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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Grundbegriffe

In diesem Video lernst du, was diese Begriffe bedeuten: - Zufallsexperiment und Laplace-Experiment - Ergebnis und Ergebnismenge - Ereignis und Gegenereignis - Sicheres und unmögliches Ereignis - Schnittmenge und Vereinigungsmenge

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du einige wichtige Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei geht es immer um Zufallsexperimente. Das sind Versuche, bei denen verschiedene Ergebnisse möglich und nicht vorhersagbar sind.

Besonders wichtig sind Laplace-Experimente. Das sind Versuche, bei denen jedes mögliche Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Der Name geht zurück auf den französischen Mathematiker und Physiker Laplace.

Schauen wir uns mal ein paar Beispiele für Laplace-Experimente an. Der Klassiker ist das Werfen eines Würfels. Denn du kannst nicht vorhersagen, was du als nächstes würfelst.

Und jede Zahl von 1 bis 6 hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Genauso ist das Werfen einer Münze ein Laplace-Experiment. Du kannst nicht vorhersagen, ob Kopf oder Zahl kommen wird.

Und beides ist gleich wahrscheinlich. Auch das Ziehen einer Karte ist ein Laplace-Experiment, wenn die Karten gut durchgemischt wurden. Kein Laplace-Experiment ist dagegen das Würfeln mit einem Lego-Achter.

Dazu nimmt man solch einen Legostein und beschriftet die Seiten mit Zahlen. Die Chance, dass nach einem Wurf zum Beispiel diese Seite oben liegt, ist aber viel kleiner als bei dieser Seite. Deshalb kann das kein Laplace-Experiment sein.

Ebenso wenig wie das Werfen einer verbeulten Münze. Kopf und Zahl haben jetzt nicht mehr die gleiche Chance bzw. Wahrscheinlichkeit.

Ein drittes Beispiel ist das Werfen einer Reißzwecke. Es ist nämlich viel wahrscheinlicher, dass sie auf der Seite landet, als auf dem Kopf. Am Beispiel des Würfels erkläre ich dir jetzt noch ein paar weitere wichtige Begriffe.

Der Ausgang eines Versuchdurchgangs wird als Ergebnis bezeichnet. Als Beispiel nehmen wir das Ergebnis, das du bestimmt am liebsten hast, eine 6. In der Ergebnismenge schreibst du aber alle Ergebnisse auf, die möglich sind. Hier die Zahlen von 1 bis 6. Die Reihenfolge ist zwar egal, aber du solltest die Ergebnisse trotzdem sortieren, damit es übersichtlich bleibt.

Für eine Menge benutzt du immer so eine geschweifte Klammer. Übliche Bezeichnungen für die Ergebnismenge sind S oder auch Omega. Du kannst die Ergebnismenge aber auch kürzer aufschreiben.

Geht es zum Beispiel darum, eine 6 zu würfeln, dann ist diese Ergebnismenge noch besser geeignet. Sie besteht jetzt nur noch aus 6 und nicht 6. Ein Ereignis kann eines dieser Ergebnisse sein oder aus mehreren davon bestehen. Zum Beispiel besteht das Ereignis A, eine gerade Zahl zu würfeln, aus den Ergebnissen 2, 4 und 6. Das Ereignis tritt ein, sobald eine dieser Zahlen gewürfelt wird.

Ein anderes Ereignis ist eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln, also eine 3 oder eine 6. Ereignisse kannst du mit Worten oder mit Mengen formulieren. In der Regel wird ein Ereignis in der Aufgabe mit Worten beschrieben und wenn du die Aufgabe bearbeitest, schreibst du es als Menge auf, weil das praktischer ist. Diese Ereignisse können eintreten oder auch nicht.

Ein sicheres Ereignis muss eintreten. Ein Beispiel dafür ist das Ereignis C, eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln. Diese Menge entspricht genau der Ergebnismenge S. Die Ergebnismenge ist immer ein sicheres Ereignis, egal wie sie aussieht.

Zum Beispiel ist auch sicher, dass der nächste Wurf eine 6 oder keine 6 sein wird. Das Gegenteil eines sicheren Ereignisses ist ein unmögliches Ereignis, zum Beispiel eine 7 zu würfeln. 7 ist als Ergebnis gar nicht möglich.

