Spiegelungen

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• So spiegelst du einen Punkt an einem Punkt
• So spiegelst du einen Punkt an einer Geraden
• So spiegelst du einen Punkt an einer Ebene
• So spiegelst du eine Gerade an einem Punkt

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So spiegelst du einen Punkt an einem Punkt

Um den Punkt P am Punkt Z zu spiegeln, bildest du den Verbindungsvektor und setzt diesen nochmal am Punkt Z an. Dadurch gelangst du zum gesuchten Bildpunkt P'.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Punkt an einem anderen Punkt spiegelst. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Der Punkt P wird am Punkt Z gespiegelt.

Bestimme den Bildpunkt P'. Du sollst also diesen Punkt an diesem Punkt spiegeln. Das geht so.

Als erstes verbindest du P und Z durch einen Vektor. Wenn du den Vektor PZ jetzt nochmal an Z ansetzt, gelangst du zum gesuchten Punkt P'. Als erstes brauchst du also diesen Verbindungsvektor.

Hier siehst du nochmal die gegebenen Punkte. Für den Vektor PZ rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von Z minus die Koordinaten von P, jeweils als Vektor geschrieben. Das macht Vektor 2 minus 2 4 minus Vektor 3 minus 4 2. 2 minus 3 ist minus 1. Minus 2 minus minus 4 ist das gleiche wie minus 2 plus 4 und das macht 2. Und 4 minus 2 ist 2. Das ist dieser Vektor.

Jetzt setzt du diesen Vektor nochmal an den Punkt Z an. Dadurch gelangst du zum Bildpunkt P'. Du rechnest also Z als Vektor geschrieben plus den Vektor PZ.

2 plus minus 1 ist 1. Minus 2 plus 2 ist 0 und 4 plus 2 ist 6. Das ist der Ortsvektor des Punktes P'. Oft schreibt man dafür auch Vektor OP'. Der gesuchte Punkt P' hat die gleichen Koordinaten, also 1 0 6. Genauso könntest du auch vom Punkt P aus zum Punkt P' gehen.

Dann müsstest du die Koordinaten vom Punkt P als Vektor schreiben plus zweimal diesen Vektor. Das ist der Bildpunkt, wenn man den Punkt P an Z spiegelt. Z steht übrigens für Zentrum.

Vielen Dank für's Zuschauen.

So spiegelst du einen Punkt an einer Geraden

Hierzu benötigst du eine Hilfsebene, die senkrecht zur Geraden ist und den gegebenen Punkt P enthält. Dann bestimmst du den Schnittpunkt der Hilfsebene und der Gerade (Lotfußpunkt). An diesem spiegelst du nun den Punkt P wie hier oben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Punkt an einer Geraden spiegelst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Der Punkt P wird an der Geraden G gespiegelt.

Bestimme den Bildpunkt P'. Du sollst also diesen Punkt an dieser Geraden spiegeln. Das geht so.

Als erstes denkst du dir eine Hilfsebene, die senkrecht auf der Geraden steht und durch den Punkt P verläuft. Die Ebene ist hier orange dargestellt. Da du die Ebene jetzt von der Seite siehst, sieht sie aus wie eine Gerade.

Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen. Dann berechnest du den Punkt F, in dem sich Ebene und Gerade schneiden. Als nächstes bestimmst du den Verbindungsvektor von P zu F. Wenn du den Vektor PF jetzt nochmal an F ansetzt, gelangst du zum gesuchten Punkt P'.

Hier siehst du nochmal, was gegeben ist, nämlich die Gerade G und der Punkt P. Daraus bastelst du jetzt eine Hilfsebene. Der Richtungsvektor U der Geraden ist ein normaler Vektor der Hilfsebene. Deshalb schreibst du die Ebenengleichung in normalen Form auf.

Der Richtungsvektor U ist das. Diesen nimmst du jetzt einfach als normalen Vektor. Dann brauchst du noch einen Stützvektor, der zu einem Punkt in der Ebene führt.

Der Punkt P liegt ja in der Ebene. Also schreibst du seine Koordinaten 1, 0, 6 einfach als Stützvektor auf. Fertig ist die Ebenengleichung.

Jetzt berechnest du den Schnittpunkt dieser Ebene und dieser Geraden. Das ist dann der Punkt F. Das machen wir auf der nächsten Seite. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung, die du selbst aufgestellt hast und die Geradengleichung aus der Aufgabe.

Hier steht Vektor x und hier steht Vektor x. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das auch hier drüben für Vektor x einsetzen. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen.

2 minus 1 ist 1. 6 minus 0 ist 6. Und minus 4 minus 6 ist minus 10. Das schreibst du wieder ab. Und der Rest bleibt auch gleich.

Nun multiplizierst du aus. Zuerst multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor.

