Zufallsvariablen
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Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. In diesem Video siehst du einige Beispiele:
Lösungsbeschreibung
In diesem kurzen Video erkläre ich dir, was eine Zufallsvariable ist. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Zufallsvariablen werden mit großen Buchstaben wie X, Y oder Z bezeichnet.
Schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an. Links siehst du das Zufallsexperiment und rechts eine mögliche Zufallsvariable. Wenn du zweimal hintereinander würfelst, kann die Zufallsvariable zum Beispiel die Summe der Augenzahlen sein.
Wirfst du eine Münze, kann X die Anzahl der Würfe sein, bis zum ersten Mal Zahl oben liegt. Ziehst du drei Kugeln aus einer Urne, kann X die Anzahl der roten Kugeln sein. Beachte, dass eine Zufallsvariable nur Zahlen als Werte annehmen kann.
Die Farbe einer Kugel kann zum Beispiel keine Zufallsvariable sein. Falls es dir um die Farben geht, müsstest du erst jeder Farbe eine Zahl zuordnen. Bei einem Glücksspiel wie dem Glücksrad kann die Zufallsvariable die Auszahlung in Euro sein.
Da du in der Regel einen Einsatz zahlen musst, wäre der Gewinn aber vermutlich interessanter, denn diese Zufallsvariable gibt gleich an, was unterm Strich übrig bleibt.
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Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable / Tabelle
Bei Zufallsvariablen geht es immer darum, ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung anzugeben. Ist die Zufallsvariable X zum Beispiel der Gewinn bei einem Glücksspiel, gibst du an, wie wahrscheinlich jeder einzelne Gewinnbetrag ist. Bei der kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung rechnest du für jeden Gewinnbetrag seine Wahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeiten für kleinere Gewinne zusammen. Das geht in Form einer Tabelle oder als Diagramm. So stellst du die (kumulierte) Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle dar:
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es ausführlich um Zufallsvariablen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Bei einem Spiel wird das Glücksrad einmal gedreht und die angezeigte Zahl in Euro ausbezahlt.
Der Einsatz beträgt 3 Euro. Die Zufallsvariable x gibt den Gewinn an. Aufgabe A, welche Werte kann x annehmen? Und Aufgabe B, stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw.
die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von x in einer Tabelle dar. Kommen wir zur Aufgabe A. Welche Werte kann x annehmen? x ist ja der Gewinn. Die Frage ist also, welche Gewinne sind möglich? Es sind 5 verschiedene Auszahlungen möglich.
0 Euro, 1 Euro, 4 Euro, 5 Euro und 6 Euro. Zieht man davon jeweils den Einsatz ab, bleibt der jeweilige Gewinn übrig. Das kannst du übersichtlich in einer Tabelle darstellen.
Oben stehen die möglichen Ergebnisse, also die Zahlen auf dem Glücksrad. Und darunter der jeweilige Gewinn, also die Zufallsvariable x. Um den Gewinn zu berechnen, ziehst du von diesen Zahlen jeweils 3 Euro Einsatz ab. 0-3 ist –3, 1-3 ist –2, 4-3 ist 1, 5-3 ist 2 und 6-3 ist 3. Anders als im normalen Sprachgebrauch kann ein Gewinn auch negativ sein.
Hier macht der Spieler Verlust. Und erst ab hier macht er wirklich Gewinn. Die Zufallsvariable x kann also die Werte –3, –2, 1, 2 und 3 annehmen.
Kommen wir zur Aufgabe b. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x in einer Tabelle angeben. Hier oben siehst du nochmal die Werte, die x annehmen kann, also die möglichen Gewinne. Gesucht ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Gewinne.
Der Gewinn ist –3, wenn die Null gedreht wird. Die Null steht nur auf einem von 8 gleich großen Feldern, also ist die Wahrscheinlichkeit ein Achtel. Der Gewinn ist –2, wenn eine 1 kommt, also bei 3 von 8 Feldern.
Die Wahrscheinlichkeit ist somit 3 Achtel. Der Gewinn ist –1, wenn eine 4 kommt, also bei 2 von 8 Feldern. Hier könntest du noch kürzen, das wäre ein Viertel.
Der Gewinn ist –2, wenn die 5 kommt, also bei einem von 8 Feldern. Und der Gewinn ist –3, wenn die 6 kommt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist ebenfalls ein Achtel.
Mit dieser Tabelle hast du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x angegeben. Die Wahrscheinlichkeiten zusammen müssen immer 1 ergeben. Am besten überprüfst du das kurz.
Alle Brüche haben den gleichen Nenner. Dieser wird beibehalten und die Zähler werden addiert. 1 plus 3 ist 4, plus 2 ist 6, plus 1 ist 7 und plus 1 ist 8. Das macht 8 Achtel, also gekürzt 1. Viele haben Schwierigkeiten mit der Schreibweise, aber eigentlich ist sie ganz leicht zu verstehen.
Das große x ist die Zufallsvariable. In dieser Aufgabe ist das der Gewinn. Ein kleines x ist ein möglicher Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann.
Also ein konkreter Gewinn, wie zum Beispiel 1 Euro. Der Index I ist eine Nummerierung für die möglichen Werte. x1 ist –3, x2 ist –2 und so weiter.
