Erwartungswert
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So berechnest du den Erwartungswert
Der Erwartungswert gibt an, welcher Wert durchschnittlich zu erwarten ist, wenn ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird. Damit kannst du zum Beispiel bei einem Glücksspiel schon vorher deinen durchschnittlichen Gewinn pro Runde ausrechnen. Der Erwartungswert wird mit E(X) oder μ (gelesen "mü") bezeichnet. Der Erwartungswert muss aber kein Wert sein, den die Zufallsvariable annehmen kann. Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert Null ist. Glücksspiele sind in der Regel nicht fair, sondern zum Vorteil für den Anbieter des Glücksspiels.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du den Erwartungswert einer Zufallsvariable berechnest. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Beim Glücksrad gibt die Zufallsvariable x den Gewinn in Euro eines Spielers pro Spiel an.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x ist gegeben durch diese Tabelle. Das ist übrigens die gleiche Verteilung wie beim Glücksrad beim Thema Zufallsvariablen.
Aufgabe a) Berechne den Erwartungswert von X!
Aufgabe b) Warum ist das Spiel nicht fair? Bei welchem Einsatz anstatt 3€ wäre das Spiel fair?
Aktuell muss ein Spieler also 3 Euro zahlen, um teilzunehmen.
Dieser Einsatz ist hier natürlich schon mit eingerechnet. Zum Beispiel ergibt sich der negative Gewinn –3, wenn ein Spieler keine Auszahlung erhält, sondern seinen kompletten Einsatz verliert. Kommen wir zur Aufgabe a. Kurz nochmal zu dieser Tabelle.
Die Zufallsvariable x kann 5 verschiedene Werte annehmen. Ein Wert entspricht einem möglichen Gewinn beim Glücksrad. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte steht darunter.
Zählst du die Wahrscheinlichkeiten zusammen, kommt immer 1 raus. Für den Erwartungswert schreibst du e von x. Üblich ist auch der griechische Buchstabe µ. Nun multiplizierst du jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles. Der Erwartungswert ist also –3·1/8 + –2·3/8 + 1·2/8 + 2·1/8 + 3·1/8.
Das kannst du auch ohne Taschenrechner ausrechnen. Eine ganze Zahl wird mit dem Zähler multipliziert. 3·1 ist 3. Plus mal Minus ergibt Minus.
Und 2·3 ist 6. 1·2 ist 2. 2·1 ist auch 2. Und 3·1 ist 3. Da alle Brüche den gleichen Nenner haben, kannst du sie sofort zusammenrechnen. Der Nenner 8 wird beibehalten. –3 - 6 ist –9.
Plus 2 macht –7, plus 2 macht –5 und plus 3 macht –2. Kürzt du durch 2 macht das –1/4, also –0,25. Das bedeutet, auf lange Sicht verliert ein Spieler 25 Cent pro Spiel.
Kommen wir zur Aufgabe B. Da der Erwartungswert nicht 0 ist, ist das Spiel nicht fair. Fair bedeutet also einfach, dass der Erwartungswert 0 ist. Änderst du den Einsatz des Spielers, kannst du daraus aber ein faires Spiel machen.
Momentan verliert ein Spieler auf lange Sicht 25 Cent pro Spiel, da der Erwartungswert –0,25 ist. Verringert man seinen Einsatz jedoch um diesen Betrag, macht er auf lange Sicht weder Verlust noch Gewinn. Logisch, oder? Und dann wäre das Spiel fair.
3€ - 0,25€ sind 2,75€. Bei diesem Einsatz wäre das Spiel fair.
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