Flächeninhalte und Volumina

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• Flächeninhalt eines Parallelogramms
• Flächeninhalt eines Dreiecks
• Volumen eines Spats (schiefes Prisma)
• Volumen einer vierseitigen Pyramide
• Volumen einer dreiseitigen Pyramide

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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Vektoren können Flächen (Parallelogramme, Dreiecke) und Körper (Spate, Pyramiden) aufspannen. In diesem Video-Tutorial lernst du, ihre Flächeninhalte bzw. Volumina zu berechnen. Vorab solltest du wissen, wie man das Vektorprodukt zweier Vektoren bildet und den Betrag eines Vektors berechnet. Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, sofern sie nicht parallel sind. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist der Betrag ihres Vektorprodukts.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um den Flächeninhalt eines Parallelogramms. Die Aufgabe lautet, die Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf. Berechne den Flächeninhalt.

Hier siehst du die Vektoren a und b. Sie spannen dieses Parallelogramm auf. Für den Flächeninhalt davon gibt es eine einfache Formel. Der Flächeninhalt a ist der Betrag des Vektorprodukts a Kreuz b. Du berechnest also zuerst das Vektorprodukt der Vektoren a und b. Das Ergebnis ist ein Vektor und dann berechnest du dessen Betrag.

Dieser Betrag ist der gesuchte Flächeninhalt. Für das Vektorprodukt machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen.

Schreibe die Koordinaten von Vektor a zweimal untereinander. Das gleiche machst du nochmal für Vektor b. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du 0 mal 1. Dann kommt ein Minuszeichen.

Und dann rechnest du 1 mal 2. Als nächstes rechnest du 1 mal 0. Dann kommt wieder ein Minuszeichen. Und dann rechnest du minus 3 mal 1. Und für die letzte Zeile rechnest du minus 3 mal 2. Dann kommt wieder ein Minus. Und dann kommt 0 mal 0. Jetzt fasst du zusammen.

0 mal 1 ist 0. Und minus 1 mal 2 ist minus 2. 1 mal 0 ist 0. Minus minus 3 ist 3. Und 3 mal 1 ist 3. Minus 3 mal 2 ist minus 6. Und der Rest fällt weg. Die Betragsstriche machst du immer drumrum. Jetzt ist es Zeit, die Betragsstriche aufzulösen.

Der Betrag dieses Vektors ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 3 zum Quadrat plus minus 6 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4. 3 zum Quadrat ist 9. Und minus 6 zum Quadrat ist 36. 36 plus 4 ist 40.

45 plus 9 ist 49. Die Wurzel daraus ist 7. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist somit 7 beziehungsweise 7 Flächeneinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimeter, dann wären das 7 Quadratzentimeter.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Zwei Vektoren spannen ein Dreieck auf, sofern sie nicht parallel sind. Dieses Dreieck ist halb so groß wie das aufgespannte Parallelogramm. Entsprechend ist der einzige Unterschied zu obiger Formel der Faktor 12

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um den Flächeninhalt eines Dreiecks. Die Aufgabe lautet, die Vektoren A und B spannen ein Dreieck auf. Berechne seinen Flächeninhalt.

Hier siehst du die Vektoren A und B. Sie spannen dieses Dreieck auf. Dieses Dreieck ist halb so groß wie das Parallelogramm, das von den Vektoren A und B aufgespannt wird. Deshalb ist die Formel die gleiche wie für ein Parallelogramm, bis auf den Faktor 1 halb.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist also 1 halb mal der Betrag des Vektorprodukts A Kreuz B. Du berechnest also zuerst das Vektorprodukt der Vektoren A und B. Das Ergebnis ist ein Vektor. Dann berechnest du dessen Betrag. Dieser Betrag ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Das Dreieck ist nur halb so groß. Deshalb multiplizierst du diese Zahl noch mit 1 halb. Machen wir das mal Schritt für Schritt.

Für das Vektorprodukt machst du eine große Klammer. Und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen.

Schreibe die Koordinaten von Vektor A zweimal untereinander. Das gleiche machst du nochmal für Vektor B. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du 0 mal 1. Dann kommt ein Minuszeichen.

Und jetzt rechnest du 1 mal 2. Dann kommt 1 mal 0. Dann wieder ein Minuszeichen. Und dann minus 3 mal 1. Und für die letzte Zeile rechnest du minus 3 mal 2. Dann kommt wieder ein Minus. Und dann kommt 0 mal 0. Jetzt fasst du zusammen.

0 mal 1 ist 0. Und minus 1 mal 2 ist minus 2. 1 mal 0 ist 0. Minus minus 3 ist 3. Und 3 mal 1 ist 3. Minus 3 mal 2 ist minus 6. Und der Rest fällt weg. Die Betragsstriche machst du immer drumrum. Und den Faktor 1 halb schreibst du auch immer davor.

