Gegenseitige Lage einer Ebene und einer Kugel

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• Überblick
• So untersuchst du die gegenseitige Lage / Ebene und Kugel schneiden sich
• Ebene und Kugel berühren sich
• Ebene und Kugel haben keine gemeinsamen Punkte

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Überblick

Eine Ebene und eine Kugel können sich schneiden, sich berühren oder keine gemeinsamen Punkte haben. In diesem Video siehst du, was typisch für die 3 Fälle ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erhältst du einen Überblick über die gegenseitige Lage einer Kugel und einer Ebene. Beide sind hier vereinfacht dargestellt. Die Ebene ist jeweils von der Seite zu sehen.

Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen. Deshalb sieht die Ebene aus wie eine Gerade. Es sind drei Fälle möglich.

Die Ebene kann die Kugel schneiden, sie berühren oder an ihr vorbei verlaufen. Um herauszufinden, welcher Fall vorliegt, vergleichst du den Abstand des Mittelpunktes zur Ebene mit dem Radius der Kugel. Schneiden sich Kugel und Ebene, ist der Abstand kürzer als der Radius, also d kleiner r. Berühren sich Kugel und Ebene, ist der Abstand genauso groß wie der Radius, also d gleich r. Und hier ist der Abstand größer als der Radius, also d größer r. Deshalb gibt es keine gemeinsamen Punkte.

Die Ebene ist sozusagen zu weit weg. Hier gibt es einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt. Und hier gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte, sie liegen alle auf einem Kreis, dem sogenannten Schnittkreis.

Das kannst du dir so vorstellen. Würdest du die Kugel hier durchschneiden und die beiden Teile auseinanderklappen, wäre oben jeweils ein Kreis zu sehen. Eine Ebene, die die Kugel berührt, nennt man eine Tangentialebene.

So untersuchst du die gegenseitige Lage / Ebene und Kugel schneiden sich

Als erstes bestimmst du den Abstand d des Kugelmittelpunktes von der Ebene und dann vergleichst du ihn mit dem Radius r der Kugel. Daran erkennst du die gegenseitige Lage: - d<r: sie schneiden sich - d=r: sie berühren sich - d>r: keine gemeinsamen Punkte In diesem Fall liegen die gemeinsamen Punkte alle auf einem Kreis - dem sogenannten Schnittkreis. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises bestimmst. Beachte, dass du für den Schnittkreis in der Regel keine Gleichung angeben kannst, da die bekannte Kreisgleichung nur für Kreise in der x1x2 -Ebene gilt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich eine Kugel und eine Ebene schneiden. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Ebene E die Kugel K schneidet.

Bestimme den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises. Hier weißt du schon, dass sie sich schneiden. Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein, zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Ebene und der Kugel.

Der Lösungsansatz ist immer gleich. Zunächst bestimmst du den Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene E. Ist dieser Abstand kleiner als der Radius, muss die Ebene durch die Kugel hindurch gehen. Für die Abstandsberechnung gibt es eine Formel, die auf der Hesseform der Ebenengleichung beruht.

Hier siehst du nochmal die gegebenen Gleichungen. Das war die Ebenengleichung. Für die Hesseform bringst du erstmal die 12 rüber.

Hier steht dann eine 0. Nun teilst du durch diese Wurzel. Minus 2 zum Quadrat ist 4. Dann kommt ein Plus. 3 zum Quadrat ist 9. Dann kommt wieder ein Plus.

Und 6 zum Quadrat ist 36. 36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49. Die Wurzel daraus ist 7. Für die Abstandsformel schreibst du die linke Seite ab und setzt für x1, x2 und x3 die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel ein.

Minus 2 ist x1. 5 ist x2 und 7 ist x3. Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, liest du den Mittelpunkt so ab.

Steht hier ein Plus, schreibst du stattdessen Minus 2. Steht hier ein Minus, nimmst du diese Zahl ohne das Minus. Von dem Ganzen nimmst du den Betrag. Das hier oben ergibt 49.

49 geteilt durch 7 ist 7. Der Betrag davon ist ebenfalls 7. Würde etwas Negatives rauskommen, würdest du für den Betrag einfach das Minus weglassen. Der Radius der Kugel ist die Wurzel aus 64, also 8. Da 7 kleiner ist als 8, müssen sich Kugel und Ebene schneiden. Das kannst du dir so vorstellen.

Das stellt die Kugel dar und das die Ebene von der Seite. Deshalb sieht sie aus wie eine Gerade. Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen.

Dieses Stück ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene, den du gerade berechnet hast. Dieser Abstand ist 7. Der Radius ist länger, er geht bis hier. Die Ebene teilt die Kugel sozusagen in zwei Teile.

Würdest du beide Teile auseinanderklappen, wäre oben jeweils ein Kreis zu sehen. Das ist der sogenannte Schnittkreis. Sein Radius ist dieses grüne Stück.

Nennen wir das mal R'. R' kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Denn hier entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Es gilt dann, R'² plus d² ist R². Also R'² plus d² ist R². Da wir R' wissen wollen, stellst du danach um.

