Baumdiagramme

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Baumdiagramme

Ziehst du nacheinander mehrere Kugeln aus einer Urne, ist das ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Dabei unterscheidet man zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Um die möglichen Ergebnisse darzustellen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, sind Baumdiagramme sehr nützlich. Wahrscheinlichkeiten berechnest du mit den folgenden Pfadregeln. - Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert. - Bei mehreren Pfaden werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert. Tips: - Die Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, haben zusammen immer die Wahrscheinlichkeit 1. Damit kannst du dein Baumdiagramm schnell überprüfen. - Manchmal reicht es, nur einen Teil des Baums zu zeichnen. - Wäre ein Baumdiagramm zu umfangreich, kannst du die Ergebnisse eines Zufallsexperiments mit Hilfe der Kombinatorik abzählen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, Baumdiagramme zu zeichnen und Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln zu berechnen. Dazu nehmen wir diese Aufgabe. Du ziehst aus der Urne nacheinander zwei Kugeln.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse, wenn du A, die erste Kugel wieder zurücklegst und B, die erste Kugel nicht zurücklegst. Ereignis A, beide Kugeln sind rot. Ereignis B, eine Kugel ist rot, die andere grün.

Ereignis C, mindestens eine Kugel ist grün. Aufgabe C, du gewinnst, wenn beide Kugeln rot sind und darfst zwischen Variante A und B wählen. Wofür entscheidest du dich? Variante A wird ziehen mit zurücklegen genannt und Variante B ziehen ohne zurücklegen.

Das ist eine ganz wichtige Unterscheidung. Da wir mehrmals ziehen, ist das ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Dabei sind Baumdiagramme sehr nützlich.

Für das Baumdiagramm zählst du zuerst die roten und die grünen Kugeln. Es gibt 4 rote Kugeln und 6 grüne Kugeln, also insgesamt 10 Kugeln. Jetzt fängst du an.

Im ersten Zug kannst du entweder eine rote oder eine grüne Kugel ziehen. 4 von 10 Kugeln sind rot, also ist das die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel. 6 von 10 Kugeln sind grün.

Anschließend legst du die Kugel zurück und ziehst nochmal. Die Ausgangssituation ist also wie vorher. Es gibt 4 rote und 6 grüne Kugeln.

Nachdem du zuerst eine rote Kugel gezogen hast, kannst du nochmal eine rote Kugel ziehen oder eine grüne Kugel. Die Wahrscheinlichkeiten sind wieder vor 4 Zehntel und 6 Zehntel. Genauso kannst du nach einer grünen Kugel eine rote oder nochmal eine grüne Kugel ziehen.

Die Wahrscheinlichkeiten sind wieder 4 Zehntel und 6 Zehntel. Zum Schluss kannst du das Ergebnis nochmal an jeden Pfad schreiben. Hier hast du zweimal rot gezogen, hier erst rot und dann grün, hier umgekehrt und hier zweimal grün.

Das ist das Baumdiagramm für ziehen mit zurücklegen. Tipp, die Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, haben immer die Wahrscheinlichkeit 1. So kannst du deinen Baum schnell überprüfen. 4 Zehntel plus 6 Zehntel sind 10 Zehntel, also gekürzt 1. Diese beiden ergeben genauso 1. Und die beiden auch.

Jetzt berechnen wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. A bezeichnet das Ereignis, dass beide Kugeln rot sind. Diesem Ereignis entspricht dieser Pfad.

Nach der ersten Pfadregel werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist also 4 Zehntel mal 4 Zehntel. 4 mal 4 ist 16 und 10 mal 10 ist 100.

Gekürzt durch 4 ergibt das 4 25. Rein rechnerisch zieht man also bei 4 von 25 Durchgängen zwei rote Kugeln. B bezeichnet das Ereignis, dass eine Kugel rot und die andere grün ist.

Zu diesem Ereignis gehören zwei Pfade, nämlich erst rot und dann grün oder umgekehrt erst grün und dann rot. Dafür brauchst du noch die zweite Pfadregel. Bei mehreren Pfaden werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.

Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Pfad ist 4 Zehntel mal 6 Zehntel. Dann kommt das Plus entsprechend der zweiten Pfadregel und die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Pfad ist 6 Zehntel mal 4 Zehntel. Das macht zusammen 48 Hundertstel.

Gekürzt durch 4 ergibt das 12 25. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis C zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Diese zeige ich dir nacheinander.

C bezeichnet das Ereignis, dass mindestens eine Kugel grün ist. Zu diesem Ereignis gehören drei Pfade, nämlich erst rot und dann grün oder umgekehrt oder zweimal grün. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis C ist dann die Wahrscheinlichkeit für den ersten Pfad plus die Wahrscheinlichkeit für den zweiten Pfad plus die Wahrscheinlichkeit für den dritten Pfad.

Also 4 Zehntel mal 6 Zehntel plus 6 Zehntel mal 4 Zehntel plus 6 Zehntel mal 6 Zehntel. Alles zusammen macht 84 Hundertstel. Gekürzt durch 4 ergibt das 21 25.

