Kugeln

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• Gleichung einer Kugel
• Mittelpunkt M und Radius r an Kugelgleichung ablesen
• Kugelgleichung bestimmen
• Quadratische Ergänzung bei einer Kugelgleichung

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Gleichung einer Kugel

Mit Kugel meint man eigentlich nur die Oberfläche der Kugel. Das Besondere an einer Kugel ist, dass alle Punkte darauf den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Dieser Abstand ist der Radius der Kugel. Es lässt sich zeigen, dass sich die Gleichung für einen Kreis auf eine Kugel erweitern lässt. In diesem Video zeige ich dir die Gleichung für eine Kugel in Koordinaten- und Vektorform.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Gleichung einer Kugel anzugeben. Für den Kreis kennst du bereits diese Koordinatenform und diese Vektorform. Es lässt sich zeigen, dass sich diese Formeln auf Kugeln im dreidimensionalen Raum erweitern lassen.

Hier kommt also noch die Klammer für die dritte Koordinate hinzu. Hier sieht die Formel gleich aus, allerdings haben die Vektoren hier zwei Koordinaten und hier drei. Machen wir mal ein Beispiel dazu.

Eine Kugel hat den Mittelpunkt 1-2,3 und den Radius 4. Die Kugel kannst du dir so vorstellen. In der Mitte ist der Mittelpunkt und jeder Punkt x auf der Oberfläche hat dazu denselben Abstand, nämlich r. Eine Kugel wird meist mit einem großen K bezeichnet. Für die Vektorgleichung schreibst du den Mittelpunkt m als Vektor auf, also Vektor 1-2,3.

Das kommt hier hin. Und r² ist 4², also 16. Schon bist du fertig.

Für die Koordinatenform setzt du hier die Koordinaten von m ein. Die 1 kommt hier hin, minus 2 kommt hier hin und minus minus 2 macht plus 2 und die 3 kommt hier hin. r² ist wieder 4², also 16.

Jetzt zeige ich dir noch, wie du die Vektorform in die Koordinatenform umwandeln kannst, nur damit du es mal gesehen hast. Das ist die Vektorform. Vektor x hat ja die Koordinaten x1, x2 und x3.

Nun kannst du jede Seite zusammenfassen und quadrieren. Das macht dann x1-1 zum Quadrat, dann kommt ein Plus, das macht x2-minus-2, also x2 plus 2 zum Quadrat, dann kommt wieder ein Plus und das macht x3-3 zum Quadrat. Das ist die Koordinatenform.

In umgekehrter Richtung erhältst du daraus die Vektorform.

Mittelpunkt M und Radius r an Kugelgleichung ablesen

Der Mittelpunkt und der Radius einer Kugel lassen sich ziemlich leicht an ihrer Gleichung erkennen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du an der Kugelgleichung den Mittelpunkt und den Radius der Kugel abliest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Durch diese Gleichung wird eine Kugel beschrieben.

Gib den Mittelpunkt und den Radius an. Die Koordinatenform sieht allgemein so aus. Schreiben wir unsere Gleichung mal darunter.

Das sind die Koordinaten des Mittelpunktes. m2 fehlt bei uns. Dafür schreibst du hier eine 0. Denn x2-0 ist ja x2, also steht hier x2 zum Quadrat.

Genauso wie hier. Hier steht ein Minus, aber bei uns steht ein Plus. Plus 4 ist das gleiche wie Minus Minus 4. Der Mittelpunkt hat somit die Koordinaten 1, 0 und Minus 4. Und hier steht r².

9 ist die Quadratzahl von 3. Also ist der Radius 3. Die Vektorform dieser Kugelgleichung sieht übrigens so aus. Hier ist der Mittelpunkt leichter abzulesen. Du schreibst einfach diese Koordinaten als Punkt auf.

Beim Radius ist alles unverändert.

Kugelgleichung bestimmen

So bestimmst du eine Gleichung der Kugel, wenn ihr Mittelpunkt und Radius gegeben sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Kugelgleichung aufstellst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Eine Kugel hat den Mittelpunkt m1,0,-4 und den Radius r gleich 3. Gib eine Gleichung der Kugel in Vektor- und Koordinatenform an.

Die Kugel kannst du dir so vorstellen. Der Mittelpunkt hat diese Koordinaten. Der Abstand zur Oberfläche ist der Radius 3. Für die Vektorform brauchst du Vektor m und r².

