Vierfeldertafel

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• Vierfeldertafel mit Häufigkeiten
• Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
• So hängt die Vierfeldertafel mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Vierfeldertafel mit Häufigkeiten

Vierfeldertafeln sind Hilfsmittel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Sie helfen dir, die beschriebene Situation übersichtlich darzustellen. Ein typisches Beispiel ist ein Test auf eine Krankheit. Gesucht ist dann zum Beispiel die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die positiv getestet wurde, in Wahrheit gar nicht krank ist. Die Bedingung wäre in diesem Fall, dass der Test positiv ist. Ist die Anzahl der getesteten Personen bekannt, kannst du die Vierfeldertafel mit Häufigkeiten ausfüllen. Das ist leichter verständlich als mit Wahrscheinlichkeiten.

Lösungsbeschreibung

Die Vierfelder-Tafel ist ein Hilfsmittel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. An der folgenden Aufgabe zeige ich dir, wie das geht. In einer klinischen Studie mit 1000 Teilnehmern wird ein neues Diagnoseverfahren getestet.

60% der Teilnehmer sind erkrankt. In 99,5% dieser Fälle liefert das Verfahren ein positives Ergebnis. Das bedeutet, der Test ergibt, dass sie krank sind.

Bei 98% der gesunden Teilnehmer ist das Ergebnis negativ. Das bedeutet, der Test ergibt, dass sie gesund sind. Zu dieser Aufgabe gibt es noch ein zweites Video ohne diese Angabe.

Jetzt lösen wir aber diese Aufgabe. In einer Vierfelder-Tafel lässt sich die Situation gut darstellen. Dort trägst du als erstes die relevanten Ereignisse und Gegenereignisse ein.

Also krank und nicht krank sowie positiver Test und negativer Test. Genauso könntest du hier krank und nicht krank und dafür hier positiver Test und negativer Test hinschreiben. Bei der Studie gab es insgesamt 1000 Teilnehmer.

Diese Zahl kommt hier hin. Nun füllst du nach und nach die Felder aus. Wir wissen, dass 60% der Teilnehmer krank sind.

60% von 1000 sind 600. Dazu rechnet man 0,6 mal 1000. Krank sind also 600 Teilnehmer.

Wie viele sind dann nicht krank? Na klar, 400. Denn 600 plus 400 macht 1000. Bei 99,5% der Erkrankten ist der Test positiv.

Jetzt rechnest du also 99,5% von 600 aus. Nicht von 1000. Das ist 0,995 mal 600.

Und das macht 597. Bei wie vielen Erkrankten fiel der Test dann negativ aus? Bei 3, denn 597 plus 3 macht 600. Außerdem wissen wir, dass der Test bei 98% der Gesunden negativ ist.

Jetzt rechnest du also 98% von 400 aus. Das ist 0,98 mal 400. Und das ergibt 392.

Bei wie vielen Gesunden fiel der Test dann positiv aus? Na klar, bei 8. Denn 392 plus 8 ergibt 400. Bei wie vielen Leuten fiel der Test insgesamt positiv aus? Bei 597 plus 8 Leuten, also bei 605 Leuten. Und bei wie vielen fiel er insgesamt negativ aus? Bei 3 plus 392 Leuten, also bei 395 Leuten.

Kommen wir zur Aufgabe A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis gar nicht krank ist? 605 Leute haben ein positives Testergebnis. 8 davon sind aber gar nicht krank. Also 8 von 605.

Und das ist auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Das sind rund 0,013. Falls du Prozentangaben verständlicher findest, das sind 1,3%.

Damit hast du eine bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt. Nämlich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht krank ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv war. Mit der Vierfelder-Tafel war das ganz einfach, oder? Aufgabe B wird genauso leicht.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Testergebnis doch krank ist? 395 Leute haben ein negatives Testergebnis. 3 davon sind aber doch krank. Also 3 von 395.

Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Das sind rund 0,008 bzw. 0,8%.

Das ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass der Test negativ war. Zu bedingten Wahrscheinlichkeiten gibt es auch ein extra Tutorial auf Abimatte.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Ist die Anzahl der getesteten Personen unbekannt, kannst du die Vierfeldertafel nur mit Wahrscheinlichkeiten ausfüllen. Das ist abstrakter als mit Häufigkeiten, führt aber zu den gleichen Ergebnissen für die gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es nochmal um die Vierfelder-Tafel und wie du sie ausfüllst, wenn keine absoluten Zahlen gegeben sind. Dazu nehmen wir die Aufgabe aus dem letzten Video, nur dass diesmal die Angabe zur Teilnehmerzahl fehlt. Die Aufgabe lautet, in einer klinischen Studie wird ein neues Diagnoseverfahren getestet.

60% der Teilnehmer sind erkrankt. In 99,5% dieser Fälle liefert das Verfahren ein positives Ergebnis. Das bedeutet, der Test ergibt, dass sie krank sind.

Bei 98% der gesunden Teilnehmer ist das Ergebnis negativ. Das bedeutet, der Test ergibt, dass sie gesund sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a.) eine Person mit positivem Testergebnis gar nicht krank ist und b.) eine Person mit negativem Testergebnis doch krank ist? Stellen wir die Situation wieder in einer Vierfelder-Tafel dar.