Statt die Mengenklammer einfach leer zu lassen, wird in der Regel dieses Symbol für die leere Menge verwendet. Es sieht genauso aus wie das Symbol für den Durchschnitt. Zu jedem Ereignis gibt es auch ein Gegenereignis.

Nehmen wir nochmal das Ereignis A, eine gerade Zahl zu würfeln, dann ist das Gegenereignis keine gerade Zahl bzw. eine ungerade Zahl zu würfeln. Das sind alle Zahlen, die übrig bleiben, wenn man 2, 4 und 6 weglässt.

Also die Zahlen 1, 3 und 5. Für das Gegenereignis Nicht-A machst du einfach einen Querstrich über das Ereignis. Ein Ergebnis liegt entweder in A oder in Nicht-A. A und Nicht-A ergeben zusammen die gesamte Ergebnismenge S. Der nächste wichtige Begriff ist die Schnittmenge von 2 oder noch mehr Ereignissen.

Nehmen wir nochmal das Ereignis A, eine gerade Zahl zu würfeln und das Ereignis B, eine durchdreiteilbare Zahl zu würfeln. Die Schnittmenge ist das Ereignis, eine Zahl zu würfeln, die beides ist. Also gerade und durchdreiteilbar.

Für die Schnittmenge gibt es dieses Symbol. Das liest sich C ist gleich A geschnitten B. Um diese Menge konkret anzugeben, schaust du, welche Zahlen hier und hier vorkommen. Nur die 6 steht in beiden Mengenklammern.

Also ist das die Schnittmenge. Grafisch kannst du dir das so vorstellen. Die Ereignisse A und B überlappen sich.

Alle Zahlen, die sowohl zu dieser Menge als auch zu dieser Menge gehören, bilden zusammen die Schnittmenge. Die Schnittmenge kann auch leer sein, wie hier. Klar, denn eine Zahl kann nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein.

Das Signalwort für die Schnittmenge ist UND. Das Signalwort für die Vereinigungsmenge ist ODER. Nehmen wir wieder die Ereignisse A und B. Ihre Vereinigung ist dann das Ereignis D, eine Zahl zu würfeln, die gerade oder durchdreiteilbar ist.

Sie darf auch beides sein. ODER ist also nicht im Sinne von entweder oder gemeint. Um diese Menge anzugeben, schreibst du einfach alle Elemente aus dieser Menge und dieser Menge ab und sortierst sie dabei.

Also 2, 3, 4 und 6. Doppelte Zahlen wie die 6 schreibst du nur einmal auf. Das Symbol ist genau umgedreht wie bei der Schnittmenge. Die Vereinigungsmenge umfasst also alle Elemente, die nur in A liegen oder nur in B und die, die in der Schnittmenge liegen.


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Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Bei einem Laplace-Experiment ist jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich. Beim Würfeln ist zum Beispiel jede Zahl von 1 bis 6 gleich wahrscheinlich. Um darauf hinzuweisen, nennt man ein solches Experiment nicht einfach nur Zufallsexperiment, sondern Laplace-Experiment und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Laplace-Wahrscheinlichkeit. Hier lernst du, solche Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Laplace war übrigens ein französischer Mathematiker und Physiker.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wahrscheinlichkeiten bei einem Laplace-Experiment berechnest. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein Würfel wird geworfen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine 3 kommt? Dass keine 3 kommt? Dass eine 3 oder keine 3 kommt? Dass eine gerade Zahl kommt? Dass eine Zahl kommt, die gerade und durch 3 teilbar ist? Dass eine Zahl kommt, die gerade und durch 5 teilbar ist? Und dass eine Zahl kommt, die gerade oder durch 3 teilbar ist? Würfeln ist ein Laplace-Experiment, weil das Ergebnis nicht vorhersagbar ist und alle Zahlen von 1 bis 6 gleichwahrscheinlich sind. Vorausgesetzt natürlich, der Würfel ist nicht gezinkt. Jetzt gehen wir die Aufgaben nacheinander durch.

Aufgabe A lautet Wie wahrscheinlich ist es, dass eine 3 kommt? Nennen wir dieses Ereignis mal A. Die Wahrscheinlichkeit davon wird mit P von A bezeichnet. P steht für das englische Wort Probability, übersetzt Wahrscheinlichkeit. 3 ist eine von 6 möglichen Zahlen.

