Lage von Punkten bezüglich Kreisen und Kugeln
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Punktprobe
Mit einer Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf einem Kreis bzw. einer Kugel liegt. Mit Kreis ist nur der Rand gemeint (nicht die Kreisscheibe!) und mit Kugel nur ihre Oberfläche. Das Vorgehen ist für Kreise und Kugeln gleich. In diesem Video zeige ich es dir am Beispiel eines Kreises.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, bei einem Kreis eine Punktprobe zu machen. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Zeige, dass der Punkt P auf dem Kreis K liegt.
Das ist die Vektorform. Die Koordinatenform würde so aussehen. Um die Aufgabe zu lösen, machst du eine sogenannte Punktprobe.
Dazu setzt du für Vektor X die Koordinaten von P als Vektor geschrieben ein. Also Vektor 4, 10. Nun rechnest du nach, ob die linke Seite tatsächlich 25 ergibt.
Falls ja, liegt der Punkt auf dem Kreis. Falls nicht, dann nicht. Bei der Koordinatenform würdest du hier die 4 einsetzen und hier die 10.
Und dann ebenso nachrechnen, ob die linke Seite 25 ergibt. Jetzt machen wir hier weiter. 4-7 ist –3 und 10-6 ist 4. Das ergibt –3², dann kommt immer ein Plus und dann kommt 4².
–3² ist 9 und 4² ist 16. 9 plus 16 ist 25. Also steht hier eine wahre Aussage.
Somit liegt der Punkt P auf dem Kreis K. Bei einer falschen Aussage würde er nicht auf dem Kreis liegen. Hier siehst du den Kreis und hier liegt der Punkt P. Auf dem Kreis bedeutet also auf dem Rand.
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Lage eines Punktes bezüglich eines Kreises
Ein Punkt kann innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen. Dazu vergleichst du den Abstand des Punktes vom Mittelpunkt mit dem Radius des Kreises.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Lage eines Punktes bezüglich eines Kreises untersuchst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Ein Kreis hat den Mittelpunkt m2,1 und den Radius r gleich 4. Liegt der Punkt P6,4 innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis? Dazu berechnest du den Abstand vom Mittelpunkt m zum Punkt P und vergleichst ihn mit dem Radius.
Der Abstand ist der Betrag des Verbindungsvektors von m zu p. Für den Vektor m,p rechnest du Ende minus Anfang. 6 minus 2 ist 4 und 4 minus 1 ist 3. Der Betrag dieses Vektors ist die Wurzel aus 4 zum Quadrat plus 3 zum Quadrat. 4 zum Quadrat ist 16 und 3 zum Quadrat ist 9. 16 plus 9 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Der Radius des Kreises ist 4. 5 ist größer als 4. Somit muss p außerhalb des Kreises liegen.
Hier siehst du den Kreis und hier liegt p. Das ist der Vektor m,p. Seine Länge ist 5. Da das größer ist als der Radius 4, liegt p außerhalb des Kreises. Merke dir Folgendes.
Ist der Betrag des Vektors größer als r, liegt p außerhalb des Kreises. Ist der Betrag dagegen gleich r, ist der Pfeil genauso lang wie der Radius. Das bedeutet, p liegt auf dem Kreis.
Und ist der Betrag kleiner als r, ist der Pfeil kürzer als der Radius. Dann muss p innerhalb des Kreises liegen.
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Lage eines Punktes bezüglich einer Kugel
Ein Punkt kann innerhalb, außerhalb oder auf der Kugel liegen. Wie bei Kreisen vergleichst du dazu den Abstand des Punktes vom Mittelpunkt mit dem Radius der Kugel.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Lage eines Punktes bezüglich einer Kugel untersuchst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Eine Kugel hat den Mittelpunkt m und den Radius r gleich 3. Liegt der Punkt P innerhalb, außerhalb oder auf der Kugel? Dazu berechnest du den Abstand vom Mittelpunkt m zum Punkt P und vergleichst ihn mit dem Radius der Kugel.
Der Abstand ist der Betrag des Verbindungsvektors von m zu P. Für den Vektor mP rechnest du Ende minus Anfang. 4 minus 3 ist 1. 2 minus 0 ist 2. Und 0 minus 2 ist minus 2. Der Betrag dieses Vektors ist die Wurzel aus 1 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat plus minus 2 zum Quadrat. 1 zum Quadrat ist 1 und das zum Quadrat ist jeweils 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Das entspricht dem Radius der Kugel.
Somit muss P auf der Kugel liegen. Das kannst du dir so vorstellen. Der Punkt P liegt auf der Oberfläche der Kugel.
Das ist der Vektor mP. In diesem Fall entspricht die Länge des Pfeils genau dem Radius der Kugel. Merke dir, ist der Betrag des Vektors gleich r, liegt P auf der Kugel.
Ist der Betrag kleiner als r, ist der Pfeil kürzer als der Radius. Dann muss P innerhalb der Kugel liegen. Ist der Betrag des Vektors dagegen größer als r, ist der Pfeil länger als der Radius.
Somit muss P außerhalb der Kugel liegen.
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