Geschicktes Abzählen (Kombinatorik)
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Möglichkeiten abzählen / Beispiel
Beim Abzählen kommt es darauf an, ob... - du mit oder ohne Zurücklegen ziehst - die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht. Beim Lotto werden die Kugeln nicht zurückgelegt und die Reihenfolge ist egal. Es kommt nur auf die Kombination der Zahlen an. Spielt die Reihenfolge dagegen eine Rolle, nennt man jede mögliche Anordnung (Permutation) auch Variation. Tips: 2 Kugeln gleichzeitig zu ziehen ist wie 2 Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen zu ziehen und die Reihenfolge nicht zu beachten. Stelle dir jede Situation wie das Ziehen von Kugeln aus einer Urne vor!
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es darum, Möglichkeiten geschickt abzuzählen. Das nennt man Kombinatorik. Oft wäre ein Baumdiagramm nämlich viel zu groß und unübersichtlich.
Dazu lesen wir diese Aufgabe. In einer Urne sind 10 Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 10. Wie viele Möglichkeiten gibt es? a. Nacheinander 4 Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen.
b. Nacheinander 4 Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen. c. 4 Kugeln in einer Reihe anzuordnen. d. 4 Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen, ohne die Reihenfolge zu beachten.
Also wie beim Lotto, wo es nur auf die Zahlen ankommt und nicht auf die Reihenfolge, in der sie gezogen wurden. Und als Zusatzfrage? Wie hoch ist deine Gewinnchance beim Lotto 4 aus 10 aus Aufgabe d? Ich benutze hier ganz bewusst nicht die Formeln mit N und K, die du vielleicht schon gesehen hast, denn damit wird das Ganze unnötig kompliziert. Ich zeige dir jedoch jedes Mal, welche Formel dahinter steckt.
Kommen wir zur Aufgabe a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? a. Nacheinander 4 Kugeln mit Zurücklegen zu ziehen. b. Für den 1. Zug gibt es 10 Möglichkeiten. c. Wenn du die gezogene Kugel wieder zurücklegst, gibt es beim 2. Zug wieder 10 Möglichkeiten.
d. Genauso beim 3. und 4. Zug. Die Anzahlen müssen alle miteinander multipliziert werden. Das kannst du dir so klar machen.
Im 1. Zug kann jede Zahl von 1 bis 10 kommen. Das sind 10 Möglichkeiten. Angenommen es kam die 3. Für den 2. Zug gibt es wieder 10 Möglichkeiten.
Das macht also 10 Paare bestehend aus der 3 und einer dieser Zahlen. Doch auch mit den anderen Zahlen gibt es jeweils 10 Möglichkeiten. Also 10 Paare plus 10 Paare plus 10 Paare plus 10 Paare und so weiter.
Das macht insgesamt schon 100 Paare oder 10 mal 10. Für jedes dieser 100 Paare kommt im 3. Zug wieder eine Zahl von 1 bis 10 dazu. Also wieder mal 10.
Und das gleiche nochmal im 4. Zug. 10 mal 10 mal 10 mal 10 ist 10.000. Also eine 1 mit 4 Nullen. Hier gibt es also 10.000 Möglichkeiten.
Das ist 10 hoch 4. Und entspricht der Formel n hoch k, die du vielleicht schon mal gesehen hast. Kommen wir zur Aufgabe b. Wie viele Möglichkeiten gibt es, nacheinander 4 Kugeln ohne zurücklegen zu ziehen? Für den 1. Zug gibt es wie zuvor 10 Möglichkeiten. Für den 2. Zug gibt es aber nur noch 9 Möglichkeiten.
Für den 3. 8 und für den 4. 7. Das macht 5040 Möglichkeiten. Also schon viel weniger als vorher. Auf das gleiche Ergebnis kommst du mit der Formel nFakultät geteilt durch n-kFakultät.
Kommen wir zur Aufgabe c. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Stell dir vor, du hast einen Kasten mit 4 Fächern nebeneinander. In jedes Fach legst du nun eine Kugel. Für das 1. Fach gibt es 4 Möglichkeiten.
Wenn du entschieden hast, welche Kugel ins 1. Fach soll, gibt es für das 2. Fach nur noch 3 Möglichkeiten. Für das 3. Fach gibt es nur noch 2 Möglichkeiten und für das 4. Fach nur noch eine. Die Möglichkeiten müssen wieder miteinander multipliziert werden.
Das macht 24 Möglichkeiten. Multipliziert man alle Zahlen von 1 bis 4, schreibt man dafür auch kurz 4Fakultät. Dahinter steckt allgemein die Formel n-kFakultät.
Kommen wir zur Aufgabe d. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Kugeln ohne Zurücklehnen zu ziehen, ohne Beachtung der Reihenfolge? Also wie beim Lotto. Mit Beachtung der Reihenfolge gibt es dafür 5040 Möglichkeiten. Das hast du schon in Aufgabe b ausgerechnet.
