Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Kugel

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• Überblick
• So untersuchst du die gegenseitige Lage / Gerade und Kugel schneiden sich
• Gerade und Kugel berühren sich
• Gerade und Kugel haben keine gemeinsamen Punkte

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Überblick

Eine Gerade und eine Kugel können sich schneiden, sich berühren oder keine gemeinsamen Punkte haben. In diesem Video siehst du, was typisch für die 3 Fälle ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erhältst du einen Überblick über die gegenseitige Lage einer Kugel und einer Geraden. Dabei sind drei Fälle möglich. Die Gerade kann die Kugel schneiden, sie berühren oder an ihr vorbei verlaufen.

Dann gibt es keine gemeinsamen Punkte. Hier gibt es zwei gemeinsame Punkte, nämlich die Schnittpunkte. Und hier gibt es einen gemeinsamen Punkt, nämlich den Berührpunkt.

Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, musst du eine bestimmte Gleichung lösen. An der Anzahl der Lösungen erkennst du, welcher Fall vorliegt. In diesem Fall hat die Gleichung zwei Lösungen.

Hier eine und hier keine. Berührt die Gerade die Kugel, nennt man sie eine Tangente. In diesem Punkt gibt es aber unendlich viele Tangenten.

Sie alle zusammen bilden eine Tangentialebene. Das ist übrigens eine Passante und das ist eine Seekante. Aber die letzten beiden Begriffe sind nicht wichtig.

Nur Tangente und Tangentialebene sind wichtig.

So untersuchst du die gegenseitige Lage / Gerade und Kugel schneiden sich

Als erstes "setzt du die Gerade in die Kugelgleichung ein". Dann löst du diese quadratische Gleichung mit der pq-Formel bzw. der abc-Formel / Mitternachtsformel. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage der Gerade und der Kugel: - zwei Lösungen: sie schneiden sich - eine Lösung: sie berühren sich - keine Lösung: keine gemeinsamen Punkte In diesem Fall haben sie die beiden Schnittpunkte gemeinsam. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du die Schnittpunkte bestimmst. Die Gerade ist eine Sekante.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich eine Kugel und eine Gerade schneiden. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Gerade G die Kugel K schneidet.

Bestimme die Schnittpunkte. Hier weißt du schon, dass sie sich schneiden. Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein.

Zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Geraden G und der Kugel K. Der Lösungsansatz ist immer gleich. Du setzt das hier ein und löst die entstandene Gleichung. Machen wir das mal Schritt für Schritt.

Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das hier einsetzen. Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten T. Jetzt löst du nach T auf.

Gibt es zwei Lösungen für T, schneiden sich die Kugel und die Gerade. Fasse diese beiden Vektoren zusammen. Den Rest schreibst du ab.

Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen und quadrieren. Das ist 3 plus 1T zum Quadrat. Ich würde aber die Reihenfolge tauschen.

Also T plus 3 zum Quadrat. Dann kommt immer ein Plus. Das ist minus T zum Quadrat.

Dann kommt wieder ein Plus. Und das ist 4T plus 6 zum Quadrat. Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, kommst du gleich auf die Zeile von eben.

Die Koordinatenform würde so aussehen. Nun würdest du hier für X1 4 plus T einsetzen. Für X2 2 minus T. Und für X3 9 plus 4T.

Dann fasst du innerhalb der Klammern zusammen. Das ergibt dann genau diese Zeile. Nun löst du die Klammern auf.

Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln. Wegen dem Plus nimmst du hier die erste binomische Formel. A ist bei uns T und B ist 3. A Quadrat ist dann T Quadrat.

2AB sind bei uns 2 mal T mal 3, also 6T. Und B Quadrat ist 3 zum Quadrat, also 9. Minus T zum Quadrat ist T Quadrat. Denn Minus mal Minus ergibt Plus.

Nun wendest du noch hier die erste binomische Formel an. A ist jetzt 4T und B ist 6. A Quadrat ist dann 4T zum Quadrat, also 16T Quadrat. 2AB sind 2 mal 4T mal 6. 2 mal 4 ist 8 und 8 mal 6 ist 48.