Machen wir das mal. 1 mal 0 ist 0. Dann kommt ein Plus. 6 mal 2 ist 12.

Dann kommt wieder ein Plus. Und minus 10 mal minus 2 ist 20. Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer.

0 mal 0 ist 0. Dann kommt wieder ein Plus. 2 mal 2 ist 4. Dann kommt wieder ein Plus. Und minus 2 mal minus 2 ist auch 4. Jetzt fasst du zusammen.

0 plus 12 plus 20 ist 32. 0 plus 4 plus 4 ist 8. Und das macht dann 8T. Hier überträgst du die 0. Nun löst du nach T auf.

Bringe die 32 rüber. Und teile nun durch 8. Das ergibt T gleich minus 4. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Für T hast du minus 4 rausbekommen.

Setzt du das hier ein, erhältst du den Schnittpunkt F. Plus mal Minus ergibt Minus. Also kannst du hierfür gleich minus 4 schreiben. Jetzt rechnest du.

4 mal 0 ist 0. Und 2 minus 0 ist 2. Minus 4 mal 2 ist minus 8. Und 6 minus 8 ist minus 2. Minus 4 mal minus 2 macht plus 8. Und minus 4 plus 8 ist 4. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Dafür schreibst du hier Vektor F statt Vektor X. Üblich ist auch die Bezeichnung Vektor OF. Der Schnittpunkt F hat die gleichen Koordinaten.

Also 2 minus 2 ist 4. Das ist dieser Punkt. Hier siehst du nochmal den Punkt P aus der Aufgabe und den Punkt F, den du selbst berechnet hast. Nun verbindest du P mit F durch einen Vektor.

Dafür rechnest du Ende minus Anfang. Also die Koordinaten von F minus die Koordinaten von P jeweils als Vektor geschrieben. Das macht dann Vektor 2 minus 2 4 minus Vektor 1 0 6. 2 minus 1 ist 1. Minus 2 minus 0 ist minus 2. Und 4 minus 6 ist auch minus 2. Das ist dieser Vektor.

Jetzt setzt du diesen Vektor nochmal an den Punkt F an. Dadurch gelangst du zum Bildpunkt P'. Du rechnest also F als Vektor geschrieben plus den Vektor PF.

2 plus 1 ist 3. Minus 2 minus 2 ist minus 4. Und 4 minus 2 ist 2. Das ist der Ortsvektor des Punktes P'. Oft schreibt man dafür auch Vektor OP'. Der gesuchte Punkt P' hat die gleichen Koordinaten.

Also 3 minus 4 2. Das ist dieser Punkt. Diesen erhält man, wenn man P an G spiegelt.

So spiegelst du einen Punkt an einer Ebene

Hierzu benötigst du die Lotgerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den gegebenen Punkt P verläuft. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene ist der Lotfußpunkt. An diesem spiegelst du nun den Punkt P wie hier oben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Punkt an einer Ebene spiegelst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Der Punkt P wird an der Ebene E gespiegelt.

Bestimme den Bildpunkt P'. Du sollst also diesen Punkt an dieser Ebene spiegeln. Das geht so.

Als erstes denkst du dir eine Hilfsgerade, die senkrecht auf der Ebene steht und durch den Punkt P verläuft. Das ist die sogenannte Lotgerade. Dann berechnest du den Punkt F, in dem die Gerade die Ebene schneidet.

Dieser Punkt wird auch Lotfußpunkt genannt. Als nächstes bestimmst du den Verbindungsvektor von P zu F. Wenn du den Vektor PF jetzt nochmal an F ansetzt, gelangst du zum gesuchten Punkt P'. Als erstes brauchst du also die Lotgerade.

Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Koordinaten von P. Diese übernimmst du als Stützvektor für die Lotgerade. Das ist dann Vektor 106. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene.

Einen normalen Vektor auch. Deshalb kannst du diesen auch als Richtungsvektor für die Gerade nehmen. Die Koordinaten dieses normalen Vektors sind –1, 2, 2. Der Richtungsvektor ist also –1, 2, 2. Das ist eine Gleichung der Lotgeraden.

Als nächstes berechnest du den Punkt F. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabe und die Geradengleichung, die du selbst aufgestellt hast. Vektor x ist ja x1, x2 und x3. Das bedeutet, x1 ist 1 minus t. x2 ist 0 plus 2t.

Also einfach 2t. Und x3 ist 6 plus 2t. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei x1 durch das, x2 durch 2t und x3 durch das. Nun vereinfachst du. Löst du diese Klammer auf, ändern sich die Vorzeichen.

Aus 1 wird –1 und aus –t wird plus t. 2 mal 2t sind 4t. 2 mal 6 ist 12 und 2 mal 2t sind 4t. –1 plus 12 ist 11.

t plus 4t sind 5t und 5t plus 4t sind 9t. Bringe nun die 11 rüber. 2 minus 11 ist –9.