Das ergibt die Wahrscheinlichkeit 1 Sechstel. Oben kommt immer die Anzahl günstiger Ergebnisse hin und unten immer die Anzahl möglicher Ergebnisse. Das ist mit Laplace-Wahrscheinlichkeit gemeint.

Kommen wir zur Aufgabe B. Wie wahrscheinlich ist es, dass keine 3 kommt? Das Ereignis B umfasst alle Zahlen von 1 bis 6 außer der 3. Das sind 5 von 6 möglichen Zahlen. P von B ist somit 5 Sechstel. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du auch mit der Formel fürs Gegenereignis ausrechnen.

Statt alle Zahlen einzeln aufzuschreiben, genügt auch nicht 3. Das ist das Gegenereignis zum Ereignis A aus der vorigen Aufgabe. P von B ist also P von nicht A. Und das ist immer 1 minus P von A. Diese Formel musst du dir gut merken. P von A war ein Sechstel.

Und 1 minus ein Sechstel sind 5 Sechstel. Somit kommt das Gleiche raus wie vorher. Kommen wir zur Aufgabe C. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine 3 oder keine 3 kommt? Das Ereignis C umfasst damit jede Zahl von 1 bis 6. Denn jede Zahl ist entweder 3 oder nicht 3. P von C ist somit 6 Sechstel, also gekürzt 1. Du könntest dir auch Folgendes überlegen.

Diese Menge entspricht der Ergebnismenge S. P von C ist somit P von S. Und das ist immer 1. Statt alle Zahlen aufzuschreiben, genügt auch 3 und nicht 3. Ereignis und Gegenereignis zusammen ergeben immer S. Kommen wir zur Aufgabe D. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine gerade Zahl kommt? Die geraden Zahlen sind 2, 4 und 6. Das sind 3 von 6 möglichen Zahlen. P von D ist somit 3 Sechstel bzw. gekürzt 1 Halb.

Kommen wir zur Aufgabe E. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Zahl kommt, die gerade und durch 3 teilbar ist? Die geraden Zahlen sind 2, 4 und 6. Durch 3 teilbar sind die Zahlen 3 und 6. Nennen wir dieses Ereignis mal E. Und ist das Signalwort für die Schnittmenge. Also für D geschnitten E. Jetzt schaust du, worin sich diese beiden Mengen überschneiden. In der 6, denn diese liegt in beiden Mengen.

6 ist sowohl gerade als auch durch 3 teilbar. Das ist eines von 6 möglichen Ergebnissen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit ein Sechstel.

Kommen wir zur Aufgabe F. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Zahl kommt, die gerade und durch 5 teilbar ist? Die geraden Zahlen sind 2, 4 und 6. Durch 5 teilbar ist nur die Zahl 5. Nennen wir dieses Ereignis mal F. Wieder geht es um die Schnittmenge. Da die 5 aber hier nicht vorkommt, ist die Schnittmenge leer. Es gibt keine gerade Zahl auf dem Würfel, die durch 5 teilbar ist.

Man nennt das auch ein unmögliches Ereignis. P von D geschnitten F ist also die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge. Und die ist immer 0. Das musst du dir merken.

Kommen wir zur letzten Aufgabe. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Zahl kommt, die gerade oder durch 3 teilbar ist? Achtung! Oder bedeutet nicht entweder oder. Die Zahl darf auch beides sein.

Die geraden Zahlen sind 2, 4 und 6. Durch 3 teilbar sind 3 und 6. Oder ist das Signalwort für die Vereinigungsmenge, also für D vereinigt E. Dazu fasst du diese beiden Mengen zu einer zusammen. Du schreibst also die 2, die 4 und die 6 ab und hiervon nur noch die 3, da 6 schon da ist. Diese Menge enthält die 6, die sowohl gerade als auch durch 3 teilbar ist und die Zahlen, die nur das eine oder das andere sind.

Das sind 4 von 6 möglichen Ergebnissen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit 4 Sechstel, also gekürzt 2 Drittel. Für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge gibt es noch eine wichtige Formel, den sogenannten Additionssatz.

Den zeige ich dir in einem extra Video.


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Additionssatz für Vereinigungsmengen

Eine Vereinigung von Ereignissen erkennst du an dem Signalwort "oder". Zum Beispiel: Eine 6 würfeln oder eine gerade Zahl würfeln. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungsmenge zu berechnen, kann tricky sein. Der Additionssatz ist eine Formel, die dir dabei hilft.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um den Additionssatz bei Vereinigung von Ereignissen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein Viertel der Felder eines Glücksrads sind grün und ein Viertel haben einen Stern.