Dort trägst du als erstes die relevanten Ereignisse und Gegenereignisse ein. Also krank und nicht krank sowie positiver Test und negativer Test. Genauso könntest du hier krank und nicht krank hinschreiben und dafür hier positiver Test und negativer Test.

Die Gesamtzahl der Teilnehmer entspricht 100%, also 1. Diese Zahl kommt hier hin. Nun füllst du nach und nach die Felder aus. Wir wissen, dass 60% der Teilnehmer krank sind.

60% von 1 ist 0,6. Dazu rechnet man 0,6 mal 1. Wenn 60% krank sind, wie viele sind dann nicht krank? Na klar, 40% bzw. 0,4.

Denn 0,6 plus 0,4 macht 1. Bei 99,5% der Erkrankten ist der Test positiv. Jetzt rechnest du also 99,5% von 0,6 aus. 0,995 mal 0,6 macht 0,597.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fiel der Test bei den Kranken dann negativ aus? 0,003. Denn das plus das ergibt 0,6. Außerdem wissen wir, dass der Test bei 98% der Gesunden negativ ist.

Jetzt rechnest du also 98% von 0,4 aus. 0,98 mal 0,4 macht 0,392. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fiel der Test bei den Gesunden dann positiv aus? Na klar, 0,008.

Denn das plus das macht 0,4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fiel der Test insgesamt positiv aus? Das plus das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 0,605. Und mit welcher Wahrscheinlichkeit fiel er insgesamt negativ aus? Das plus das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 0,395.

Kommen wir zur Aufgabe A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis gar nicht krank ist? Im ersten Moment könnte man denken, das sei diese Wahrscheinlichkeit. Aber das ist die Wahrscheinlichkeit bezogen auf alle Teilnehmer. Denn diese vier Zahlen ergeben zusammen 1, also 100%.

Wenn wir aber schon wissen, dass der Test positiv war, ist die Person entweder in diesem Feld oder in diesem Feld. Die anderen beiden Felder können wir schon ausschließen. Und wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit, gemessen an dieser Zahl, statt gemessen an 1? Also wie viel ist 0,008 von 0,605? Das ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit, nämlich rund 0,013.

Oder falls du Prozentangaben verständlicher findest, 1,3%. Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht krank ist, unter der Bedingung, dass der Test positiv war. Kommen wir zur Aufgabe B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Testergebnis doch krank ist? Im ersten Moment könnte man denken, das sei diese Wahrscheinlichkeit.

Aber wie zuvor ist das die Wahrscheinlichkeit, gemessen an allen Teilnehmern. Denn diese vier Zahlen ergeben zusammen 1. Wenn wir aber schon wissen, dass der Test negativ war, ist die Person entweder in diesem Feld oder in diesem Feld. Die anderen beiden Felder können wir schon ausschließen.

Und wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit, gemessen an dieser Zahl, statt gemessen an 1? Also wie viel ist 0,003 von 0,395? Das ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit, nämlich rund 0,008 bzw. 0,8%. Das ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass der Test negativ war.

Es kommen also die gleichen Wahrscheinlichkeiten raus wie in dem anderen Video. Zu bedingten Wahrscheinlichkeiten gibt es auch ein extra Tutorial auf Abimatte.

So hängt die Vierfeldertafel mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit zusammen

Der einzige Zweck einer Vierfeldertafel besteht darin, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Deshalb zeige ich dir jetzt, was eine Vierfeldertafel mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit zu tun hat.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video möchte ich dir zeigen, warum du mit einer Vierfelder-Tafel bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst. Hier siehst du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. p von a gegeben b ist p von a geschnitten b geteilt durch p von b. Auf die gleiche Weise kannst du p von b gegeben a berechnen.

Dann muss hier p von a stehen. Bei der Schnittmenge brauchst du a und b nicht zu vertauschen. Denn b geschnitten a ist das gleiche wie a geschnitten b. Alle Wahrscheinlichkeiten, die du für diese Formeln brauchst, findest du in der Vierfelder-Tafel.

Lass uns mal überlegen, wo diese Wahrscheinlichkeiten stehen. Wenn du die Tafel ausfüllst, schreibst du ja hier ein Ereignis und sein Gegenereignis rein und hier genauso. Nun kombinierst du jeweils die Ereignisse und Gegenereignisse.

Hier treten a und b beide ein. Hier tritt a ein, aber nicht b. Hier umgekehrt. Und hier treten beide nicht ein.

Dieses Symbol steht für das Wort und bzw. die Schnittmenge. Die Wahrscheinlichkeit, die in diesem Feld steht, ist jeweils die Zahl, die hier oben hin muss.

Hier tritt beide Male b ein. Einmal mit und einmal ohne a. Diese beiden Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben dann die Wahrscheinlichkeit, dass b eintritt. Diese Zahl setzt du hier ein.

Hier dagegen brauchst du die Wahrscheinlichkeit von a. Diese findest du entsprechend hier. Merke dir aber nicht blind, welche Felder du brauchst. Falls du nämlich a und b getauscht hast, sind natürlich auch diese beiden Felder vertauscht.