Bringe d² rüber und ziehe nun die Wurzel. R² ist 64. d ist 7, wie du gerade herausgefunden hast.

Das ist dann 7², also 49. 64 minus 49 ist 15. Und die Wurzel daraus ist rund 3,87.

Der Radius des Schnittkreises ist also rund 3,87. Der Radius der Kugel dagegen ist 8. Die Größenverhältnisse stimmen hier also nicht. Aber das soll auch nur eine einfache Skizze sein.

Nun musst du noch den Mittelpunkt des Schnittkreises bestimmen. Nennen wir diesen mal M'. Das ist der Schnittpunkt der Ebene und dieser Geraden.

Das ist die Lotgerade zu E durch den Kugelmittelpunkt M. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene. Hier ist also ein rechter Winkel. Ihre Gleichung ist ganz einfach aufzustellen.

Als Stützvektor schreibst du diesen Vektor ab. Das ist der Ortsvektor des Kugelmittelpunktes. Als Richtungsvektor nimmst du einen normalen Vektor der Ebene E. Denn dieser steht senkrecht auf der Ebene.

Das ist genau das, was wir brauchen. Der normale Vektor hat die Koordinaten minus 2, 3 und 6. Fertig ist die Gleichung der Lotgeraden. Nun berechnest du den Schnittpunkt dieser Gerade mit dieser Ebene.

Das ist dann M'. Hier siehst du nochmal die Gleichungen der Ebene und der Lotgeraden. Vektor x ist der x1, x2, x3.

x1 ist also minus 2, minus 2t. Das setzt du nun hier für x1 ein. x2 ist 5 plus 3t.

Das setzt du hier für x2 ein. Und x3 ist 7 plus 6t. Das setzt du hier ein.

Nun löst du einfach nach t auf. Minus 2 mal minus 2 ist 4. Minus 2 mal minus 2t sind plus 4t. 3 mal 5 ist 15.

3 mal 3t sind 9t. 6 mal 7 ist 42. Und 6 mal 6t sind 36t.

4 plus 15 plus 42 ist 61. Und 4t plus 9t plus 36t sind 49t. Bringe die 61 rüber.

12 minus 61 ist minus 49. Teile nun noch durch 49. Das ergibt t gleich minus 1. Setzt du das hier ein, erhältst du den Mittelpunkt des Schnittkreises.

Du schreibst also die Geradengleichung ab und setzt für t minus 1 ein. Es genügt das Minuszeichen, die 1 kannst du weglassen. Minus 2 minus minus 2 ist minus 2 plus 2. Und das macht 0. 5 minus 3 ist 2. Und 7 minus 6 ist 1. m' hat somit die Koordinaten 0, 2, 1. Entsprechend schreibst du hier Vektor m' statt Vektor x. Die Ebene und die Kugel schneiden sich also.

Und der Schnittkreis hat diesen Mittelpunkt und den Radius Wurzel 15. Beachte, dass du für den Schnittkreis aber keine Kreisgleichung wie gewohnt angeben kannst. Denn die Kreisgleichung, die du kennst, gilt nur für Kreise in der x1, x2 Ebene.

Ebene und Kugel berühren sich

In diesem Fall haben sie den Berührpunkt gemeinsam. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du den Berührpunkt bestimmst. Die Ebene ist eine Tangentialebene.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich eine Kugel und eine Ebene berühren. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Ebene E die Kugel K berührt.

Bestimme den Berührpunkt. Hier weißt du schon, dass sie sich berühren. Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein.

Zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Ebene und der Kugel. Der Lösungsansatz ist immer gleich. Zunächst bestimmst du den Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene E. Entspricht dieser Abstand dem Radius der Kugel, muss die Ebene die Kugel berühren.

Für die Abstandsberechnung gibt es eine Formel, die auf der Hässeform der Ebenengleichung beruht. Hier siehst du nochmal die gegebenen Gleichungen. Das war die Ebenengleichung.

Für die Hässeform bringst du erstmal die 12 rüber. Hier steht dann eine 0. Nun teilst du durch diese Wurzel. Minus 2 zum Quadrat ist 4. Dann kommt ein Plus.

3 zum Quadrat ist 9. Dann kommt wieder ein Plus. Und 6 zum Quadrat ist 36. 36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49.

Die Wurzel daraus ist 7. Für die Abstandsformel schreibst du die linke Seite ab und setzt für x1, x2 und x3 die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel ein. Minus 2 ist x1. 5 ist x2 und 7 ist x3.

Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, liest du den Mittelpunkt so ab. Steht hier ein Plus, schreibst du stattdessen Minus 2. Steht hier ein Minus, nimmst du einfach die Zahl ohne das Minus. Von dem Ganzen nimmst du den Betrag.

Das hier oben ergibt 49. 49 geteilt durch 7 ist 7. Der Betrag davon ist ebenfalls 7. Würde hier etwas Negatives rauskommen, würdest du für den Betrag einfach das Minus weglassen. Der Radius der Kugel ist die Wurzel aus 49, also auch 7. Da Abstand und Radius gleich sind, müssen sich die Kugel und die Ebene berühren.

