Varianz und Standardabweichung
Springe zu den Inhalten
Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.
Zurück zur Übersicht
Was bedeutet die Varianz?
Die Varianz einer Zufallsvariable gibt an, wie stark die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Was damit gemeint ist, siehst du in diesem Video.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video erkläre ich dir, was die Varianz bedeutet. Die Varianz einer Zufallsvariable gibt an, wie stark die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hier siehst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen x und y. Beide haben den Erwartungswert 4. Wenn das jedoch die möglichen Auszahlungen bei einem Glücksspiel wären, dann ist es hier viel wahrscheinlicher, dass du 4 Euro oder einen Betrag nahe dran bekommst, als hier.
Hier ist es viel wahrscheinlicher, dass deine Auszahlung sehr weit vom Erwartungswert 4 entfernt ist, zum Beispiel 1 Euro oder 7 Euro. Dieses Spiel wäre also risikoreicher als das. Um das in einer einzigen Zahl auszudrücken, bestimmt man die Varianz der Zufallsvariable.
In der Varianz werden die Abweichungen vom Erwartungswert ihrer Wahrscheinlichkeit nach gewichtet und zu einer einzigen Kennzahl zusammengefasst. Dadurch lassen sich Verteilungen leichter vergleichen, besonders wenn sie den gleichen Erwartungswert haben, wie hier. Wie du die Varianz berechnest, zeige ich dir im nächsten Video.
Hier ist die Varianz zum Beispiel 1,2 und hier 5,05, also deutlich höher. Die Wurzel aus der Varianz ist die sogenannte Standardabweichung. Diese wird mit dem griechischen Buchstaben σ bezeichnet.
Deshalb wird für die Varianz auch oft σ² verwendet, ohne x. Üblich ist aber auch das. Die Standardabweichung spielt zum Beispiel bei der Binomialverteilung eine wichtige Rolle und ist ein Maß für die Breite einer Verteilung.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Varianz und Standardabweichung berechnen
Hier lernst du, die Varianz zu berechnen. Die Standardabweichung ist einfach die Wurzel aus der Varianz. - Um die Varianz berechnen zu können, brauchst du zuerst den Erwartungswert. - Die Standardabweichung spielt bei der Binomialverteilung eine wichtige Rolle.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, die Varianz und die Standardabweichung einer Verteilung zu berechnen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X ist gegeben durch diese Tabelle.
Aufgabe A berechne die Varianz von X und Aufgabe B berechne die Standardabweichung von X. Kommen wir zu Aufgabe A. Kurz nochmal zu dieser Tabelle. Die Zufallsvariable X kann fünf verschiedene Werte annehmen, nämlich die Zahlen von 1 bis 5. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte steht darunter. Zählst du die Wahrscheinlichkeiten zusammen, kommt immer 1 raus.
Für die Varianz gibt es eine Formel und für diese Formel brauchst du den Erwartungswert der Verteilung. Falls der noch nicht bekannt ist, musst du ihn erstmal berechnen. Dazu multiplizierst du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles.
Der Erwartungswert ist also 1 mal 0,2 plus 2 mal 0,1 plus 3 mal 0,4 plus 4 mal 0,1 plus 5 mal 0,2. Das ergibt 3. Auf lange Sicht ist im Mittel also der Wert 3 zu erwarten. Die Formel für die Varianz wenden wir jetzt direkt an.
Dazu rechnest du 1 minus den Erwartungswert 3. Das macht minus 2. Und dann quadrierst du diese Zahl. Das multiplizierst du wie hier mit der Wahrscheinlichkeit. Das machst du für jeden Wert von X und addierst alles.
Machen wir das mal gemeinsam fertig. 2 minus 3 ist minus 1. Das quadrierst du und nimmst das mal 0,1. Dann kommt wieder ein Plus.
3 minus 3 ist 0. Das quadrierst du und nimmst das mal 0,4. Dann kommt wieder ein Plus. 4 minus 3 ist 1. Das quadrierst du und nimmst das mal 0,1.
Dann kommt wieder ein Plus. 5 minus 3 ist 2. Das quadrierst du und nimmst das mal 0,2. Minus 2 zum Quadrat ist 4. Minus 1 zum Quadrat ist 1. 0 zum Quadrat ist 0. Da hier 0 rauskommt, könntest du das auch gleich weglassen.
1 zum Quadrat ist 1 und 2 zum Quadrat ist 4. Rechnest du alles zusammen, kommt 1,8 raus. Das ist die gesuchte Varianz. In Aufgabe b ist die Standardabweichung von X gesucht.
Diese ist nun ganz einfach zu berechnen. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Also die Wurzel aus 1,8.
Das ist rund 1,34. Für die Standardabweichung wird der griechische Buchstabe Sigma verwendet.
Zurück zur Übersichtnoch oben