Gegenseitige Lage einer Geraden und eines Kreises

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• Überblick
• So untersuchst du die gegenseitige Lage / Gerade und Kreis schneiden sich
• Gerade und Kreis berühren sich
• Gerade und Kreis haben keine gemeinsamen Punkte

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Überblick

Eine Gerade und ein Kreis können sich schneiden, sich berühren oder keine gemeinsamen Punkte haben. In diesem Video siehst du, was typisch für die 3 Fälle ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erhältst du einen Überblick über die gegenseitige Lage eines Kreises und einer Geraden. Dabei sind drei Fälle möglich. Die Gerade kann den Kreis schneiden, ihn berühren oder an ihm vorbeiverlaufen.

Dann gibt es keine gemeinsamen Punkte. Hier gibt es zwei gemeinsame Punkte, nämlich die Schnittpunkte. Und hier gibt es einen gemeinsamen Punkt, nämlich den Berührpunkt.

Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, musst du eine bestimmte Gleichung lösen. An der Anzahl der Lösungen erkennst du, welcher Fall vorliegt. In diesem Fall hat die Gleichung zwei Lösungen.

Hier eine und hier keine. Berührt die Gerade den Kreis, nennt man sie eine Tangente. Diesen Begriff hast du auch in der Analyse schon öfter gehört.

Das ist übrigens eine Passante und das ist eine Seekante. Aber die letzten beiden Begriffe sind nicht wichtig. Nur Tangente ist wichtig.

So untersuchst du die gegenseitige Lage / Gerade und Kreis schneiden sich

Als erstes "setzt du die Gerade in die Kreisgleichung ein". Dann löst du diese quadratische Gleichung mit der pq-Formel bzw. der abc-Formel / Mitternachtsformel. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage der Gerade und des Kreises: - zwei Lösungen: sie schneiden sich - eine Lösung: sie berühren sich - keine Lösung: keine gemeinsamen Punkte In diesem Fall haben sie die beiden Schnittpunkte gemeinsam. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du die Schnittpunkte bestimmst. Die Gerade ist eine Sekante.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich ein Kreis und ein Gerade schneiden. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Wie liegen dieser Kreis und diese Gerade zueinander? Bestimme gegebenenfalls die Schnittpunkte.

Wenn sowas in der Aufgabe steht, ist das schon ein Hinweis, dass sie sich schneiden. Manchmal ist die Aufgabe auch direkt formuliert, wie zum Beispiel zeige, dass sich der Kreis K und die Gerade G schneiden. Bestimme die Schnittpunkte.

Der Lösungsansatz ist immer gleich. Du setzt das hier ein und löst die entstandene Gleichung. Machen wir das mal Schritt für Schritt.

Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das hier einsetzen. Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten T. Jetzt löst du nach T auf.

Gibt es zwei Lösungen für T, schneiden sich der Kreis und die Gerade. Fasse diese beiden Vektoren zusammen. 6 minus 7 ist minus 1. Und 3 minus 6 ist minus 3. Den Rest schreibst du ab.

Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen. Das ist minus 1 plus 2T. Ich würde aber die Reihenfolge tauschen.

Das ist dann 2T minus 1. Und das ist minus 3 plus 1T. Oder umgedreht T minus 3. Das ist 2T minus 1 zum Quadrat. Dann kommt immer ein Plus.

Und dann kommt T minus 3 zum Quadrat. Falls die Kreisgleichung in dieser Form vorliegt, machst du folgendes. Vektor X ist der Vektor X1, X2.

X1 ist dann 6 plus 2T. Und X2 ist 3 plus T. Das setzt du hier bzw. hier ein.

Dann fasst du zusammen und kommst ebenfalls auf diese Zeile. Damit geht's auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Nun löst du die Klammern auf. Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln. Wegen dem Minus nimmst du hier die zweite binomische Formel.

A ist bei uns 2T und B ist 1. A Quadrat ist dann 2T zum Quadrat. Also 4T Quadrat. Dann kommt das Minus.

2AB sind 2 mal 2T mal 1. Das macht 4T. Und B Quadrat ist 1 zum Quadrat. Also 1. Nun machst du das gleiche hier.

A ist jetzt T und B ist 3. A Quadrat ist bei uns T Quadrat. Dann kommt das Minus. 2AB sind bei uns 2 mal T mal 3. Also 6T.

Und B zum Quadrat ist 3 zum Quadrat. Also 9. 4T Quadrat plus T Quadrat sind 5T Quadrat. Minus 4T minus 6T sind minus 10T.

Und 1 plus 9 ist 10. Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel beziehungsweise der ABC-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst. Dazu muss hier aber eine 0 stehen.