Ein Achtel der Felder sind grün und haben einen Stern. Ein Spieler gewinnt, wenn das Glücksrad auf einem grünen Feld oder einem Sternfeld stehen bleibt. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? Die Felder, mit denen man gewinnt, lassen sich in drei Gruppen aufteilen.

Felder, die grün sind und einen Stern haben und Felder, die nur grün sind bzw. nur einen Stern haben. Diese Felder sind aber auch in dieser Gruppe enthalten und in dieser Gruppe.

Das heißt, sie wurden dort schon mitgezählt. Genau für solche Situationen gibt es den Additionssatz, mit dem wir jetzt diese Aufgabe lösen werden. Ein Achtel der Felder sind grün und haben einen Stern.

Für das Wort UND wird dieses Symbol benutzt. Damit du dir das Ganze besser vorstellen kannst, habe ich ein Glücksrad gezeichnet. Ein Achtel der Felder sind grün und haben einen Stern.

Also kannst du einfach ein Glücksrad mit acht Feldern machen und eins davon ist grün und bekommt einen Stern. Ein Viertel der Felder sollen grün sein. Ein Viertel bedeutet 1 von 4 und das ist das gleiche Verhältnis wie 2 von 8. Zwei Felder müssen also grün sein.

Die gleiche Überlegung gilt für die Sternfelder, da hier die gleiche Wahrscheinlichkeit steht. Der zweite Stern darf aber nicht auf einem grünen Feld sein, sonst würde ja das hier nicht mehr stimmen. Mit diesem Bild kannst du die Gewinnwahrscheinlichkeit ganz leicht abzählen.

3 von 8 Feldern sind grün oder haben einen Stern. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also 3 Achtel. Normalerweise hast du aber nicht solch ein Bild, sondern nur diese Angaben.

Und dann brauchst du den Additionssatz. Für das Wort oder wird dieses Symbol benutzt. Das bedeutet also grünes Feld oder Sternfeld.

Gelesen G vereinigt S. Die Wahrscheinlichkeit davon berechnest du mit dieser Formel. Du nimmst die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Feld plus die Wahrscheinlichkeit für ein Sternfeld und ziehst die Wahrscheinlichkeit ab, dass ein Feld beides ist. Also grün und ein Sternfeld.

Das ist die Wahrscheinlichkeit für diese beiden Felder. Und das ist die Wahrscheinlichkeit für diese beiden Felder. Somit hast du dieses Feld doppelt gezählt.

Deshalb musst du das korrigieren und die Wahrscheinlichkeit für dieses Feld einmal abziehen. Dieses Feld ist ja genau das, was hier steht. Grün und ein Sternfeld.

Jetzt wird das Feld nur noch einmal gezählt und nicht zweimal. Die Zahlen entnimmst du einfach der Aufgabenstellung. Das war beides ein Viertel und das war ein Achtel.

Das ergibt, wie erwartet, drei Achtel. Diese Formel wird Additionssatz genannt. Schauen wir uns noch kurz eine Abwandlung der Aufgabe an.

Alles ist wie vorher, bis auf dieser Satz. Grüne Felder haben keinen Stern. Das Glücksrad könnte jetzt so aussehen.

Es gibt zwei grüne Felder und zwei Sternfelder. Die Sterne sind aber nicht auf grünen Feldern. Es gibt jetzt also keine Felder, die grün sind und einen Stern haben.

Diese Schnittmenge ist also leer. Das ist das Symbol für die leere Menge. Und die Wahrscheinlichkeit der leeren Menge ist immer Null.

Wenn du jetzt wieder die Formel aufschreibst, kannst du diesen Teil auch weglassen, denn der ist ja Null. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist jetzt ein Viertel plus ein Viertel. Das sind zwei Viertel, bzw.

wie kürzt, ein Halb. Klar, denn jetzt bringen vier von acht Feldern einen Gewinn, also die Hälfte.


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Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Hier lernst du, was mit absoluter und relativer Häufigkeit gemeint ist und wie letztere mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um den Begriff Häufigkeit und den Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeit. Dazu nehmen wir folgendes Beispiel. Ein Würfel wird 100 Mal geworfen.

