Unabhängigkeit

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• Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchen
• Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit
• So hängen der Produktsatz und die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchen

Zwei Ereignisse A und B sind (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf das Eintreten von B hat und umgekehrt. Um zu prüfen, ob 2 Ereignisse A und B unabhängig sind, rechnest du nach, ob P(A∩B)=P(A)⋅P(B) erfüllt ist (Produktsatz).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du zu prüfen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Du ziehst aus der Urne nacheinander zwei Kugeln.

Sind die Ereignisse a. die erste Kugel ist rot und b. die zweite Kugel ist rot, unabhängig, wenn du a. die erste Kugel wieder zurücklegst und b. die erste Kugel nicht zurücklegst? Um das zu prüfen, verwendest du den sogenannten Produktsatz. Bei unabhängigen Ereignissen a und b ist p von a geschnitten b gleich p von a mal p von b. Nun prüfst du einfach, ob das hier der Fall ist. Dazu ist ein Baumdiagramm sehr nützlich.

Es gibt 4 rote und 6 grüne Kugeln, also insgesamt 10 Kugeln. Im ersten Zug kannst du entweder eine rote oder eine grüne Kugel ziehen. 4 von 10 Kugeln sind rot und 6 von 10 Kugeln sind grün.

Bei Variante a wird die erste Kugel wieder zurückgelegt. Die Ausgangssituation ist also wie vorher. Es gibt 4 rote und 6 grüne Kugeln.

Nachdem du zuerst eine rote Kugel gezogen hast, kannst du nochmal eine rote Kugel oder eine grüne Kugel ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten sind wieder vor 4 Zehntel und 6 Zehntel. Genauso kannst du nach einer grünen Kugel eine rote oder nochmal eine grüne Kugel ziehen.

Die Wahrscheinlichkeiten sind wieder 4 Zehntel bzw. 6 Zehntel. Das ist das Baumdiagramm für ziehen mit zurücklegen.

a bezeichnet das Ereignis, dass die erste Kugel rot ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 4 Zehntel oder gekürzt 2 Fünftel. b bezeichnet das Ereignis, dass die zweite Kugel rot ist.

Dazu gehören diese beiden Pfade. Nach den Pfadregeln ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignis b dann 4 Zehntel mal 4 Zehntel plus 6 Zehntel mal 4 Zehntel. Das ergibt auch 2 Fünftel.

Nun brauchst du die Wahrscheinlichkeit von a geschnitten b. a geschnitten b bedeutet beide Ereignisse treten ein. Also die erste Kugel ist rot und die zweite auch. Dazu gehört dieser Pfad.

Seine Wahrscheinlichkeit ist 4 Zehntel mal 4 Zehntel. Das ergibt gekürzt 4 Fünfundzwanzigste. Nun vergleichst du das mit p von a mal p von b. p von a ist 2 Fünftel und p von b auch.

2 Fünftel mal 2 Fünftel ergibt auch 4 Fünfundzwanzigste. Also ist p von a geschnitten b gleich p von a mal p von b. Somit sind die Ereignisse a und b unabhängig. Kommen wir zur Aufgabe b. Jetzt ziehst du ohne zurücklegen.

Im ersten Zug ist noch alles wie vorher. Doch diesmal legst du die gezogene Kugel nicht zurück. Im zweiten Zug gibt es also nur noch 9 Kugeln.

Hast du zuerst eine rote Kugel gezogen, sind noch 3 von 9 Kugeln rot und 6 von 9 Kugeln grün. Hast du zuerst eine grüne Kugel gezogen, sind noch 4 von 9 Kugeln rot und 5 von 9 Kugeln grün. Das ist das Baumdiagramm für ziehen ohne zurücklegen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, ist nach wie vor 4 Zehntel oder gekürzt 2 Fünftel. b bezeichnet das Ereignis, dass die zweite Kugel rot ist. Dazu gehören diese beiden Pfade.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis b ist dann 4 Zehntel mal 3 Neuntel plus 6 Zehntel mal 4 Neuntel. Das ergibt auch 2 Fünftel. Nun brauchst du noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste und die zweite Kugel rot sind.

