Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind 2 Ereignisse A und B gegeben, kannst du ausrechnen, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist. Das nennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Nur wenn die Ereignisse unabhängig sind, hat das Eintreten von Ereignis B keinen Einfluss auf das Eintreten von A (und umgekehrt). In diesem Video zeige ich dir die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, was eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist und wie du sie berechnest. Schau dir diese Abbildung an. Bei diesem Experiment können zwei Ereignisse auftreten, rot und blau dargestellt.
Beide Ereignisse können auch zusammen auftreten. Das ist die gelbe Schnittmenge. Bezeichnen wir diese mal mit A. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für A? Ein Drittel.
Denn das ist eines von drei gleich großen Feldern. Hier hattest du keine weiteren Informationen. Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten weißt du schon, dass ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist.
Nehmen wir mal an, das blaue Ereignis ist bereits eingetreten. Nennen wir es mal B. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für das gelbe Ereignis? Ein Halb. Denn das ist die Hälfte von dem.
Das nennt man die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B. Üblich dafür ist auch diese Schreibweise. Die bedingte Wahrscheinlichkeit kannst du auch mit dieser Formel ausrechnen. Machen wir das mal zum Vergleich.
P von A geschnitten B ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig auftreten. Das ist hier der Fall. Die Wahrscheinlichkeit davon ist ein Drittel.
Denn das ist eines von drei gleich großen Feldern. Die Wahrscheinlichkeit von B ist zwei Drittel. Denn das sind zwei von drei Feldern.
Um durch den Bruch zwei Drittel zu teilen, multiplizierst du mit seinem Kehrwert drei Halbe. Jetzt kürzen sich die Dreien und übrig bleibt ein Halb. Es kommt also das gleiche raus wie zuvor.
Diese Wahrscheinlichkeit darf nie Null sein, da man nicht durch Null teilen darf.
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Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen
Tip: Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, können auch Baumdiagramme und Vierfeldertafeln sehr nützlich sein. So berechnest du eine bedingte Wahrscheinlichkeit ohne und mit Formel:
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lösen wir eine Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Die Aufgabe lautet, eine gerade Zahl wurde gewürfelt. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit für eine 6? a soll das Ereignis bezeichnen, dass eine 6 gewürfelt wurde.
b ist das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde. Das sind die Zahlen 2, 4 und 6 auf dem Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6, wenn du weißt, dass eine dieser Zahlen gewürfelt wurde? 6 ist jetzt eine von drei Zahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit ein Drittel.
Das nennt man die bedingte Wahrscheinlichkeit von a gegeben b. Kurz p von a gegeben b. Üblich dafür ist auch diese Schreibweise. Normalerweise ist ja die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ein Sechstel. Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit doppelt so hoch, da du die Zahlen 1, 3 und 5 von vornherein ausschließen konntest.
Zum Schluss möchte ich dir noch zeigen, wie du mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit auf das gleiche Ergebnis kommst. Dazu schreiben wir noch die Ergebnismenge S auf, die alle Zahlen enthält, die gewürfelt werden können. p von a geschnitten b ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse a und b gemeinsam eintreten.
Das ist der Fall, wenn eine 6 kommt, denn die 6 steht hier drin und hier drin. 6 ist eine von sechs möglichen Zahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür ein Sechstel. p von b ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis b eintritt.
2, 4 und 6 sind drei von sechs möglichen Zahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit 3 Sechstel. Um durch den Bruch 3 Sechstel zu teilen, multiplizierst du mit seinem Kehrwert 6 Drittel. Jetzt kürzen sich die Sechsen und übrig bleibt ein Drittel.
Es kommt also das gleiche raus wie vorher.
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