Kreise

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• Gleichung eines Kreises
• Mittelpunkt M und Radius r an Kreisgleichung ablesen
• Kreisgleichung bestimmen
• Quadratische Ergänzung bei einer Kreisgleichung

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Gleichung eines Kreises

In diesem Video-Tutorial geht es um Kreise (in der x1x2-Ebene). Mit Kreis meint man eigentlich nur den Rand des Kreises. Das Besondere an einem Kreis ist, dass alle Punkte darauf den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Dieser Abstand ist der Radius des Kreises. Deshalb kannst du einen Kreis einfach mit dem Zirkel zeichnen. In diesem Video zeige ich dir die Gleichung für einen Kreis in Koordinaten- und Vektorform. Außerdem erfährst du, was der Satz des Pythagoras damit zu tun hat.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Gleichung eines Kreises anzugeben. Hier siehst du einen Kreis K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R. X ist ein Punkt auf dem Rand des Kreises. Wenn man Kreis sagt, meint man eigentlich nur diesen Rand.

Jetzt zeige ich dir, wie du diesen Rand durch eine Gleichung beschreibst. Das geht mit dem Satz des Pythagoras. Stell dir vor, du zeichnest hier dieses rechtwinklige Dreieck ein.

Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras a² plus b² gleich c². a und b sind bei uns ja die Koordinaten des Punktes x. Dieses Stück ist dann x1 und dieses Stück ist x2. Und c ist der Radius R. Aus dieser Gleichung wird dann x1² plus x2² ist gleich r².

Das ist die Gleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt 0,0. Verschiebst du den Kreis, muss der neue Mittelpunkt in die Formel eingearbeitet werden. Der Punkt x hat immer noch die Koordinaten x1 und x2.

Und der Punkt m hat die Koordinaten m1 und m2. Die Formel lautet ja, das Stück zum Quadrat plus das Stück zum Quadrat ergibt r². Das Stück ist der Abstand dieser beiden Koordinaten.

Also x1-m1. Wenn das zum Beispiel 9 wäre und das wäre 5, dann wäre der Abstand 4. Genauso ist dieses Stück x2-m2. Und jetzt quadrierst du das wieder genau wie vorher.

Das ergibt die Gleichung x1-m1² plus x2-m2² ist gleich r². Das ist die Kreisgleichung in Koordinatenform, da hier die Koordinaten des Mittelpunktes m stehen und die Koordinaten des Punktes x. Setzt du hier den Mittelpunkt 0,0 ein, vereinfacht sich diese Gleichung zu der, die wir vorher hatten. Du kannst diese Gleichung auch mit Vektoren angeben.

Das ist dann Vektor x-Vektor m² ist gleich r². Ich zeige dir gleich, warum das das Gleiche ist. Vektor x ist der Ortsvektor des Punktes x. Und Vektor m ist der Ortsvektor des Punktes m. Vektor x-Vektor m ist dann der Verbindungsvektor von m zu x. Quadrierst du diesen Verbindungsvektor, kommt eine Zahl raus, nämlich r².

Jetzt zeige ich dir, wie man von der Vektorform zur Koordinatenform kommt. Vektor x ist ja das und Vektor m ist das. Nun kannst du zusammenfassen.

Das macht x1-m1 und das macht x2-m2. Das ist der Verbindungsvektor. Dieser soll quadriert werden.

Das heißt, er wird mit sich selbst multipliziert. Und jetzt bildest du einfach dieses Skalarprodukt. Das ist dann das mal das, also x1-m1².

Dann kommt immer ein Plus und dann kommt das mal das, also x2-m2². Und schon hast du die Koordinatenform. Zum Schluss machen wir ein Beispiel.

Gesucht ist eine Gleichung dieses Kreises. Der Mittelpunkt hat die Koordinaten 7 und 6. Und der Radius ist 5. Fangen wir mit der Koordinatenform an. m1 ist 7 und m2 ist 6. r² ist 5², also 25.

Das ist die fertige Koordinatengleichung. Für x setzt du also nichts ein. Nun schreiben wir die Vektorform auf.

Der Vektor m hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt m, also 7, 6. Nun setzt du das einfach hier ein. r² ist wieder 25. Das ist die fertige Vektorgleichung.

Mittelpunkt M und Radius r an Kreisgleichung ablesen

Der Mittelpunkt und der Radius eines Kreises lassen sich ziemlich leicht an seiner Gleichung erkennen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du an der Kreisgleichung den Mittelpunkt und den Radius des Kreises abliest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Durch diese Gleichung wird ein Kreis beschrieben.

Gib den Mittelpunkt und den Radius an. Die Koordinatenform sieht allgemein so aus. Schreiben wir unsere Gleichung mal darunter.

Das sind die Koordinaten des Mittelpunktes. Hier steht ein Minus, aber bei uns steht ein Plus. Plus 2 ist das gleiche wie Minus Minus 2. Der Mittelpunkt ist somit 1 Minus 2. Und hier steht r².