Dazu gehört dieser Pfad. Seine Wahrscheinlichkeit ist 4 Zehntel mal 3 Neuntel. Das ergibt gekürzt 2 Fünftel.

Nun vergleichst du das wieder mit p von a mal p von b. 2 Fünftel mal 2 Fünftel sind 4 Fünfundzwanzigstel. Und das ist nicht das gleiche wie 2 Fünftel, denn 4 ist das Doppelte von 2, aber 25 ist nicht das Doppelte von 15. Diesmal ist p von a geschnitten b, ungleich p von a mal p von b. Somit sind die Ereignisse a und b jetzt abhängig.

Das ist auch intuitiv verständlich. Ziehst du eine rote Kugel und legst sie nicht zurück, verringert sich der Anteil der roten Kugeln in der Urne. Das beeinflusst natürlich die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug nochmal eine rote Kugel zu ziehen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Unabhängigkeit

Sind die Ereignisse A und B unabhängig, hat das Eintreten von A keinen Einfluss auf das Eintreten von B. Somit sind die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) und die Wahrscheinlichkeit P(B) gleich. Umgekehrt ändert sich durch das Eintreten von B auch nicht die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A: P(A|B)=P(A) . In diesem Video lernst du, das für ein konkretes Beispiel zu zeigen.

Lösungsbeschreibung

Sind zwei Ereignisse A und B unabhängig, hat das Eintreten von A keinen Einfluss auf das Eintreten von B und umgekehrt. Das verdeutlicht diese Aufgabe. Das Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten beim zweimaligen Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit Zurücklegen.

Die Ereignisse A, die erste Kugel ist rot, und B, die zweite Kugel ist rot, sind unabhängig. Weise nach, dass P von B gegeben A gleich P von B gilt. Dieses Baumdiagramm kennst du schon aus dem letzten Video.

Dort haben wir auch gezeigt, dass die Ereignisse A und B bei Ziehen mit Zurücklegen unabhängig sind. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit von B ändert sich nicht dadurch, dass A eingetreten ist, sondern P von B gegeben A ist gleich P von B. Und das zeigen wir jetzt anhand des Baumdiagramms. P von B gegeben A ist 4 Zehntel.

Das ist die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, wenn bereits im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wurde. Das sind gekürzt 2 Fünftel. Und das müsste das gleiche sein wie P von B. B bezeichnet das Ereignis, dass die zweite Kugel rot ist.

Dazu gehören diese beiden Pfade. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B ist dann 4 Zehntel mal 4 Zehntel plus 6 Zehntel mal 4 Zehntel. Und das ergibt auch 2 Fünftel.

Somit gilt tatsächlich P von B gegeben A ist gleich P von B. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B hat sich durch das Eintreten von Ereignis A also nicht geändert.

So hängen der Produktsatz und die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen

Zwei Ereignisse können stochastisch unabhängig sein, obwohl sie sich in der Realität beeinflussen. Der Produktsatz, mit dem du 2 Ereignisse auf Unabhängigkeit untersuchst, ergibt sich direkt aus der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Das zeige ich dir in diesem Video:

Lösungsbeschreibung

In diesem kurzen Video zeige ich dir, wie die Formel für Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit zusammenhängen. Das ist die Formel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Die Wahrscheinlichkeit von A gegeben B ist die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B durch die Wahrscheinlichkeit von B. Multiplizierst du mit P von B, steht das allein auf einer Seite und auf der anderen Seite steht das mal P von B. Wenn die Ereignisse A und B unabhängig sind, dann hat das Eintreten von Ereignis B keinen Einfluss auf das Eintreten von A. P von A gegeben B ist dann gleich P von A und das ist der Produktsatz, mit dem du prüfst, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.