Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen

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• Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem?
• Was sind Äquivalenzumformungen?
• Lineares Gleichungssystem ohne Lösung
• Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen
• Was du über die Anzahl der Lösungen und die geometrische Interpretation wissen musst
• Lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen

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Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen und 3 Gleichungen löst du mit dem Gauß-Verfahren. Um Zeit zu sparen, solltest du dabei zur Matrixschreibweise übergehen, wie ich es dir in den Videos zeige. Dann bringst du das Gleichungssystem mit Hilfe von Äquivalenzumformungen auf "Dreiecksform" bzw. "Stufenform". Daran kannst du erkennen, ob das Gleichungssystem genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Der weitere Lösungsweg hängt dann von der Anzahl der Lösungen ab. In den folgenden Videos rechne ich dir jeweils ein Beispiel vor und erkläre dir, was Äquivalenzumformungen sind. Lineares Gleichungssystem mit genau einer Lösung In den meisten Fällen hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. Ein Beispiel dafür rechne ich dir in diesem Video vor. Weiter unten erfährst du, was das geometrisch bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen löst. Meist heißen die Variablen x1, x2 und x3, manchmal aber auch x, y und z. Ein Gleichungssystem zu lösen, bedeutet herauszufinden, was x1, x2 und x3 sein müssen, damit alle drei Gleichungen erfüllt sind. Das machst du mit dem Gauss-Verfahren.

Zuvor solltest du aber die Schreibweise verkürzen. Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Dazu verwendest du die Matrix-Schreibweise.

Das klingt erstmal kompliziert, ist aber ganz einfach. Wie du siehst, steht hier vorn immer x1. In der Mitte steht immer x2.

Und hier steht immer x3. Das brauchst du nicht jedes Mal hinschreiben. Wichtig sind nur die Zahlen davor.

Die Zahlen vor x1 schreibst du in die erste Spalte der Matrix. x1 ist das gleiche wie einmal x1, also schreibst du hier eine 1. Die Zahlen vor x2 schreibst du in die zweite Spalte der Matrix. Und die Zahlen vor x3 schreibst du in die dritte Spalte.

Minuszeichen musst du auch übernehmen. Für das Istgleichzeichen machst du einen senkrechten Strich. Die Zahlen hinter dem Istgleichzeichen schreibst du in die Spalte hinter dem Strich.

Und schon bist du fertig. Nun kommt das Gauss-Verfahren. Dabei formen wir das Gleichungssystem so um, dass es diese Stufenform bzw.

Dreiecksform bekommt. Dazu müssen wir an diesen Stellen Nullen erzeugen. Halte dich am besten an das Schema, das ich dir jetzt zeige.

Als erstes erzeugst du an dieser Stelle eine Null. Dafür benutzt du die erste Zeile. Stell dir vor, du rechnest diese beiden Zahlen zusammen und dann soll Null rauskommen.

Im Moment kommt 4 raus, denn 3 plus 1 ist 4. Wenn hier minus 3 stehen würde, würde wie gewünscht Null rauskommen. Also multiplizieren wir die 1 einfach mit minus 3. Das schreibst du neben die Zeile. Außerdem machst du einen Pfeil an die Seite, der von der ersten zur zweiten Zeile zeigt.

Dieser Pfeil bedeutet, dass wir die erste und die zweite Zeile zusammenrechnen und das Ergebnis in die zweite Zeile schreiben. Nun kommt auch schon die nächste Matrix. Die erste Zeile schreibst du einfach ab.

Die Einträge in der zweiten Zeile berechnest du jetzt. Schwierig ist, dass du dabei sehr viel im Kopf rechnen musst. Du rechnest.

Einmal minus 3 ist minus 3 und 3 minus 3 ist Null. Das hatten wir ja bezweckt. Damit bist du aber noch nicht fertig.

Das gleiche musst du auch mit den anderen Einträgen machen. Minus 4 mal minus 3 ist 12 und 8 plus 12 ist 20. Minus 1 mal minus 3 ist 3 und minus 2 plus 3 ist 1. Einmal minus 3 ist minus 3 und minus 4 minus 3 ist minus 7. Als nächstes erzeugst du hier eine Null.

Dazu benutzt du wieder die erste Zeile. Der Pfeil geht jetzt also von der ersten zur dritten Zeile. Stell dir vor, du rechnest diese beiden Zahlen zusammen und dann soll Null rauskommen.

Im Moment kommt 5 raus, denn 3 plus 2 ist 5. Diesmal reicht es nicht, nur die 2 mit einer anderen Zahl zu multiplizieren. Diesmal musst du beide Zahlen mit anderen Zahlen multiplizieren. Die einfachste Möglichkeit ist, die 3 mit minus 2 mal zu nehmen und die 2 mit 3. 3 mal minus 2 ist minus 6. 2 mal 3 ist 6 und minus 6 plus 6 ist Null.

Das wollten wir ja erreichen. Das gleiche machst du nun wieder mit den anderen Einträgen. 8 mal minus 2 ist minus 16.

4 mal 3 ist 12. Minus 16 plus 12 ist minus 4. Minus 2 mal minus 2 ist 4. 5 mal 3 ist 15. 4 plus 15 ist 19.