Vektor m hat die gleichen Koordinaten wie der Mittelpunkt m, also Vektor 1,0,-4. Wenn r gleich 3 ist, ist r² gleich 3² und das macht 9. Das setzt du hier ein. Und für Vektor m setzt du das ein.

Fertig ist die Vektorform. Für die Koordinatenform brauchst du die Koordinaten des Mittelpunktes und ebenfalls r². Hier setzt du die 1 ein.

Hier setzt du die 0 ein. Da x2-0 aber x2 ist, kannst du die 0 und die Klammer einfach weglassen. Und hier setzt du minus 4 ein.

Minus minus 4 macht plus 4. Wenn r gleich 3 ist, ist r² wieder 9. Das kommt hier hin. Fertig ist die Koordinatengleichung. Zum Schluss möchte ich dir noch zeigen, wie du die Koordinatengleichung auch durchaus multiplizieren aus der Vektorgleichung erhältst.

Das ist die Vektorform. Vektor x hat ja die Koordinaten x1, x2 und x3. Nun kannst du jede Zeile zusammenfassen und quadrieren.

Das macht dann x1-1². Dann kommt ein Plus. x2-0 ist x2.

Das macht also x2². Dann kommt wieder ein Plus. x3--4 ist x3-4.

Das macht also x3-4². Das ist die Koordinatenform. In umgekehrter Richtung erhältst du daraus die Vektorform.

Quadratische Ergänzung bei einer Kugelgleichung

Nicht immer sind der Mittelpunkt und der Radius direkt an der Kugelgleichung ablesbar. Hier lernst du, wie du "komische" Kugelgleichungen durch quadratische Ergänzung in die übliche Form bringst.

Lösungsbeschreibung

Manchmal kann man den Mittelpunkt und den Radius nicht so einfach an der Kugelgleichung ablesen. Das zeigt diese Aufgabe. Durch diese Gleichung wird eine Kugel beschrieben.

Bestimme Ihren Mittelpunkt und Radius. Das ist eine Koordinatengleichung, aber sie sieht nicht so aus wie üblich. Deshalb musst Du sie erst umformen, um den Mittelpunkt und den Radius ablesen zu können.

Das Ziel ist es, die Gleichung in die übliche Form zu bringen. Bis jetzt hast Du das. Jetzt sortierst Du erstmal.

Das kommt hinter x1². Nun machst Du quadratische Ergänzungen. Hier schreibst Du das ab und m1 ist die Hälfte von 2, also 1. Wegen dem Minus entspricht das der zweiten binomischen Formel.

Wenn Du das ausrechnest, kommt aber mehr raus, als hier steht. Denn a² entspricht bei uns x1². –2ab sind dann –2 mal x1 mal 1, also –2x1.

Und b² ist 1 zum Quadrat, also 1. Das ist das, aber die 1 steht hier gar nicht. Das ist die Ergänzung, damit Du das als Quadrat schreiben konntest. Du darfst aber nicht einfach was dazu schummeln.

Deshalb musst Du die 1 wieder abziehen. x2² ist das gleiche wie x2-0². In die dritte Klammer schreibst Du x3 und die Hälfte von 8 ist 4. Wegen dem Plus brauchst Du diesmal die erste binomische Formel.

a² entspricht bei uns x3². 2ab sind dann 2 mal x3 mal 4, also 8x3. Und b² ist 4 zum Quadrat, also 16.

Das ist das, aber die 16 steht hier gar nicht. Deshalb musst Du sie jetzt wieder abziehen. 8-1-16 ist –9.

Rechne plus 9, um das auf die andere Seite zu bringen. Nun hat die Gleichung diese Form. Um den Mittelpunkt abzulesen, muss hier aber ein Minus stehen.

Plus 4 ist das gleiche wie –-4. Der Mittelpunkt hat somit die Koordinaten 1, 0 und –4. r² ist 9. Ziehst Du die Wurzel, erhältst Du r gleich 3. Normalerweise gäbe es noch die Lösung –3, aber ein Radius kann nicht negativ sein.

Deshalb entfällt die zweite Lösung. Die gegebene Gleichung beschreibt also eine Kugel mit diesem Mittelpunkt und dem Radius 3. Das bedeutet, jeder Punkt auf der Oberfläche hat zum Mittelpunkt den Abstand 3.