscheinlichkeit ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis.

Und das Gegenereignis zu x größer gleich k ist x kleiner k. Kleiner ist für den Taschenrechner aber auch unbrauchbar. Hier müsste kleiner gleich stehen. Die nächste Zahl, die kleiner als k ist, ist k minus 1. x soll somit gleich k minus 1 sein oder noch kleiner.

Nun löste nach p auf. Bringe dazu zum Beispiel die 1 rüber. 0,05 minus 1 ist minus 0,95.

Multipliziere nun noch mit minus 1. Dadurch ändern sich die Vorzeichen. Außerdem dreht sich das Relationszeichen um, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl teilst. Nun bestimmst du k durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner.

Dazu berechnest du die Werte der kumulierten Binomialverteilung. Die Funktion dafür heißt meist Binomcdf oder Binomialcdf. Für n gibst du 20 ein, für p ein Sechstel und k legst du selbst fest.

Setze für k Werte ein, die passen könnten. Zum Beispiel 6. 6 minus 1 ist dann 5. Mit dem Taschenrechner erhältst du dafür eine Wahrscheinlichkeit von rund 0,8982. Das ist aber noch kleiner als 0,95.

Probiere es daher mit 6. Diese Wahrscheinlichkeit ist größer als 0,95. k minus 1 muss also 6 sein. Das bedeutet, k muss 7 sein.

Bei 20 Versuchen beträgt die Wahrscheinlichkeit, mindestens 7 Sechsen zu würfeln, weniger als 5%.

p bestimmen

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, bei einer Binomialverteilung p zu bestimmen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Auf dem Glücksrad sollen die Gewinnfelder grün gefärbt werden.

Die Wahrscheinlichkeit, bei drei Drehungen mindestens einmal zu gewinnen, soll mindestens 60% betragen. Wie viele Felder müssen dafür wenigstens grün sein? Drei Drehungen bedeutet, n ist gleich 3. Man soll mindestens einmal gewinnen. Also ist k gleich 1. Die Anzahl der gewonnenen Runden ist binomial verteilt.

Denn entweder gewinnt man oder nicht. Es gibt nur diese beiden Möglichkeiten. Jetzt zeige ich dir, wie du diese Aufgabe löst.

X gibt die Anzahl der gewonnenen Runden an. Oder einfach die Anzahl der Treffer. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Runde zu gewinnen, soll mindestens 60% betragen.

Also 0,6. Größer gleich ist aber immer unpraktisch zum Rechnen. Deshalb musst du das umformen.

Das geht mit dem Gegenereignis. Diese Wahrscheinlichkeit ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis. Und das Gegenereignis zum mindestens eine Runde gewinnen, ist weniger als eine Runde zu gewinnen.

Also x kleine 1. Das bedeutet aber, gar keine Runde zu gewinnen. Also x gleich 0. Nun schreibst du hierfür die Bernoulli-Formel auf. Der Binomial-Koeffizient ist 3 über 0. Denn n ist bei uns 3 und k ist jetzt 0. Die Wahrscheinlichkeit p, eine einzelne Runde zu gewinnen, kennen wir nicht.

Diese suchen wir ja indirekt. Wenn man 0 von 3 mal gewinnt, muss man 3 mal verlieren. Steht hier eine 0, ist der Binomial-Koeffizient immer 1. Und irgendwas hoch 0 ist auch 1, außer 0 hoch 0. Übrig bleibt also 1 minus 1 minus p hoch 3. Nun löst du nach p auf.

Dazu kannst du zum Beispiel das rüberbringen. Nun rechnest du minus 0,6. 1 minus 0,6 ist 0,4.

Jetzt ziehst du die dritte Wurzel. Hier bleibt dann 1 minus p übrig. Und die dritte Wurzel aus 0,4 ist 0,7368.

Nun kannst du p rüberbringen. Und gleichzeitig diese Zahl rüberschaffen, damit p allein auf einer Seite steht. 1 minus das ist das.

Die Wahrscheinlichkeit, auf ein grünes Feld zu kommen, muss somit größer gleich 0,2632 sein, also etwas über 26%. Damit kannst du nun herausfinden, wie viele Felder grün sein müssen. Das Glücksrad hat insgesamt 8 Felder.

Die Wahrscheinlichkeit pro Feld ist somit 1,8 oder 0,125. Die Bedingung ist, dass die Wahrscheinlichkeit für die grünen Felder größer gleich 0,2632 sein muss. Jetzt probierst du einfach aus.

Wenn zwei Felder grün sind, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer 2 mal 0,125. Das macht 0,25. Und das ist noch zu wenig.

Bei drei grünen Feldern ist die Chance 3 mal 0,125. Das macht 0,375 und erfüllt somit die Bedingung. Somit müssen mindestens drei Felder grün sein.

Zum Schluss möchte ich dir noch kurz zeigen, wie du die Aufgabe mit einem CAS oder GTR lösen kannst. Bis zu dieser Zeile ist alles gleich. Jetzt machen wir ab hier weiter.