18 Mal erscheint das Ergebnis 6. Die absolute Häufigkeit der Zahl 6 ist somit 18. Die absolute Häufigkeit gibt also an, wie oft etwas Bestimmtes vorgekommen ist. Absolute Häufigkeiten sind aber schlecht vergleichbar, wenn das Experiment mit mehr oder weniger Durchgängen wiederholt wird.

Prozentzahlen dagegen lassen sich sofort vergleichen. Deshalb gibt man das Resultat als Verhältnis an. Hier kam bei 18 von 100 Mal eine 6. Das ist 0,18, also 18%.

Meist nimmt man aber nur diese Zahl. Das ist die relative Häufigkeit der Zahl 6. Die relative Häufigkeit ist eine Zahl von 0 bis 1, beziehungsweise von 0% bis 100%, genauso wie eine Wahrscheinlichkeit. Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ein Sechstel.

Das sind rund 0,17. Vergleichst du das mit der relativen Häufigkeit, sind die Zahlen sehr nah beieinander. Du kannst das eine sogar durch das andere schätzen.

Ist eine Wahrscheinlichkeit unbekannt, kannst du so viele Versuchsdurchgänge machen, bis die relative Häufigkeit sich auf einen Wert stabilisiert hat. Dann ist anzunehmen, dass die wahre Wahrscheinlichkeit etwa diesem Wert entspricht. Kennst du umgekehrt die Wahrscheinlichkeit, wie hier beim Würfeln, weißt du, dass die relative Häufigkeit gegen diesen Wert streben muss.

Somit würdest du bei 100 Durchgängen 17 Mal eine 6 erwarten, bei 1000 Durchgängen 170 Mal und so weiter. Je mehr Durchgänge gemacht werden, desto geringer sollten die Abweichungen von deiner Erwartung ausfallen.


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Wahrscheinlichkeiten in Prozent

Wahrscheinlichkeiten können als reelle Zahl von 0 bis 1 oder als Prozentzahl von 0% bis 100% angegeben werden. So rechnest du sie ineinander um:

Lösungsbeschreibung

Wahrscheinlichkeiten lassen sich auch in Prozent angeben. Erst zeige ich dir die Umrechnung von reellen Zahlen in Prozent und danach umgekehrt. Angenommen die Wahrscheinlichkeit von eigenes A ist ein Viertel, also 0,25.

Dann machst du im Kopf Folgendes. Du stellst dir vor, wie du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschiebst. 1, 2. Dann steht da 0,25.

Wenn dann nach dem Komma nichts mehr kommt, lässt du das Komma weg. Genauso Nullen, die vorne stehen. Jetzt machst du noch das Prozentzeichen dahinter und schon bist du fertig.

Ein Viertel beziehungsweise 0,25 entspricht 25 Prozent. Im nächsten Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit ein Achtel. Das ist 0,125.

Auch hier verschiebst du im Kopf das Komma zuerst um zwei Stellen nach rechts. 1, 2. Dann lässt du die vordere Null weg und nun schreibst du noch das Prozentzeichen dahinter. Ein Achtel beziehungsweise 0,125 entspricht 12,5 Prozent.

Jetzt machen wir es umgekehrt. Angenommen das Ereignis C hat eine Wahrscheinlichkeit von 30 Prozent. Dann lässt du zuerst das Prozentzeichen weg und setzt hinter die Zahl ein Komma.

Diesmal verschiebst du das Komma um zwei Einheiten nach links. 1, 2. Ein Komma macht aber nur Sinn, wenn davor etwas steht. Deshalb schreibst du dort eine Null hin.

Nullen am Ende kannst du weglassen. 30 Prozent entspricht also 0,3. Kommen wir zum letzten Beispiel.

Hier ist die Wahrscheinlichkeit 5,9 Prozent. Lasse zuerst das Prozentzeichen weg. Hier gibt es schon ein Komma.

Dieses verschiebst du nun wie oben um zwei Stellen nach links. Eine Stelle wäre vor der 5 und für die zweite Stelle füllst du mit einer Null auf. Vor das Komma kommt wie oben eine Null.

5,9 Prozent entsprechen 0,059. Das Wort Prozent bedeutet Hundertstel. Verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach rechts wie hier, rechnest du eigentlich mal 100.

Verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links wie hier, teilst du eigentlich durch 100. Merke dir folgende Umrechnungen. 1 entspricht 100 Prozent und 0 entspricht 0 Prozent.

0,5 sind dann 50 Prozent.


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