Das war der erste Weg. Jetzt kommt der zweite. Die ersten beiden Pfade bilden ja das Ereignis B mit dieser Wahrscheinlichkeit.

Du könntest deshalb auch folgendes schreiben. P von C ist P von B plus 6 Zehntel mal 6 Zehntel. P von B war 12 25 und das macht 36 Hundertstel.

Zusammen ergibt das wieder 21 25. Wenn viele Pfade zu einem Ereignis gehören, kommst du aber meist über das Gegenereignis am schnellsten zum Ziel. Zum Ereignis C gehören diese drei Pfade.

Die übrigen Pfade bilden das Gegenereignis. Das ist hier nur ein einziger Pfad. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis.

Also 1 minus 4 Zehntel mal 4 Zehntel. Das macht 1 minus 16 Hundertstel und das ergibt natürlich auch 21 25. Das war übrigens die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, die wir am Anfang ausgerechnet hatten.

Also die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln. Du könntest deshalb auch folgendes schreiben. P von C ist 1 minus P von A. P von A war 4 25 und das ergibt wieder 21 25.

Kommen wir zur Aufgabe B. Jetzt ziehen wir ohne zurücklegen. Im ersten Zug ist noch alles wie vorher. Doch diesmal legst du die gezogene Kugel nicht zurück.

Im zweiten Zug gibt es also nur noch neun Kugeln. Angenommen du hast zuerst eine rote Kugel gezogen. Dann sind noch drei rote Kugeln übrig.

Also drei von neun Kugeln sind rot. Die grünen Kugeln sind noch alle da. Also sechs von neun Kugeln sind grün.

Beide Wahrscheinlichkeiten haben sich im Vergleich zu vorher geändert. Jetzt nehmen wir an, du hast zuerst eine grüne Kugel gezogen. Dann sind noch fünf grüne Kugeln übrig.

Außerdem gibt es insgesamt eine Kugel weniger. Also fünf von neun Kugeln sind grün. Von den roten Kugeln sind noch alle vier da.

Also sind vier von neun Kugeln rot. Wieder haben sich beide Wahrscheinlichkeiten im Vergleich zu vorher geändert. Das ist das Baumdiagramm für ziehen ohne zurücklegen.

Auch hier haben die Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, immer die Wahrscheinlichkeit 1. 4 Zehntel plus 6 Zehntel sind 10 Zehntel. Also gekürzt 1. 3 Neunte plus 6 Neunte sind 9 Neunte. Also 1. Und 4 Neunte plus 5 Neunte sind auch 9 Neunte.

Also wieder 1. Jetzt berechnen wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit den bekannten Pfadregeln. A bezeichnet das Ereignis, dass beide Kugeln rot sind. Diesem Ereignis entspricht dieser Pfad.

Die Wahrscheinlichkeit von A ist somit 4 Zehntel mal 3 Neunte. 4 mal 3 ist 12 und 10 mal 9 ist 90. Gekürzt durch 6 ergibt das 2 Fünfzehnte.

B bezeichnet das Ereignis, dass eine Kugel rot und die andere grün ist. Zu diesem Ereignis gehören die zwei Pfade erst rot und dann grün oder umgekehrt erst grün und dann rot. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B ist dann 4 Zehntel mal 6 Neunte plus 6 Zehntel mal 4 Neunte.

Das macht zusammen 48 Neunzigste. Gekürzt durch 6 ergibt das 8 Fünfzehnte. Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis C auszurechnen, hast du wieder mehrere Möglichkeiten.

Ich zeige dir jetzt nur eine davon. C bezeichnet das Ereignis, dass mindestens eine Kugel grün ist. Zu diesem Ereignis gehören diese drei Pfade erst rot und dann grün oder umgekehrt oder zweimal grün.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis C ist dann 4 Zehntel mal 6 Neunte plus 6 Zehntel mal 4 Neunte plus 6 Zehntel mal 5 Neunte. Alles zusammen macht 78 Neunzigste. Gekürzt durch 6 ergibt das 13 Fünfzehnte.

Was ist nun besser, um zwei rote Kugeln zu ziehen? Ziehen mit oder ohne zurücklegen? Das war die Frage in Aufgabe C. Dazu vergleichst du einfach beide Wahrscheinlichkeiten. Zwei rote Kugeln war ja Ereignis A. Mit zurücklegen hast du dafür die Wahrscheinlichkeit 4 Fünfundzwanzigste ausgerechnet, also 0,16. Und ohne zurücklegen war die Wahrscheinlichkeit 2 Fünfzehntel, also 0,13 Periode 3. Das ist kleiner als 0,16.

Mit zurücklegen hast du also eine größere Chance. Deshalb solltest du dich für Variante A entscheiden. Noch ein Tipp.

Manchmal reicht ein Teil des Baums. Wäre es nur um Frage C gegangen, dann hätte jeweils der Pfad mit den zwei roten Kugeln gereicht. Zeichne nur das, was du wirklich brauchst, um eine Aufgabe zu lösen.