Das macht dann also 48T. Und B Quadrat ist 6 zum Quadrat, also 36. T Quadrat plus T Quadrat plus 16T Quadrat sind 18T Quadrat.

6T plus 48T sind 54T und 9 plus 36 ist 45. Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel bzw. der ABC-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst.

Dazu muss hier aber eine 0 stehen. Bringe deshalb die 9 rüber. 45 minus 9 ist 36.

Wir nehmen jetzt die PQ-Formel. Dazu musst du erst noch durch 18 teilen. Hier steht dann T Quadrat.

54 geteilt durch 18 ist 3 und 36 geteilt durch 18 ist 2. Hier siehst du nochmal die letzte Gleichung. P ist bei uns 3 und Q ist 2. Das setzt du nun in die PQ-Formel ein. Du änderst das Vorzeichen und teilst die Zahl durch 2. Das macht minus 3 Halbe.

Nun quadrierst du den Bruch. 3 zum Quadrat ist 9 und 2 zum Quadrat ist 4. Nun kommt minus Q, also minus 2. Das kannst du gleich auf Viertel bringen. Im Zähler steht dann 2 mal 4, also 8. 9 Viertel minus 8 Viertel ist 1 Viertel.

Die Wurzel kannst du aus Zähler und Nenner getrennt ziehen. Die Wurzel aus 1 ist 1 und die Wurzel aus 4 ist 2. Minus 3 Halbe plus 1 Halb sind minus 2 Halbe. Gekürzt minus 1. Und minus 3 Halbe minus 1 Halb sind minus 4 Halbe.

Gekürzt minus 2. Da es zwei Lösungen gibt, schneiden sich G und K. Um die Schnittpunkte zu bestimmen, setzt du die Lösungen für T nacheinander in die Geradengleichung ein. Du schreibst also das ab und setzt für T als erstes minus 1 ein. Es genügt das Minuszeichen, die 1 kannst du weglassen.

4 minus 1 ist 3. 2 minus minus 1 ist 2 plus 1, also 3. Und 9 minus 4 ist 5. Der erste Schnittpunkt hat somit die Koordinaten 3, 3, 5. Entsprechend schreibst du hier Vektor S1 statt Vektor X. Nun machst du das gleiche nochmal mit T gleich minus 2. 2 mal 1 ist 2. Und 4 minus 2 ist 2. Minus 2 mal minus 1 ist plus 2 und 2 plus 2 ist 4. 2 mal 4 ist 8 und 9 minus 8 ist 1. Der zweite Schnittpunkt ist somit 2, 4, 1. Hier schreibst du dafür Vektor S2. Das kannst du dir so vorstellen. Die Gerade durchbohrt die Kugel.

Hier tritt sie in die Kugel ein und hier wieder aus. Eine Kugel ist innen hohl. Wenn man Kugel sagt, meint man eigentlich nur die Oberfläche.

Gerade und Kugel berühren sich

In diesem Fall haben sie den Berührpunkt gemeinsam. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du den Berührpunkt bestimmst. Die Gerade ist eine Tangente. Anders als beim Kreis gibt es unendlich viele Tangenten in einem Punkt. Sie bilden zusammen eine Tangentialebene.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich eine Kugel und eine Gerade berühren. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Gerade G die Kugel K berührt.

Bestimme den Berührpunkt. Hier weißt du schon, dass sie sich berühren. Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein.

Zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Geraden und der Kugel. Der Lösungsansatz ist immer gleich. Du setzt das hier ein und löst die entstandene Gleichung.

Machen wir das mal Schritt für Schritt. Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das hier einsetzen.

Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten T. Jetzt löst du nach T auf. Gibt es genau eine Lösung für T, berühren sich die Kugel und die Gerade. Fasse diese beiden Vektoren zusammen.

Minus 6 minus 1 ist minus 7. 1 minus 2 ist minus 1. Und 3 minus 3 ist 0. Den Rest schreibst du ab. Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen und quadrieren. Das ist minus 7 plus 4t zum Quadrat.