Bringe deshalb die 25 rüber. 10 minus 25 ist minus 15. Wir nehmen jetzt die PQ-Formel.

Dazu musst du erst noch durch 5 teilen. Hier steht dann T Quadrat. 10 geteilt durch 5 ist 2. Und 15 geteilt durch 5 ist 3. P ist bei uns minus 2 und Q ist minus 3. Das setzt du nun in die PQ-Formel ein.

Du änderst das Vorzeichen und teilst diese Zahl durch 2. Das macht 1. 1 zum Quadrat ist 1. Das kommt hier hin. Nun kommt minus Q. Also minus minus 3. Das macht plus 3. 1 plus 3 ist 4. Und die Wurzel daraus ist 2. 1 plus 2 macht 3. Und 1 minus 2 ist minus 1. Da es zwei Lösungen gibt, schneiden sich G und K. Um die Schnittpunkte zu bestimmen, setzt du die Lösungen für T nacheinander in die Geradengleichung ein. Du schreibst also das ab und setzt für T als erstes 3 ein.

3 mal 2 ist 6. Und 6 plus 6 ist 12. 3 mal 1 ist 3. Und 3 plus 3 ist 6. Der erste Schnittpunkt hat somit die Koordinaten 12 und 6. Entsprechend schreibst du hier Vektor S1 statt Vektor X. Nun machst du das gleiche nochmal mit T gleich minus 1. Es genügt das Minus, die 1 kannst du weglassen. 6 minus 2 ist 4. Und 3 minus 1 ist 2. Der zweite Schnittpunkt hat somit die Koordinaten 4 und 2. Hier schreibst du dafür Vektor S2.

Wie du siehst, schneidet die Gerade den Kreis in diesen beiden Punkten. Eine solche Gerade wird auch Sekante genannt.

Gerade und Kreis berühren sich

In diesem Fall haben sie den Berührpunkt gemeinsam. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor und zeige dir, wie du den Berührpunkt bestimmst. Die Gerade ist eine Tangente an den Kreis.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann sich ein Kreis und eine Gerade berühren. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Wie liegen dieser Kreis und diese Gerade zueinander? Bestimme gegebenenfalls den Berührpunkt.

Wenn sowas in der Aufgabe steht, ist das schon ein Hinweis, dass sie sich berühren. Manchmal ist die Aufgabe auch direkt formuliert, wie zum Beispiel zeige, dass sich der Kreis K und die Gerade G berühren. Bestimme den Berührpunkt.

Der Lösungsansatz ist immer gleich. Du setzt das hier ein und löst die entstandene Gleichung. Machen wir das mal Schritt für Schritt.

Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X und das ist gleich dem hier. Also kannst du das hier einsetzen. Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten T. Jetzt löst du nach T auf.

Gibt es genau eine Lösung für T, berühren sich der Kreis und die Gerade. Fasse diese beiden Vektoren zusammen. 0 minus 7 ist minus 7 und 5 minus 6 ist minus 1. Den Rest schreibst du ab.

Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen. Das ist minus 7 plus 4t. Ich würde aber die Reihenfolge tauschen.

Das ist dann 4t minus 7 und das ist minus 1 minus 3t oder umgedreht minus 3t minus 1. Das ist 4t minus 7 zum Quadrat. Dann kommt immer ein plus und dann kommt minus 3t minus 1 zum Quadrat. Falls die Kreisgleichung in dieser Form vorliegt, machst du folgendes.

Vektor X ist der Vektor X1, X2. X1 ist dann 0 plus 4t und X2 ist 5 minus 3t. Das setzt du hier beziehungsweise hier ein.

Dann fasst du zusammen und kommst ebenfalls auf diese Zeile. Damit geht es auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Nun löst du die Klammern auf. Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln. Wegen dem Minus nimmst du hier die zweite binomische Formel.

A ist bei uns 4t und B ist 7. A Quadrat ist dann 4t zum Quadrat und das macht 16t Quadrat. Dann kommt ein Minus. 2ab sind dann 2 mal 4t mal 7. 2 mal 4 ist 8 und 8 mal 7 ist 56.

Das macht dann 56t und B Quadrat ist 7 zum Quadrat, also 49. Nun machst du das gleiche hier. A ist jetzt minus 3t und B ist 1. A Quadrat ist dann minus 3t zum Quadrat und das macht 9t Quadrat.

2ab sind dann 2 mal minus 3t mal 1. Das macht minus 6t und mit diesem Minus davor ergibt das plus 6t. B Quadrat ist 1 zum Quadrat und das macht 1. 16t Quadrat plus 9t Quadrat sind 25t Quadrat. Minus 56t plus 6t sind minus 50t und 49 plus 1 ist 50.

Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel beziehungsweise der abc-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst. Dazu muss hier aber eine Null stehen. Bringe deshalb die 25 rüber.

50 minus 25 ist 25. Wir nehmen jetzt die pq-Formel. Dazu musst du erst noch durch 25 teilen.

Hier steht dann t Quadrat. 50 geteilt durch 25 ist 2 und 25 geteilt durch 25 ist 1. p ist bei uns minus 2 und q ist 1. Das setzt du nun in die pq-Formel ein. Du änderst das Vorzeichen und teilst diese Zahl durch 2. Das macht 1. 1 zum Quadrat ist 1. Das kommt hier hin.

Nun kommt minus q, also minus 1. 1 minus 1 ist 0 und die Wurzel daraus ist auch 0. 1 plus 0 ist das gleiche wie 1 minus 0, nämlich 1. Da es nur eine Lösung gibt, berühren sich g und k. Um den Berührpunkt zu bestimmen, setzt du diese Lösung für t in die Geradengleichung ein. Du schreibst also das ab und setzt für t 1 ein. Den Faktor 1 brauchst du aber nicht extra hinschreiben.

Es genügt das Plus. 0 plus 4 ist 4 und 5 plus minus 3 ist 5 minus 3, also 2. Der Berührpunkt hat somit die Koordinaten 4 und 2. Hier schreibst du dafür Vektor b statt Vektor x. Hier siehst du den Kreis und die Gerade. Sie berühren sich in diesem Punkt.

Seine Koordinaten sind 4 und 2. Eine Gerade, die einen Kreis in einem Punkt berührt, wird auch Tangente genannt. Das solltest du dir merken.

Gerade und Kreis haben keine gemeinsamen Punkte

Hierbei "läuft die Gerade am Kreis vorbei". Die Gerade ist eine Passante.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann ein Kreis und eine Gerade keine gemeinsamen Punkte haben. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Wie liegen dieser Kreis und diese Gerade zueinander? Um das herauszufinden, setzt du das hier ein und löst die entstandene Gleichung.

Machen wir das mal Schritt für Schritt. Hier steht Vektor x und hier steht Vektor x. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das hier einsetzen.

Das ergibt diese Gleichung mit der unbekannten t. Haben Kreis und Gerade keine gemeinsamen Punkte, gibt es keine Zahl t, für die diese Gleichung erfüllt ist. Die Gleichung ist dann unlösbar. Genau das ist hier der Fall, wie du bald sehen wirst.

Fasse diese beiden Vektoren zusammen. 1-7 ist –6 und 12-6 ist 6. Den Rest schreibst du ab. Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen.

Das ist –6 plus 1t. Ich würde aber die Reihenfolge tauschen. Das ist dann t-6.

Und das ist 6 plus 0t. Also 6. Das ist t-6². Dann kommt immer ein Plus.

Und dann kommt 6². Falls die Kreisgleichung in dieser Form vorliegt, machst du folgendes. Vektor x ist der Vektor x1, x2.

x1 ist dann 1 plus t. Und x2 ist 12 plus 0t. Also einfach 12. Das setzt du hier bzw.

hier ein. Dann fasst du zusammen und kommst ebenfalls auf diese Zeile. Damit geht's auf der nächsten Seite weiter.

Soweit waren wir schon. Nun löst du die Klammern auf. Das geht durchaus multiplizieren oder mit den binomischen Formeln.

Wegen dem Minus nimmst du hier die zweite binomische Formel. a ist bei uns t und b ist bei uns 6. a² ist dann t². Dann kommt ein Minus.

2ab ist dann 2 mal t mal 6. Also 12t. Und b² ist 6². Also 36.

Diese 6² ergibt auch 36. 36 plus 36 ist 72. Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel bzw.

der ABC-Formel oder Mitternachtsformel lösen kannst. Dazu muss hier aber eine 0 stehen. Bringe deshalb die 25 rüber.

72 minus 25 ist 47. Wir nehmen jetzt die PQ-Formel. p ist bei uns minus 12 und q ist 47.

Das setzt du nun hier ein. Du änderst das Vorzeichen und teilst diese Zahl durch 2. Das macht 6. 6 zum Quadrat ist 36. Das kommt hier hin.

Nun kommt minus q. Also minus 47. 36 minus 47 ist minus 11. Aus einer negativen Zahl kannst du aber keine Wurzel ziehen.

Deshalb gibt es keine Lösung. Das kannst du durch einen Blitz symbolisieren. Keine Lösung bedeutet, dass g und k keine gemeinsamen Punkte haben.

Das liegt daran, dass die Gerade G am Kreis vorbei läuft. Eine solche Gerade nennt man auch Passante.