Löse nach P von x gleich 0 auf. Dazu kannst du das zum Beispiel rüberbringen. Und nun bringst du 0,6 rüber.

1 minus 0,6 ist 0,4. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Nun gibst du in deinen Rechner eine Funktion ein.

Je nach Modell sieht das etwas anders aus. Die Funktion y1 ist wie nun pdf mit diesen Parametern. n ist 3. p kennst du ja nicht.

Das willst du erst herausfinden. Deshalb nimmst du dafür x. Und k ist 0. Die Funktionswerte dieser Funktion sind diese Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von x, also für verschiedene Werte von p. Beachte, das x auf dem Taschenrechner bedeutet also etwas anderes als dieses x, das für die Anzahl der Treffer steht. Nun gibst du noch 0,4 als Funktion ein.

Also y2 ist gleich 0,4. Jetzt lässt du die Graphen beider Funktionen anzeigen und bestimmst ihre Schnittstelle x. Dort, wo sie sich schneiden, müssen sie den gleichen Wert haben. Dort ist also die Bedingung p von x gleich 0 ist gleich 0,4 erfüllt.

Und das x auf dem Taschenrechner ist in Wahrheit ja p. Somit ist die Schnittstelle x das gesuchte p.

Erwartungswert

So berechnest du den Erwartungswert einer Binomialverteilung:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, den Erwartungswert einer Binomialverteilung zu berechnen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein grünes Feld gilt als Treffer.

Wie viele Treffer sind zu erwarten, wenn das Glücksrad 20 Mal gedreht wird? Hier ist also der Erwartungswert gesucht. Wenn x die Anzahl der Treffer angibt, dann ist x binomial verteilt. Denn es geht nur um die beiden Ergebnisse Treffer und Keintreffer.

Bei Binomialverteilungen gibt es für den Erwartungswert eine sehr einfache Formel. Der Erwartungswert wird meist mit dem griechischen Buchstaben µ bezeichnet. Du kannst aber auch wie bisher e von x schreiben.

µ ist n mal p. n ist die Anzahl der Versuche, also 20. Fehlt also nur noch die Trefferwahrscheinlichkeit p. Da 4 von 10 Feldern grün sind, ist p 4 Zehntel, also 0,4. Der Erwartungswert ist somit 20 mal 0,4 und das macht 8. Wird das Glücksrad 20 Mal gedreht, sind somit 8 Treffer zu erwarten.

Maximum

Ist der Erwartungswert eine ganze Zahl, dann hat er von allen Trefferzahlen die größte Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit ist das Maximum der Binomialverteilung. Ist der Erwartungswert nicht ganzzahlig, wird das Maximum bei der nächstkleineren oder nächstgrößeren ganzen Zahl angenommen. In diesem Video lernst du, das Maximum zu bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du das Maximum einer Binomialverteilung zu bestimmen und erfährst, was das Maximum mit dem Erwartungswert zu tun hat. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Ein grünes Feld gilt als Treffer.

Welche Trefferzahl hat die größte Wahrscheinlichkeit und wie groß ist diese, wenn das Glücksrad A zehnmal gedreht wird und B achtmal gedreht wird? Beginnen wir mit Aufgabe A. Wenn X die Anzahl der Treffer angibt, dann ist X binomialverteilt. Denn es geht nur um die beiden Ergebnisse Treffer und Keintreffer. Bei Binomialverteilungen ist die Trefferzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert, wenn diese eine ganze Zahl ist.

Deshalb berechnest du erstmal den Erwartungswert. µ ist n mal p. n ist die Anzahl der Versuche. In Aufgabe A ist n zehn, da wir das Glücksrad zehnmal drehen.

Fehlt also nur noch die Trefferwahrscheinlichkeit p. Da vier von zehn Feldern grün sind, ist p vierzehntel, also 0,4. Der Erwartungswert ist somit 10 mal 0,4 und das macht vier. Da vier eine ganze Zahl ist, ist vier die Trefferzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit.

Und diese Wahrscheinlichkeit bestimmen wir jetzt. Die Wahrscheinlichkeit für x gleich vier kannst du direkt mit dem Taschenrechner ausrechnen. Die Funktion dafür heißt bei den meisten Modellen binompdf oder binomialpdf.

Mit p, nicht mit c. Du kannst diese Wahrscheinlichkeit aber auch ohne besondere Funktionen ausrechnen. Dann brauchst du die Bernoulli-Formel. k ist bei uns vier.

Das muss auch hier und hier stehen. n ist zehn. n-k ist somit 10-4, also 6. p ist 0,4.

Somit ist 1-p 0,6. Nun schreibst du für 10 über 4 einen Bruch. Unten multiplizierst du alle Zahlen von 4 bis 1. Das sind vier Faktoren.

Oben fängst du bei 10 an und gehst runter, bis dort ebenfalls vier Faktoren stehen. Das ergibt 210. Mit dem Taschenrechner erhältst du hierfür 0,2508.