Teile nun durch 9. Das ergibt t gleich –1. Hier siehst du nochmal die Gleichung der Lotgeraden. Für t hast du gerade –1 rausbekommen.

Setzt du das hier ein, erhältst du den Lotfußpunkt f. Plus mal Minus ergibt Minus und die 1 brauchst du nicht extra hinschreiben. Jetzt rechnest du. 1 minus –1 ist das gleiche wie 1 plus 1 und das macht 2. 0 minus 2 ist –2 und 6 minus 2 ist 4. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes.

Dafür schreibst du hier Vektor f statt Vektor x. Üblich ist auch die Bezeichnung Vektor of. Der Lotfußpunkt f hat die gleichen Koordinaten, also 2 minus 24. Das ist dieser Punkt.

Hier siehst du nochmal den Punkt p aus der Aufgabe und den Punkt f, den du selbst berechnet hast. Nun verbindest du p mit f durch einen Vektor. Dafür rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von f minus die Koordinaten von p, jeweils als Vektor geschrieben.

Das macht dann Vektor 2 minus 24 minus Vektor 106. 2 minus 1 ist 1. –2 minus 0 ist –2 und 4 minus 6 ist auch –2. Das ist dieser Vektor.

Jetzt setzt du diesen Vektor nochmal an den Punkt f an. Dadurch gelangst du zum Bildpunkt p'. Du rechnest also f als Vektor geschrieben plus den Vektor pf.

2 plus 1 ist 3. –2 minus 2 ist –4 und 4 minus 2 ist 2. Das ist der Ortsvektor des Punktes p'. Oft schreibt man dafür auch Vektor op'. Der gesuchte Punkt p' hat die gleichen Koordinaten, also 3 minus 4 ist 2. Diesen Punkt erhält man, wenn man den Punkt p an der gelben Ebene spiegelt.

So spiegelst du eine Gerade an einem Punkt

Spiegelst du den Aufpunkt der Gerade g, erhältst du einen Aufpunkt der Spiegelgeraden. Damit hast du schon einen Stützvektor für die gesuchte Gerade. Den Richtungsvektor kannst du einfach von g übernehmen, da Gerade und Spiegelgerade parallel sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Gerade an einem Punkt spiegelst. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Bestimme eine Gleichung der Geraden g', die durch Spiegelung der Geraden g am Punkt z entsteht.

Du sollst also diese Gerade an diesem Punkt spiegeln. Das geht so. Der Stützvektor führt zu diesem Punkt auf der Gerade.

Diesen verbindest du nun mit dem Punkt z durch einen Vektor. Wenn du den Vektor pz jetzt nochmal an z ansetzt, gelangst du zu einem Punkt p', der auf der gesuchten Geraden liegt. Damit hast du schon mal den Stützvektor für g'.

Jetzt fehlt nur noch ein Richtungsvektor. Dafür kannst du den Richtungsvektor von Gerade g nehmen. Denn die gesuchte Gerade überläuft parallel zu g. Als erstes brauchst du also diesen Verbindungsvektor.

Hier siehst du nochmal die gegebene Gerade und den Punkt z. Der Punkt p hat die gleichen Koordinaten wie der Stützvektor und liegt auf der Geraden. Für den Vektor pz rechnest du die Koordinaten von z als Vektor geschrieben minus den Ortsvektor von p. 2–3 ist –1. –2––4 ist das gleiche wie –2 plus 4 und das macht 2. Und 4–2 ist 2. Das ist dieser Vektor.

Jetzt setzt du diesen Vektor nochmal an den Punkt z an. Dadurch gelangst du zu einem Punkt p', der auf der gesuchten Geraden liegt. Du rechnest also z als Vektor geschrieben plus den Vektor pz.

2 plus –1 ist 1. –2 plus 2 ist 0. Und 4 plus 2 ist 6. Das ist der Ortsvektor des Punktes p'. Der zugehörige Punkt p' hat die gleichen Koordinaten, also 1, 0, 6. Den Punkt brauchst du aber eigentlich nicht zu wissen. Denn für die Gleichung der Geraden g' verwendest du nur den Vektor.

Du hast jetzt also den Vektor p' und die gegebene Geradengleichung. Daraus bastelst du jetzt die Gerade g'. Als Stützvektor nimmst du den Vektor p'.

Da die Geraden parallel sein müssen, kannst du den Richtungsvektor von g auch für die Gerade g' verwenden. Du übernimmst also einfach diesen Richtungsvektor. Da hier r steht, solltest du hier einen anderen Parameter verwenden, zum Beispiel s. Diese Gleichung beschreibt die Gerade, die entsteht, wenn man die Gerade g am Punkt z spiegelt.

z steht übrigens für Zentrum.