Nun löst du die Betragsstriche auf. Der Betrag dieses Vektors ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 3 zum Quadrat plus minus 6 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4. 3 zum Quadrat ist 9. Und minus 6 zum Quadrat ist 36.

36 plus 4 ist 40. Und 40 plus 9 ist 49. Die Wurzel daraus ist 7. Das aufgespannte Parallelogramm hat somit den Flächeninhalt 7. Der Inhalt des Dreiecks ist ein halb mal 7, also 3,5.

Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist somit 3,5 beziehungsweise 3,5 Flächeneinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimeter, dann wären das 3,5 Quadratzentimeter.

Volumen eines Spats (schiefes Prisma)

Drei Vektoren spannen einen Spat (schiefes Prisma) auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Um das Volumen dieses Körpers zu berechnen, brauchst du das Vektorprodukt und das Skalarprodukt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Volumen eines Spards. Die Aufgabe lautet, die Vektoren a, b und c spannen einen Spard auf. Berechne sein Volumen.

Hier siehst du die Vektoren a, b und c. Sie spannen diesen Spard auf. Das ist ein schiefes Prisma. Das heißt, hier sind keine rechten Winkel.

Für das Volumen eines Spards gibt es eine einfache Formel. Bei Körpern ist das Volumen meist Grundfläche mal Höhe. Hier ist das auch so.

Die Grundfläche ist ein Parallelogramm. Und dafür kennst du schon die Formel. Diese Formel wird nun einfach um die Höhe erweitert.

Hier siehst du diese Formel. Lässt man mal Vektor c weg, kennst du diese Formel schon. Damit berechnest du die Fläche des Parallelogramms, also die Grundfläche.

Für das Volumen musst du noch mal der Höhe nehmen. Und das entspricht mal Vektor c innerhalb der Betragsstriche. Du berechnest also zuerst das Vektorprodukt a Kreuz b. Das Ergebnis ist ein Vektor.

Dann bildest du das Skalarprodukt dieses Vektors mit Vektor c. Das Ergebnis ist eine Zahl. Und dann bestimmst du den Betrag dieser Zahl. Dieser Betrag ist das Volumen des aufgespannten Spards.

Machen wir das mal Schritt für Schritt. Hier siehst du noch mal die Vektoren a und b. Für das Vektorprodukt machst du eine große Klammer. Dahinter kommt mal Vektor c. Um diese Klammer auszufüllen, arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab.

Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor a zweimal untereinander. Das gleiche machst du noch mal für Vektor b. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch.

Nun rechnest du 4 mal 0, dann kommt ein Minus und dann kommt 0 mal 2, dann 0 mal minus 2, dann kommt wieder ein Minus und dann rechnest du 0 mal 0. Und für die letzte Zeile rechnest du 0 mal 2, dann kommt wieder ein Minus und dann kommt 4 mal minus 2. Jetzt fasst du zusammen. Das ergibt 0, das auch. 0 mal 2 ist ebenfalls 0 und minus 4 mal minus 2 ist 8. Dahinter kommt wieder mal dieser Vektor.

Jetzt bildest du das Skalarprodukt. 0 mal minus 1 ist 0, dann kommt ein Plus. 0 mal 2 ist auch 0, dann kommt wieder ein Plus und 8 mal 2 ist 16.

0 plus 0 plus 16 ist 16 und der Betrag davon ist auch 16. Das ist das Volumen des aufgespannten Spards. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimeter, dann hätte der Spard ein Volumen von 16 cm³.

Volumen einer vierseitigen Pyramide

Drei Vektoren spannen eine vierseitige Pyramide auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Das Volumen dieser Pyramide beträgt ein Drittel des Volumens des aufgespannten Spats. Entsprechend ist der einzige Unterschied zu obiger Formel der Faktor 1/3

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Volumen einer vierseitigen Pyramide. Die Aufgabe lautet, die Vektoren A, B und C spannen eine vierseitige Pyramide auf. Berechne ihr Volumen.

Hier siehst du die Vektoren A, B und C. Sie spannen diese Pyramide auf. Sie hat vier Seiten. Eine vorn, rechts, hinten und links.

Aus der Geometrie kennst du für solche Pyramiden die Formel 1 Drittel mal Grundfläche mal Höhe. Das kannst du auch mit Vektoren berechnen. Die Grundfläche ist ein Parallelogramm.

Und dafür kennst du schon die Formel in Vektorschreibweise. Diese Formel wird nun einfach um die Höhe und den Faktor 1 Drittel erweitert. Hier siehst du diese Formel.

Der Betrag von A Kreuz B ergibt die Fläche des Parallelogramms, also die Grundfläche. Für das Volumen musst du noch mal der Höhe nehmen. Und das entspricht mal Vektor C innerhalb der Betragsstriche.