Ich würde aber die Reihenfolge tauschen. Also 4t minus 7 zum Quadrat. Dann kommt immer ein Plus.

Das ist minus 3t minus 1 zum Quadrat. Dann kommt wieder ein Plus. Und das ist 0 zum Quadrat.

Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, kommst du gleich auf diese Zeile. Die Koordinatenform würde so aussehen. Nun würdest du hier für x1 minus 6 plus 4t einsetzen.

Für x2 1 minus 3t. Und für x3 3 plus 0t. Dann fasst du innerhalb der Klammern zusammen.

Das ergibt genau diese Zeile. Nun löst du die Klammern auf. Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln.

Wegen dem Minus nimmst du hier die zweite binomische Formel. a ist bei uns 4t und b ist 7. a Quadrat ist dann 4t zum Quadrat. Also 16t Quadrat.

Dann kommt das Minus. 2ab sind bei uns 2 mal 4t mal 7. 2 mal 4 ist 8 und 8 mal 7 ist 56. Das macht dann 56t.

Und b Quadrat ist bei uns 7 zum Quadrat. Also 49. Nun machst du hier nochmal das gleiche.

a ist jetzt minus 3t. Und b ist 1. a Quadrat ist dann minus 3t zum Quadrat. Also 9t Quadrat.

2ab sind 2 mal minus 3t mal 1. Das macht minus 6t. Und wegen diesem Minus wird daraus plus 6t. Und b Quadrat ist 1 zum Quadrat.

Also 1. 0 zum Quadrat ist 0. Das kannst du weglassen. 16t Quadrat plus 9t Quadrat sind 25t Quadrat. Minus 56t plus 6t sind minus 50t.

Und 49 plus 1 ist 50. Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel beziehungsweise der ABC-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst. Dazu muss hier aber eine 0 stehen.

Bringe deshalb die 25 rüber. 50 minus 25 ist 25. Wir nehmen jetzt die PQ-Formel.

Dazu musst du erst noch durch 25 teilen. Hier steht dann t Quadrat. 50 geteilt durch 25 ist 2 und 25 geteilt durch 25 ist 1. Hier siehst du nochmal die letzte Gleichung.

p ist bei uns minus 2 und q ist 1. Das setzt du nun in die PQ-Formel ein. Du änderst das Vorzeichen und teilst diese Zahl durch 2. Das macht 1. 1 zum Quadrat ist 1. Das kommt hier hin. Nun kommt minus q. Also minus 1. 1 minus 1 ist 0 und die Wurzel daraus ist auch 0. 1 plus 0 ist das gleiche wie 1 minus 0, nämlich 1. Da es nur eine Lösung gibt, berühren sich g und k. Um den Berührpunkt zu bestimmen, setzt du diese Lösung für t in die Geradengleichung ein.

Du schreibst also das ab und setzt für t 1 ein. Den Faktor 1 brauchst du nicht extra hinschreiben. Es genügt das Plus.

Minus 6 plus 4 ist minus 2. 1 plus minus 3 ist 1 minus 3 und das macht minus 2. Und 3 plus 0 ist 3. Der Berührpunkt hat somit die Koordinaten minus 2, minus 2, 3. Entsprechend schreibst du hier Vektor b statt Vektor x. Das kannst du dir so vorstellen. Die Gerade berührt die Kugel im Punkt b. Die Gerade ist somit eine Tangente. Anders als beim Kreis in der Ebene gibt es in diesem Punkt aber unendlich viele Tangenten.

Stell dir einfach vor, diese Tangente wäre hier an der Kugel gefestigt und du würdest sie wie einen Propeller am Hubschrauber drehen. Jede neue Position entspricht einer anderen Tangente. Dreht sich der Propeller schneller, verschmelzen die Tangenten vor deinem Auge zu einer Fläche.

Diese Fläche ist die sogenannte Tangentialebene.