Da 5 verschiedene Gewinne möglich sind, geht I von 1 bis 5. Das große P steht für Wahrscheinlichkeit. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable x den Wert xI annimmt. Für xI wird dann der konkrete Wert eingesetzt.
Zum Beispiel ist P von x gleich 3 gleich ein Achtel. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn 3 Euro beträgt, ist ein Achtel. Nun kommen wir zur kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dazu fügen wir der Tabelle einfach eine Zeile hinzu. Hier steht zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn 1 Euro ist. Bei der kumulierten Verteilung steht hier die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn höchstens 1 Euro ist.
Es werden also alle Wahrscheinlichkeiten bis hierhin aufaddiert. Deshalb steht hier auch kleinergleich statt istgleich. Beim ersten Wert ist die Wahrscheinlichkeit noch gleich.
Für den zweiten Wert rechnest du ein Achtel plus drei Achtel. Das sind vier Achtel oder gekürzt ein Halb. Für den dritten Wert kommt zu vier Achtel noch zwei Achtel hinzu.
Das macht sechs Achtel. Für den nächsten Wert kommt nochmal ein Achtel hinzu. Das macht dann sieben Achtel.
Und für den letzten Wert kommt nochmal ein Achtel hinzu. Das macht acht Achtel, also gekürzt eins. Wie vorhin schon angesprochen, kommt also eins raus, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst.
Dieser Wert bedeutet zum Beispiel, die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn maximal zwei Euro beträgt, ist sieben Achtel. Das ist also die Wahrscheinlichkeit für diesen Gewinn zusammen mit den kleineren Gewinnen.
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Diagramm
So stellst du die (kumulierte) Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Diagramm dar. Üblich dafür sind Histogramme und Stabdiagramme.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Diagramm darstellst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable X ist gegeben durch diese Tabelle.
Aufgabe A. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einem Diagramm dar. Und Aufgabe B. Stelle die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in einem Diagramm dar. Das ist übrigens die Verteilung aus dem letzten Video mit dem Glücksrad.
Nur mit Kommazahlen statt mit Brüchen. Kommen wir zu Aufgabe A. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung brauchst du nur diese Werte. Deshalb blenden wir den Rest mal aus.
Ein solches Diagramm wird auch Histogramm genannt. Auf dieser Achse sind die Xi und auf dieser Achse ist die Wahrscheinlichkeit. Xi nimmt bei uns diese Werte an.
Also minus 3, minus 2, 1, 2 und 3. Es kann also auch Lücken geben. Bei einem Histogramm steht die jeweilige Zahl in der Mitte des Balkens. Möglich sind auch Stabdiagramme, bei denen du statt Balken nur Stäbe, also Linien, zeichnest.
Die Höhe eines Balkens ist seine Wahrscheinlichkeit. Hier also 0,125. Dann 0,375.
Dann 0,25. Und dann jeweils 0,125. Nun kommen wir zur kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Dafür brauchen wir nur diese Werte. Deshalb blenden wir den Rest wieder aus. Im Diagramm steht hier nun auch kleiner gleich.
Und die Achse geht bis 1. Die Höhe der Balken entspricht wieder der jeweiligen Wahrscheinlichkeit in der Tabelle. Also 0,125. Und dann 0,5.
Bei kumulierten Verteilungen lässt du aber keine Lücke. Es gibt zwar die Gewinne minus 1 und 0 nicht, aber trotzdem kannst du ja sagen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Gewinn höchstens 0 ist. Nämlich genauso groß, wie dass der Gewinn höchstens minus 2 ist.
Das gleiche gilt für minus 1. Wenn es in der Tabelle also eine Lücke gibt, zeichnest du die Balken einfach auf derselben Höhe weiter. Der Balken bei 1 geht bis 0,75. Der nächste bis 0,875.
Und der letzte geht immer bis 1. Hier siehst du nochmal beide Diagramme nebeneinander. Die blauen Balken wirken jetzt nur kürzer, da die Achse nun auch bis 1 geht. Hast du eines der Diagramme gegeben, kannst du das andere leicht herleiten.
Ich zeige dir kurz diese Richtung und dann diese Richtung. Die Balken bei minus 3 sind gleich hoch. Nämlich 0,125.
Für den nächsten roten Balken stellst du dir vor, die blauen Balken aufeinander zu stapeln. Setzt du diesen Balken oben drauf, geht der Balken bis 0,5. Die nächste Erhöhung kommt bei 1. Dieser Balken geht bis 0,25.
Davor hatten wir 0,5. Das macht zusammen 0,75. Die Lücke füllst du mit gleich hohen Balken aus.
Der nächste rote Balken muss um 0,125 höher sein. Und der letzte Balken nochmal. Der letzte Balken muss immer bis 1 gehen, sonst hast du einen Fehler gemacht.
Umgekehrt kannst du auch dieses Diagramm aus diesem Diagramm gewinnen. Der erste Balken ist gleich hoch. Dann kommt ein Sprung.
Der nächste blaue Balken ist so hoch wie dieser Abstand. Also 0,375. Bleiben die Balken auf einer Höhe, ist im linken Diagramm eine Lücke.
Der nächste Sprung ist bei 1. Der Balken ist um 0,25 höher als der vorige. Somit geht dieser Balken bis 0,25. Dann kommt zweimal ein Sprung von jeweils 0,125.
Das ergibt diese beiden Balken.
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