Tangente an Kreis und Tangentialebene an Kugel
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Tangente an einen Kreis
Eine Tangente berührt einen Kreis in einem Punkt. So bestimmst du eine Gleichung der Tangente im vorgegebenen Berührpunkt. Eine Tangente ist eine Gerade. Das ist die übliche Form einer Geradengleichung in der Analysis bzw. in der Vektorgeometrie.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Tangente an einen Kreis legst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Gib eine Gleichung der Tangente an den Kreis K im Punkt B an.
Für die Tangente brauchst du nur in diese Formel einzusetzen. Hier schreibst du das ab, nur ohne das Quadrat. Hier steht das Gleiche, aber mit den Koordinaten von Punkt B. Wäre die Kreisgleichung in Koordinatenform, sähe die Formel für die Tangente entsprechend so aus.
Du schreibst das ab, ohne das Quadrat. Und dann nochmal das mit 4 statt mit x1. Und hier schreibst du das ab, ohne das Quadrat.
Und dann nochmal das mit 10 statt mit x2. Jetzt machen wir aber hier weiter. Fasse zusammen.
4 minus 7 ist minus 3. Und 10 minus 6 ist 4. Nun multiplizierst du aus. Du rechnest das mal das und das mal das. x1 mal minus 3 sind minus 3x1.
Und x2 mal 4 sind 4x2. Minus 7 mal minus 3 sind 21. Und minus 6 mal 4 sind minus 24.
21 minus 24 ist minus 3. Nun bringst du noch die 25 rüber. Minus 3 minus 25 ist minus 28. Und schon bist du fertig.
Hier siehst du diese Tangente. Sie berührt den Kreis in Punkt B. Vermutlich kannst du aber mit dieser Gleichung wenig anfangen. Deshalb zeige ich dir noch, wie du sie in die übliche Form bringen kannst.
Das ist jetzt aber nur zusätzlich. Die Aufgabe ist mit dieser Gleichung schon gelöst. Eine Tangente ist ja eine Gerade.
Und in der Analysis ist die Geradengleichung y ist gleich mx plus b. Statt x und y haben wir jetzt aber x1 und x2. Hier ist die x1 Achse und hier ist die x2 Achse. Löse also wie hier nach x2 auf.
Dazu rechnest du plus 3x1 und plus 28. Beides steht dann auf der anderen Seite. Nun teilst du noch durch 4. 3 geteilt durch 4 ist 3 Viertel und 28 geteilt durch 4 ist 7. Das ist die Schnittstelle mit der x2 Achse.
Und das ist die Steigung. Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um 3 Viertel einer Einheit. Bei 4 Einheiten nach rechts steigt sie entsprechend um 3 Einheiten.
Das ist das gleiche Verhältnis. Das lässt sich gut durch ein Steigungsdreieck veranschaulichen. In Vektorschreibweise ist das eine Gleichung der Tangente.
Du suchst dir einen Punkt auf der Tangente, zum Beispiel 0,7. Das wird der Stützvektor. Und nun gibst du die Richtung an.
Geht man 4 Einheiten in x1-Richtung und 3 Einheiten in x2-Richtung, landet man wieder auf der Geraden. Das ergibt den Richtungsvektor 4,3.
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Tangentialebene an eine Kugel
Anders als beim Kreis gibt es bei einer Kugel in einem Punkt unendlich viele Tangenten. Sie bilden zusammen eine Tangentialebene. Die Tangentialebene berührt die Kugel in diesem Punkt. So bestimmst du eine Gleichung der Tangentialebene im vorgegebenen Berührpunkt.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Tangentialebene an eine Kugel legst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Gib eine Gleichung der Tangentialebene an die Kugel K im Punkt B an.
Hier siehst du noch mal, was gegeben ist. Für die Tangentialebene brauchst du nur in diese Formel einzusetzen. Hier schreibst du das ab, nur ohne das Quadrat.
Und hier steht das gleiche, aber mit den Koordinaten von b, statt Vektor x. Fasse zusammen. 0 minus minus 2 ist 0 plus 2 und das macht 2. 2 minus 5 ist minus 3 und 1 minus 7 ist minus 6. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir auf der nächsten Seite weiter. So weit waren wir schon.
Nun multiplizierst du aus. Du rechnest das mal das und das mal das. Das ist beide Male das Skalarprodukt.
x1 mal 2 sind 2x1. x2 mal minus 3 sind minus 3x2. Und x3 mal minus 6 sind minus 6x3.
Minus minus 2 ist 2 und 2 mal 2 ist 4. Minus 5 mal minus 3 ist 15 und minus 7 mal minus 6 ist 42. 4 plus 15 plus 42 ist 61. Die bringst du nun rüber.
49 minus 61 ist minus 12. Und schon bist du fertig. Wäre die Kugelgleichung in Koordinatenform, sähe die Formel für die Tangentialebene entsprechend so aus.
Du schreibst das ab ohne das Quadrat und dann nochmal das mit 0 statt mit x1. Dann schreibst du das ab ohne das Quadrat und nochmal das gleiche mit 2 statt mit x2. Und hier genauso.
Du schreibst das ab ohne das Quadrat und nochmal das gleiche aber mit 1 statt mit x3. Und dann vereinfachst du diesen Ausdruck.
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