Außerdem kommt der Faktor 1 Drittel dazu, da die Pyramide spitz zuläuft. Du berechnest also zuerst das Vektorprodukt A Kreuz B. Das Ergebnis ist ein Vektor. Dann bildest du das Skalarprodukt dieses Vektors mit Vektor C. Das Ergebnis ist eine Zahl.

Dann bestimmst du den Betrag dieser Zahl und nimmst ihn mal 1 Drittel. Das ergibt das Volumen der vierseitigen Pyramide. Machen wir das mal Schritt für Schritt.

Hier siehst du noch mal die Vektoren A und B. Für das Vektorprodukt machst du eine große Klammer. Dahinter kommt mal Vektor C. Um diese Klammer auszufüllen, arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen.

Schreibe die Koordinaten von Vektor A zweimal untereinander. Das gleiche machst du noch mal für Vektor B. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du 4 mal 0. Dann kommt ein Minus.

Und dann rechnest du 0 mal 2. Dann kommt 0 mal minus 2. Dann kommt wieder ein Minus. Und dann rechnest du 0 mal 0. Und für die letzte Zeile rechnest du 0 mal 2. Minus 4 mal minus 2. Jetzt fasst du zusammen. Das ergibt 0. Das auch.

0 mal 2 ist ebenfalls 0. Und minus 4 mal minus 2 ist 8. Dahinter kommt wieder mal dieser Vektor. Jetzt bildest du das Skalarprodukt. 0 mal minus 1 ist 0. Dann kommt ein Plus.

0 mal 2 ist auch 0. Dann kommt wieder ein Plus. Und 8 mal 3 ist 24. 0 plus 0 plus 24 ist 24.

Und der Betrag davon ist auch 24. 24 und 3 kürzen sich zu 8. Das ist das Volumen der vierseitigen Pyramide. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimeter, dann hätte die Pyramide ein Volumen von 8 cm³.

Die Formel für die Pyramide und den Spat unterscheiden sich nur um den Faktor ein Drittel. Denn da die Pyramide spitz zuläuft, ist ihr Volumen geringer. Es ist genau ein Drittel dieses Volumens.

Volumen einer dreiseitigen Pyramide

Drei Vektoren spannen eine dreiseitige Pyramide auf, sofern nicht zwei von ihnen parallel sind. Das Volumen dieser Pyramide ist halb so groß wie das Volumen der aufgespannten vierseitigen Pyramide.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Volumen einer dreiseitigen Pyramide. Die Aufgabe lautet, die Vektoren a, b und c spannen eine dreiseitige Pyramide auf. Berechne ihr Volumen.

Hier siehst du die Vektoren a, b und c. Sie spannen diese Pyramide auf. Für das Volumen gibt es eine einfache Formel. Diese siehst du hier.

Du berechnest also zuerst das Vektorprodukt a Kreuz b. Das Ergebnis ist ein Vektor. Dann bildest du das Skalarprodukt dieses Vektors mit Vektor c. Das Ergebnis ist eine Zahl. Dann bestimmst du den Betrag dieser Zahl und nimmst ihn mal ein Sechstel.

Das ergibt das Volumen der dreiseitigen Pyramide. Machen wir das mal Schritt für Schritt. Hier siehst du nochmal die Vektoren a und b. Für das Vektorprodukt machst du eine große Klammer.

Dahinter kommt mal Vektor c. Um diese Klammer auszufüllen, arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor a zweimal untereinander.

Das gleiche machst du nochmal für Vektor b. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du 4 mal 0 minus 0 mal 2. 0 mal minus 2 minus 0 mal 0. 0 mal 2 minus 4 mal minus 2. Jetzt fasst du zusammen. Das ergibt 0. Das auch.

0 mal 2 ist ebenfalls 0. Und minus 4 mal minus 2 ist 8. Dahinter kommt wieder mal dieser Vektor. Jetzt bildest du das Skalarprodukt. 0 mal minus 1 ist 0. Dann kommt ein Plus.

0 mal 2 ist auch 0. Dann kommt wieder ein Plus. Und 8 mal 3 ist 24. 0 plus 0 plus 24 ist 24.

Und der Betrag davon ist auch 24. 24 und 6 kürzen sich zu 4. Das ist das Volumen der dreiseitigen Pyramide. Wäre die Einteilung z.B. in Zentimetern, dann hätte die Pyramide ein Volumen von 4 cm³.

Die Formel für eine dreiseitige und eine vierseitige Pyramide unterscheiden sich nur in diesem Faktor. Hier ist die Grundfläche ein Parallelogramm. Teilst du das Parallelogramm diagonal, entsteht dieses Dreieck.

Das Dreieck ist also halb so groß wie das Parallelogramm. In der Formel drückst du das durch den zusätzlichen Faktor 1 halb aus. Und 1 halb mal 1 Drittel ergibt 1 Sechstel.