Beim Lotto kommt es aber nur auf die Zahlenkombination an. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Deshalb musst du alle Möglichkeiten, die aus denselben 4 Zahlen zusammengesetzt sind, zu einer Möglichkeit zusammenfassen.
Und wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Zahlen in unterschiedlicher Reihenfolge anzuordnen? Na 24! Das hast du in Aufgabe c ausgerechnet. Also musst du durch 24 teilen. Somit gibt es 210 Möglichkeiten beim Lotto 4 aus 10.
Dahinter steckt die Formel nFakultät geteilt durch kFakultät mal n-kFakultät. Hierfür schreibt man auch kurz n über k. Das ist der sogenannte Binomialkoeffizient. Wie du siehst, machen die Formeln die Sache ganz schön kompliziert.
Und du brauchst sie eigentlich nicht. Kommen wir zur Zusatzfrage. Wie hoch ist deine Gewinnchance beim Lotto 4 aus 10? In Aufgabe d haben wir gesehen, dass es für eine Ziehung 210 Möglichkeiten gibt.
Wenn du nur einen Tipp abgibst, ist das nur eine von 210 Möglichkeiten. Und das ist auch die Wahrscheinlichkeit, also deine Chance auf einen Gewinn. Das sind rund 0,0048.
Also 0,48%. Je mehr Tipps du abgibst, desto größer wird diese Zahl und damit deine Gewinnchance.
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Zusatz: Hypergeometrische Verteilung
Bisher kannst du berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen. Genauso viele verschiedene Tipps kannst du abgeben. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass unter den 6 getippten Zahlen genau 2 Richtige sind, brauchst du die Hypergeometrische Verteilung.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du Wahrscheinlichkeiten mit der hypergeometrischen Verteilung berechnest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 6 aus 49 genau zwei Richtige zu tippen? Das bedeutet, von den sechs Zahlen, die du tippst, müssen zwei richtig und vier falsch sein.
Jetzt überlegst du erstmal, wie viele Möglichkeiten es überhaupt gibt, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen. Für die erste Kugel gibt es 49 Möglichkeiten. Da diese nicht zurückgelegt wird, gibt es für die zweite nur noch 48 Möglichkeiten.
Und so weiter. Für die sechste Kugel gibt es noch 44 Möglichkeiten. Hierbei wird jedoch noch die Reihenfolge beachtet.
Beim Lotto kommt es aber nur auf die Zahlenkombination an. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Deshalb teilst du durch die Anzahl der Möglichkeiten, 6 Kugeln anzuordnen.
Ordnet man 6 Kugeln in einer Reihe an, hat man für die erste Kugel 6 Möglichkeiten, für die nächste 5 und so weiter, bis zum Schluss nur noch eine Kugel übrig bleibt. Das ergibt knapp 14 Millionen Möglichkeiten, 6 Kugeln aus 49 Kugeln zu ziehen. Jetzt stell dir vor, von den sechs gezogenen Zahlen hast du zwei richtig getippt.
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Na, für die erste Zahl kommt jede der 6 in Frage. Und für die zweite gibt es nur noch 5 Möglichkeiten. Das macht 30 Möglichkeiten, wobei aber die Reihenfolge berücksichtigt wird.
Diese spielt ja keine Rolle. Deshalb teilst du wie hier entsprechend durch 2 mal 1. Das ergibt 15 Möglichkeiten. Wenn du zwei von den sechs richtigen Zahlen getippt hast, musst du auch vier von den 43 falschen Zahlen getippt haben.
Nun berechnest du genau wie hier und hier die Anzahl der Möglichkeiten dafür. Für die erste falsche Zahl hast du 43 Möglichkeiten, für die nächste nur noch 42, dann 41 und dann 40. Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, teilst du durch das.
Das ergibt 123.410 Möglichkeiten, vier Zahlen aus den 43 nicht gezogenen Zahlen auszuwählen. Hier siehst du nochmal die Ergebnisse. Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Richtige ausrechnen.
Diese Zahl kommt hier hin, diese hier und diese hier. Jede Möglichkeit für zwei Richtige muss mit jeder Möglichkeit für vier Falsche kombiniert werden. Deshalb musst du diese Zahlen multiplizieren.
Diese Anzahl an Möglichkeiten von insgesamt so vielen Möglichkeiten ist genau die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Richtige zu tippen, ist rund 0,13, also etwa 13%. Hierhinter steckt die Formel für die hypergeometrische Verteilung.
Hier unten steht 49 über 6. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, 6 aus 49 Kugeln zu ziehen, ohne die Reihenfolge zu beachten. Hier steht 6 über 2. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus den 6 richtigen Zahlen zu tippen. Und hier steht 43 über 4. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten, 4 aus 43 falschen Zahlen zu tippen.
Die Formel sieht allgemein so aus. Das sind sogenannte Binomialkoeffizienten. Diese werden bei der Binomialverteilung genauer behandelt.
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