Ebenenscharen

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• Was ist eine Ebenenschar?
• Aufgaben zu Ebenenscharen / Ebene mit bestimmter Eigenschaft ermitteln
• Schnittgerade einer Ebenenschar bestimmen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine Ebenenschar?

Eine Ebenenschar besteht aus unendlich vielen einzelnen Ebenen. Ihre Gleichungen unterscheiden sich nur an bestimmten Stellen durch den sogenannten Scharparameter a. In diesem Video siehst du 2 Beispiele für Ebenenscharen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was eine Ebenenschar ist. Im Alltag siehst du zum Beispiel eine Schar von Menschen. In der Mathematik meint man mit Schar auch eine große Menge.

Es gibt zum Beispiel Ebenenscharen, Geradenscharen und Funktionenscharen. In diesem Video geht es um Ebenenscharen. Hier siehst du die Gleichung einer Ebene.

In der Regel ist sie wie hier in Koordinatenform. Die Gleichung ist aber nicht eindeutig, da hier und hier keine Zahlen stehen, sondern ein a. Das ist der sogenannte Scharparameter. Er muss natürlich nicht immer a heißen.

Für a darf in der Regel eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Also auch Brüche, Kommazahlen und negative Zahlen. Da das unendlich viele Möglichkeiten sind, gehören unendlich viele Ebenen zu der Schar.

Welche Zahl man für a einsetzt, schreibt man hier als Index dran. Setzen wir mal 1 ein. 1x2 ist x2.

Und 4 mal 1 ist 4. Der Rest ist wie oben. Das ist diese Ebene. Setzt du für a andere Werte ein, erhältst du weitere Ebenen der Schar.

Für die Ebene E2 setzt du für a 2 ein. Dann steht hier 2x2 und 4 mal 2 ist 8. Hier siehst du ein weiteres Beispiel für eine Ebenenschar. Diesmal steht nur rechts a. Bei solchen Scharen sind die Ebenen parallel.

Hier siehst du die Ebenen für a gleich 8, 16, 24 und 32.

Aufgaben zu Ebenenscharen / Ebene mit bestimmter Eigenschaft ermitteln

In den folgenden Videos zeige ich dir, wie du typische Aufgaben zu Ebenenscharen löst Hier ist z.B. die Ebene einer Schar gesucht, die einen bestimmten Punkt enthält. Da sich alle Ebenen nur im Scharparameter a unterscheiden, musst du herausfinden, was a sein muss, damit die Bedingung erfüllt ist. Das Vorgehen ist ähnlich wie bei einer Punktprobe.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es, die Ebene einer Schar zu finden, die eine bestimmte Eigenschaft hat. Wie in dieser Aufgabe. Für jedes a Element r ist eine Ebene ea gegeben.

Für welches a liegt der Punkt p in ea? Kennst du a, kennst du die Ebene, in der dieser Punkt liegt. Um a zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von p hier ein. x1 ist 3, x2 ist –4 und x3 ist 5. Nun löst du einfach nach a auf.

–2 mal 3 ist –6, a mal –4 sind –4a und 6 mal 5 ist 30. 30 minus 6 ist 24. Bringe das rüber.

4a plus 4a sind 8a. Teile nun durch 8. Das ergibt a gleich 3. Der Punkt p liegt also in der Ebene e3. Hier siehst du die Ebenen e1, e2, e3 und e4.

p liegt in der grünen Ebene, also in e3. Die Gleichung dieser Ebene sieht übrigens so aus. Für a setzt du jeweils 3 ein.

Also hier, hier und hier. 4 mal 3 ist 12. In dieser Ebene liegt der Punkt p.

Schnittgerade einer Ebenenschar bestimmen

Hierzu bestimmst du zuerst 2 Punkte, die in jeder Ebene liegen und verbindest diese durch eine Gerade. Anschließend zeigst du, dass diese Gerade in jeder Ebene der Schar liegt. Somit muss sie die Schnittgerade sein.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es, die Schnittgerade einer Ebenenschart zu bestimmen, wie in dieser Aufgabe. Für jedes A-Element R ist eine Ebene EA gegeben. Alle Ebenen EA haben eine gemeinsame Schnittgerade G. Ermittle eine Gleichung für G. Um diese Schnittgerade zu bestimmen, suchst du erstmal zwei Punkte, die in allen Ebenen liegen.

Diese verbindest du durch eine Gerade. Dann brauchst du nur noch zu zeigen, dass diese Gerade in allen Ebenen liegt. Somit muss sie die Schnittgerade sein.

Hier siehst du nochmal die Gleichung der Ebenenschar. Jetzt bestimmst du durch Probieren zwei Punkte, für die die Gleichung erfüllt ist. Das heißt, die linke Seite und die rechte Seite müssen gleich sein.

Hier steht A und hier steht A. Wenn du für X1 1 einsetzt, hast du schon mal das A. Nun brauchst du noch eine 4. Das könnte X2 sein. Damit hast du hier schon alles, was hier steht. Also muss X3 0 sein, damit nichts mehr hinzukommen kann.

Das ergibt den Punkt P mit den Koordinaten 1, 4 und 0. Dieser Punkt liegt in jeder der Ebenen. Denn diese Seite ergibt immer das gleiche wie diese Seite, egal was du für A einsetzt. Nun brauchst du noch einen zweiten Punkt.

Setzt du für X3 zum Beispiel 1 ein, erhältst du 4 minus A. 4 steht auch hier, das ist schon mal gut. Aber hier steht A und nicht minus A. Das kannst du ausgleichen, indem du für X1 2 einsetzt. Denn 2A minus A ist A. Somit ist alles da, was du brauchst.

Deshalb ist diesmal X2 0. Das ergibt den Punkt 2, 0, 1. Nun legst du eine Gerade durch diese beiden Punkte. Für den Stützvektor schreibst du die Koordinaten von P als Vektor. Also Vektor 1, 4, 0. Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor von P zu Q. Dieser hat die Koordinaten 2 minus 1 gleich 1, 0 minus 4 gleich minus 4 und 1 minus 0 gleich 1. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung.

Nun kommt der letzte Schritt. Nun musst du nachweisen, dass diese Gerade in jeder Ebene der Schar liegt. Denn dann ist sie die gemeinsame Schnittgerade aller Ebenen.

Vektor X ist ja X1, X2, X3. X1 ist somit 1 plus T. X2 ist 4 minus 4T und X3 ist T. Das setzt du nun in die Gleichung der Ebenen Schar ein. So prüfst du, ob die Gerade in jeder Ebene liegt.

X1 ist 1 plus T. X2 ist 4 minus 4T. Wegen dem Plus davor brauchst du keine Klammern. Und X3 ist T. Nun vereinfachst du.

A mal 1 ist A. A mal T ist AT. 4 mal T sind 4T. Und minus A mal T ist minus AT.

Minus AT plus AT fällt weg. Ebenso minus 4T plus 4T. Übrig bleibt A plus 4. Somit steht hier eine wahre Aussage.

Und das bedeutet, G ist die gemeinsame Schnittgerade der Ebenen EA. Hier siehst du als Beispiel die Ebenen für A gleich 1 und A gleich minus 1. Sie schneiden sich in der roten Geraden. Das ist die Schnittgerade G, die du bestimmt hast.

Hier liegen die Punkte P und Q. Die Gleichung von E1 sieht übrigens so aus. Für A setzt du überall 1 ein. Einmal X1 ist X1.

Hier passiert nichts. 4 minus 1 ist 3. Und 1 plus 4 ist 5. Für die Gleichung der gelben Ebene würdest du für A jeweils minus 1 einsetzen.