9 ist die Quadratzahl von 3. Also ist der Radius 3. Die Vektorform dieser Kreisgleichung sieht übrigens so aus. Hier ist der Mittelpunkt leichter abzulesen. Du schreibst einfach diese Koordinaten als Punkt auf.

Beim Radius ist alles unverändert.

Kreisgleichung bestimmen

So bestimmst du eine Gleichung des Kreises, wenn sein Mittelpunkt und Radius gegeben sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Kreisgleichung aufstellst. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein Kreis hat den Mittelpunkt m1–2 und den Radius r gleich 3. Gib eine Gleichung des Kreises in Vektor- und Koordinatenform an.

Diesen Kreis siehst du hier. Hier ist der Mittelpunkt und der Abstand zum Rand ist 3. Für die Vektorform brauchst du Vektor m und r². Vektor m hat die gleichen Koordinaten wie der Mittelpunkt, also Vektor 1–2.

Wenn r gleich 3 ist, ist r² 3², also 9. Das setzt du hier ein. Und für Vektor m setzt du das ein. Fertig ist die Vektorform.

Für die Koordinatenform brauchst du die Koordinaten des Mittelpunktes und ebenfalls r². Hier setzt du die 1 ein und hier setzt du –2 ein. ––2 macht plus 2. Wenn r gleich 3 ist, ist r² wieder 9. Das kommt hier hin.

Fertig ist die Koordinatengleichung. Zum Schluss möchte ich dir noch zeigen, wie du die Koordinatengleichung auch durchaus multiplizieren aus der Vektorgleichung erhältst. Hier siehst du nochmal die Vektorform.

Vektor x ist ja Vektor x1, x2. Nun kannst du zusammenfassen. Das ist x1–1 und das ist x2––2, also x2 plus 2. Quadrieren bedeutet, dass du das mit sich selbst multiplizierst.

Das ist das Skalarprodukt. Und das ist das mal das plus das mal das. Das ist x1–1² und das ist x2 plus 2².

Das ist die Koordinatenform. In umgekehrter Richtung erhältst du daraus die Vektorform.

Quadratische Ergänzung bei einer Kreisgleichung

Nicht immer sind der Mittelpunkt und der Radius direkt an der Kreisgleichung ablesbar. Hier lernst du, wie du "komische" Kreisgleichungen durch quadratische Ergänzung in die übliche Form bringst.

Lösungsbeschreibung

Manchmal kann man den Mittelpunkt und den Radius nicht so einfach an der Kreisgleichung ablesen. Das zeigt diese Aufgabe. Durch diese Gleichung wird ein Kreis beschrieben.

Bestimme seinen Mittelpunkt und Radius. Das ist eine Koordinatengleichung, aber sie sieht nicht so aus wie üblich. Deshalb musste sie erst umformen, um den Mittelpunkt und den Radius ablesen zu können.

Das Ziel ist es, die Gleichung in die übliche Form zu bringen. Bis jetzt hast du das. Jetzt sortierst du erstmal.

Das kommt hinter x1². Nun machst du quadratische Ergänzungen. Hier schreibst du das ab und m1 ist die Hälfte von 6, also 3. Wegen dem Minus entspricht das der zweiten binomischen Formel.

Wenn du das ausrechnest, kommt aber mehr raus, als hier steht. Denn a² entspricht bei uns x1². Minus 2ab ist dann minus 2 mal x1 mal 3, also minus 6x1.

Und b² ist 3², also 9. Das ist das. Aber die 9 steht hier gar nicht. Das ist die Ergänzung, damit du das als Quadrat schreiben konntest.

Du darfst aber nicht einfach was dazu schummeln. Deshalb musst du die 9 wieder abziehen. Nun machst du das gleiche hierfür.

In die Klammer schreibst du x2 und die Hälfte von 8 ist 4. Wegen dem Plus brauchst du diesmal die erste binomische Formel. a² entspricht bei uns x2². 2ab ist dann 2 mal x2 mal 4, also 8x2.

Und b² ist 4², also 16. Das ist das. Aber die 16 steht hier gar nicht.

Deshalb musst du sie jetzt wieder abziehen. Minus 9 minus 16 ist minus 25. Rechne plus 25, um das auf die andere Seite zu bringen.

Nun hat die Gleichung diese Form. Um den Mittelpunkt abzulesen, muss hier aber ein Minus stehen. Plus 4 ist das gleiche wie minus minus 4. Der Mittelpunkt hat somit die Koordinaten 3, minus 4. r² ist 25.

Ziehst du die Wurzel, erhältst du r gleich 5. Normalerweise gäbe es noch die Lösung minus 5. Aber ein Radius kann nicht negativ sein. Deshalb entfällt die zweite Lösung. Die gegebene Gleichung beschreibt also diesen Kreis.

Der Mittelpunkt hat die Koordinaten 3, minus 4. Und der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand ist 5. Das ist der Radius r.