Das ist etwas mehr als 25%. Die Trefferzahl 4 hat mit 0,2508 die größte Wahrscheinlichkeit. Hier siehst du das zugehörige Histogramm.

Bei der Trefferzahl 4 ist der Balken am längsten. Das bedeutet, 4 hat die größte Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt etwas über 0,25.

Dieser Wert ist das Maximum der Verteilung. Das Maximum wird beim Erwartungswert angenommen, wenn dieser eine ganze Zahl ist, wie hier. Kommen wir zur Aufgabe b. Diesmal drehen wir nur 8-mal statt 10-mal.

Der Rest ist gleich. Du berechnest also zunächst wieder den Erwartungswert. n-mal p ist diesmal 8-mal 0,4.

Und das macht 3,2. Die gesuchte Trefferzahl muss aber eine glatte Zahl sein. Du kannst schließlich nicht 3,2-mal treffen.

3,2 liegt zwischen 3 und 4. Somit hat die Trefferzahl 3 oder 4 die größte Wahrscheinlichkeit. Das musst du noch nachrechnen. Berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit für Dreitreffer.

Das kannst du direkt mit deinem Taschenrechner machen oder wieder die Bernoulli-Formel nehmen. k ist diesmal also 3 und n ist 8. Wenn wir von 8-mal 3-mal treffen, bedeutet das, dass wir 5-mal nicht treffen. Für 8 über 3 schreibst du einen Bruch.

Unten multiplizierst du alle Zahlen von 3 bis 1. Das sind drei Faktoren. Oben fängst du bei 8 an und gehst runter, bis dort ebenfalls drei Faktoren stehen. Das ergibt 56.

Mit dem Taschenrechner erhältst du hierfür 0,2787. Nun berechnest du noch die Wahrscheinlichkeit für Viertreffer. Entweder direkt mit dem Taschenrechner oder der Bernoulli-Formel.

Statt 3 steht dann hier, hier und hier eine 4. Wenn wir von 8-mal 4-mal treffen, bedeutet das, dass wir 4-mal nicht treffen. Für 8 über 4 schreibst du einen Bruch. Unten multiplizierst du alle Zahlen von 4 bis 1. Das sind vier Faktoren.

Oben fängst du bei 8 an und gehst runter, bis dort ebenfalls vier Faktoren stehen. Das ergibt 70. Mit dem Taschenrechner erhältst du hierfür 0,2322.

Und das ist kleiner als 0,2787, was wir vorher ausgerechnet hatten. Somit hat nicht die Trefferzahl 4, sondern die Trefferzahl 3 mit 0,2787 die größte Wahrscheinlichkeit. Das siehst du auch leicht an diesem Diagramm.

Der Balken bei 3 ist länger als bei 4. Die Trefferzahl 3 hat eine Wahrscheinlichkeit von rund 0,28. Das ist das Maximum dieser Verteilung. Zum Schluss noch ein Hinweis.

Das Maximum kann auch an zwei benachbarten Stellen angenommen werden. Wie hier bei 6 und 7 Treffern. Der Erwartungswert liegt dann dazwischen.

Hier ist der Erwartungswert 6,3.

Varianz und Standardabweichung

- Die Standardabweichung σ wird bei den Sigma-Regeln gebraucht. - Ist σ>3 lässt sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. So berechnest du die Varianz und die Standardabweichung einer Binomialverteilung:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Varianz und die Standardabweichung einer Binomialverteilung zu berechnen. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n gleich 50 und p gleich 0,4.

Aufgabe A. Berechne die Varianz und die Standardabweichung von X. Und Aufgabe B. Ist X näherungsweise normal verteilt? X ist also binomialverteilt mit n gleich 50 und p gleich 0,4. n und p brauchst du, um in Aufgabe A die Varianz und die Standardabweichung zu berechnen. Die Varianz ist n mal p mal 1 minus p. n ist 50, p ist 0,4 und 1 minus p, also 1 minus 0,4 ist 0,6.

Das ergibt 12. Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus, also die Wurzel aus V von X. Das ist bei uns die Wurzel aus 12. Und das ist rund 3,46.

Da Sigma die Wurzel aus der Varianz ist, wird die Varianz auch mit Sigma² bezeichnet. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Breite einer Verteilung und wird bei den Sigma-Regeln verwendet. Kommen wir zur Aufgabe B. Wenn die Standardabweichung wie hier größer als 3 ist, ist die Zufallsvariable X näherungsweise normal verteilt.

Das bedeutet folgendes. Blau dargestellt siehst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Das ist eine Binomialverteilung. Sie wird aber sehr gut durch die rote Kurve angenähert, die wie eine Glocke aussieht.

Das ist der Graph einer Normalverteilung. Dass sich Binomialverteilungen durch Normalverteilungen approximieren lassen, besagt der Satz von de Moivre-Laplace. Die Näherung ist aber nur ausreichend gut, wenn Sigma größer als 3 ist.