Gerade und Kugel haben keine gemeinsamen Punkte

Hierbei "läuft die Gerade an der Kugel vorbei". Die Gerade ist eine Passante.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann eine Kugel und eine Gerade keine gemeinsamen Punkte haben. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Gerade G und die Kugel K keine gemeinsamen Punkte haben.

Die Aufgabe könnte auch offen formuliert sein. Zum Beispiel untersuche die gegenseitige Lage der Geraden und der Kugel. Der Lösungsansatz ist immer gleich.

Du setzt das hier ein und löst die entstandene Gleichung. Machen wir das mal Schritt für Schritt. Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier.

Also kannst du das hier einsetzen. Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten T. Haben Kugel und Gerade keine gemeinsamen Punkte, gibt es keine Zahl T, für die die Gleichung erfüllt ist. Die Gleichung ist dann unlösbar.

Genau das ist hier der Fall, wie du gleich sehen wirst. Fasse diese beiden Vektoren zusammen. Das ist 9 und 9 minus 3 ist 6. Den Rest schreibst du ab.

Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen und quadrieren. Das ist 3 plus 1T zum Quadrat. Ich würde aber die Reihenfolge tauschen.

Also T plus 3 zum Quadrat. Dann kommt immer ein Plus. Hier würde ich die Reihenfolge so lassen.

Das ist 9 minus T zum Quadrat. Dann kommt wieder ein Plus. Und das ist 4T plus 6 zum Quadrat.

Liegt die Kugelgleichung in Koordinatenform vor, kommst du gleich auf diese Zeile. Die Koordinatenform würde so aussehen. Nun würdest du hier für x1 4 plus T einsetzen, für x2 11 minus T und für x3 9 plus 4T.

Dann fasst du innerhalb der Klammern zusammen. Das ergibt genau diese Zeile. Nun löste die Klammern auf.

Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln. Wegen dem Plus nimmst du hier die erste binomische Formel. A ist bei uns T und B ist bei uns 3. A² ist dann T².

2AB ist dann 2 mal T mal 3. Das macht 6T. Und B² ist 3 zum Quadrat, also 9. Hier nimmst du wegen dem Minus die zweite binomische Formel. A ist jetzt 9 und B ist T. A² ist dann 9 zum Quadrat, also 81.

Dann kommt das Minus. 2AB sind 2 mal 9 mal T, also 18T. Und B² ist T².

Hier nimmst du wieder die erste binomische Formel. A ist bei uns 4T und B ist 6. A² ist dann 4T zum Quadrat, also 16T². 2AB ist dann 2 mal 4T mal 6. 2 mal 4 sind 8 und 8 mal 6 sind 48.

Das macht dann 48T. Und B² ist 6 zum Quadrat, also 36. T² plus T² plus 16T² sind 18T².

6T minus 18T sind minus 12T und das plus 48T sind 36T. 9 plus 81 ist 90 und 90 plus 36 ist 126. Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel bzw.

der ABC-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst. Dazu muss hier aber eine 0 stehen. Bringe deshalb die 9 rüber.

126 minus 9 ist 117. Wir nehmen jetzt die PQ-Formel. Dazu musst du erst noch durch 18 teilen.

Hier steht dann T². 36 geteilt durch 18 ist 2 und 117 geteilt durch 18 ist 6,5. Hier siehst du nochmal die letzte Gleichung.

P ist bei uns 2 und Q ist 6,5. Das setzt du nun in die PQ-Formel ein. Du änderst das Vorzeichen und teilst diese Zahl durch 2. Das macht minus 1. 1 zum Quadrat ist 1. Das kommt hier hin.

Nun kommt minus Q, also minus 6,5. 1 minus 6,5 ist minus 5,5. Aus einer negativen Zahl kannst du aber keine Wurzel ziehen.

Deshalb gibt es keine Lösung. Das kannst du durch einen Blitz symbolisieren. Keine Lösung bedeutet, dass G und K keine gemeinsamen Punkte haben.

Das liegt daran, dass die Gerade an der Kugel vorbei läuft.