Das kannst du dir so vorstellen. Das stellt die Kugel dar und das die Ebene von der Seite. Deshalb sieht sie aus wie eine Gerade.

Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen. Dieses Stück ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene und gleichzeitig der Radius der Kugel. Somit berühren sich Ebene und Kugel im Punkt B. Das ist der Schnittpunkt der Ebene E und dieser Geraden.

Das ist die Lotgerade zu E durch den Kugelmittelpunkt M. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene. Hier ist also ein rechter Winkel. Ihre Gleichung ist ganz einfach aufzustellen.

Als Stützvektor schreibst du diesen Vektor ab. Das ist der Ortsvektor des Kugelmittelpunktes. Als Richtungsvektor nimmst du einen normalen Vektor der Ebene.

Denn dieser steht senkrecht auf der Ebene. Und das ist genau das, was wir brauchen. Der normalen Vektor hat die Koordinaten minus 2, 3 und 6. Fertig ist die Gleichung der Lotgerade.

Nun berechnest du den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Ebene E. Das ist dann B. Hier siehst du nochmal die Gleichungen der Ebene und der Lotgeraden. Vektor X ist ja X1, X2 und X3. X1 ist also minus 2, minus 2t.

Das setzt du nun hier für X1 ein. X2 ist 5 plus 3t. Das setzt du für X2 ein.

Und X3 ist 7 plus 6t. Das setzt du hier ein. Nun löst du einfach nach t auf.

Minus 2 mal minus 2 ist 4. Minus 2 mal minus 2t sind plus 4t. 3 mal 5 ist 15. Und 3 mal 3t sind 9t.

6 mal 7 ist 42. Und 6 mal 6t sind 36t. 4 plus 15 plus 42 ist 61.

Und 4t plus 9t plus 36t sind 49t. Bringe die 61 rüber. 12 minus 61 ist minus 49.

Teile nun noch durch 49. Das ergibt t gleich minus 1. Setzt du das hier ein, erhältst du den Schnittpunkt B. Du schreibst also die Geradengleichung ab und setzt für t minus 1 ein. Es genügt das Minuszeichen, die 1 kannst du weglassen.

Minus 2 minus minus 2 ist minus 2 plus 2. Und das macht 0. 5 minus 3 ist 2. Und 7 minus 6 ist 1. B hat somit die Koordinaten 0, 2 und 1. Entsprechend schreibst du hier Vektor B statt Vektor X. Die Ebene und die Kugel berühren sich also in diesem Punkt. Die Ebene E ist deshalb eine sogenannte Tangentialebene. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017

Ebene und Kugel haben keine gemeinsamen Punkte

Hierbei "läuft die Ebene an der Kugel vorbei". In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann eine Kugel und eine Ebene keine gemeinsamen Punkte haben. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Ebene E und die Kugel K keine gemeinsamen Punkte haben.

Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein. Zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Ebene und der Kugel. Der Lösungsansatz ist immer gleich.

Zunächst bestimmst du den Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene. Ist dieser Abstand größer als der Radius, ist die Ebene zu weit weg und es gibt keine gemeinsamen Punkte. Für die Abstandsberechnung gibt es eine Formel, die auf der Hesseform der Ebenengleichung beruht.

Das war die Ebenengleichung. Für die Hesseform bringst du erstmal die 12 rüber. Hier steht dann eine 0. Nun teilst du durch diese Wurzel.

Minus 2 zum Quadrat ist 4. Dann kommt ein Plus. 3 zum Quadrat ist 9. Dann kommt wieder ein Plus. Und 6 zum Quadrat ist 36.

36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49. Die Wurzel daraus ist 7. Für die Abstandsformel schreibst du die linke Seite ab und setzt für x1, x2 und x3 die Koordinaten des Mittelpunktes der Kugel ein. Minus 2 ist x1, 5 ist x2 und 7 ist x3.

Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, liest du den Mittelpunkt so ab. Steht hier ein Plus, schreibst du stattdessen Minus 2. Steht hier ein Minus, nimmst du einfach diese Zahl ohne Minus. Genauso hier.

Von dem Ganzen nimmst du den Betrag. Das hier oben ergibt 49. 49 geteilt durch 7 ist 7. Der Betrag davon ist ebenfalls 7. Würde etwas Negatives rauskommen, würdest du für den Betrag einfach das Minus weglassen.

Der Radius der Kugel ist die Wurzel aus 25, also 5. Da 7 größer ist als 5, haben Kugel und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Das kannst du dir so vorstellen. Das stellt die Kugel dar und das die Ebene von der Seite.

Deshalb sieht sie aus wie eine Gerade. Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen. Das ist der Radius der Kugel.

Der Abstand vom Mittelpunkt zur Ebene ist länger, nämlich 7. Die Ebene ist sozusagen zu weit weg, als dass sie die Kugel berühren oder schneiden könnte. Deshalb gibt es keine gemeinsamen Punkte.