Minus 4 mal minus 2 ist 8. 17 mal 3 ist 51. 8 plus 51 ist 59. Nun hast du x1 in der zweiten und dritten Zeile eliminiert.

x1 kommt darin 0 mal vor. Um zu verdeutlichen, dass diese Zeilen verändert wurden, kannst du einen kleinen Strich an die Nummerierung anfügen. Nun erzeugst du noch an dieser Stelle eine Null.

Dazu benutzt du diesmal aber die zweite Zeile. Zeichne daher ein Pfeil von der zweiten zur dritten Zeile. Stell dir vor, du rechnest diese beiden Zahlen zusammen und dann soll Null rauskommen.

Im Moment kommt 16 raus, denn 20 minus 4 ist 16. Wenn hier minus 20 stehen würde, würde wie gewünscht Null rauskommen. Also multiplizieren wir minus 4 einfach mit 5, denn das ergibt minus 20.

Das Resultat kommt in die nächste Matrix. Diesmal kannst du die ersten beiden Zeilen abschreiben, da sich diese nicht verändern. Die Null hier vorn bleibt.

Das ist der Grund, warum wir diesmal die zweite und nicht die erste Zeile genommen haben. Hätten wir die erste Zeile genommen, hätten wir diese Null verloren. Da hier aber auch eine Null steht, kann das nicht passieren.

Denn Null mal 5 ist Null und Null plus Null bleibt Null. Hier kommt natürlich auch Null raus, das hatten wir ja bezweckt. 19 mal 5 ist 95 und 1 plus 95 ist 96.

59 mal 5 ist 295 und minus 7 plus 295 ist 288. Die dritte Zeile wurde insgesamt zweimal verändert. Dafür kannst du zwei kleine Striche machen.

Nun hast du das Gleichungssystem auf Stufenform oder Dreiecksform gebracht. Da hier kein Platz mehr ist, schreibe ich auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Als nächstes bestimmst du x3. Erinnere dich, dass die dritte Spalte für x3 stand. Jetzt wechselst du von der Matrix-Schreibweise zurück in die normale Schreibweise und schreibst 96x3 ist gleich 288.

x1 und x2 kommen Null mal vor, also brauchst du sie nicht mehr aufschreiben. Nun löst du nach x3 auf. Teile dazu durch 96.

x3 ist 3. Als nächstes setzt du x3 in die Zeile darüber ein. Ich notiere das immer so. Das sind 20x2 plus 1 mal x3 und für x3 setzt du 3 ein.

Das ergibt minus 7. 1 mal 3 ist 3. Löse nun nach x2 auf. Rechne minus 3 und teile dann durch 20. Jetzt hast du x2 bestimmt.

Nun kommt der letzte Schritt. Jetzt setzt du x2 und x3 in die erste Zeile ein und bestimmst x1. Das sind 3x1 plus 8x2 und für x2 setzt du gleich minus 1 halb ein, minus 2x3 und für x3 setzt du gleich 3 ein.

Und das ergibt minus 4. 8 mal minus 1 halb sind minus 4. 2 mal 3 ist 6. Minus 4 minus 6 sind minus 10. Rechne plus 10 und teile durch 3. x1 ist 2. Damit bist du fertig. Manchmal sollst du die Lösung noch als Tupel beziehungsweise Punkt angeben.

Dabei musst du genau auf die Reihenfolge achten. Erst kommt x1, dann x2 und dann x3. Wie du diese Lösung geometrisch interpretierst, zeige ich dir in einem anderen Video.

Was sind Äquivalenzumformungen?

In diesem Video erfährst du, welche Umformungen du machen darfst, um ein lineares Gleichungssystem auf Stufenform bzw. Dreiecksform zu bringen. Solche Umformungen heißen Äquivalenzumformungen.

Lösungsbeschreibung

Um ein lineares Gleichungssystem auf Stufenform bzw. Dreiecksform zu bringen, sind folgende Umformungen erlaubt. Du darfst Gleichungen bzw.

Zeilen vertauschen. Außerdem darfst du die ersten drei Spalten vertauschen. Denk nur dran, später die richtige Variable hinzuschreiben.

Du darfst Gleichungen bzw. Zeilen mit beliebigen Zahlen multiplizieren, außer mit der Zahl 0. So kannst du zum Beispiel Brüche beseitigen. Außerdem haben wir beim Gauss-Verfahren ständig Gleichungen mit Zahlen multipliziert, wenn auch nur im Kopf.

Zudem darfst du Gleichungen oder Vielfache von Gleichungen addieren. Auch das haben wir beim Gauss-Verfahren gemacht. Durch diese Umformungen erhältst du ein neues und einfacheres Gleichungssystem, das immer noch die gleiche Lösung hat wie das ursprüngliche System.

In der Mathematik sagt man, die Gleichungssysteme sind äquivalent. Deshalb nennt man solche Umformungen auch Äquivalenzumformungen. Nicht immer sind Äquivalenzumformungen überhaupt nötig.

Betrachte das Schema, das ich dir im letzten Video gezeigt habe, als Lösungsvorschlag. Wenn es einen schnelleren Weg gibt, brauchst du dich nicht an das Schema zu halten. Sieh dir zum Beispiel dieses Gleichungssystem an.

Hier brauchst du keine Umformungen mehr. Du kannst die letzte Gleichung sofort nach x2 auflösen. Dann setzt du x2 in die zweite Gleichung ein und bestimmst x1.

Und schließlich setzt du x1 und x2 in die erste Gleichung ein und bestimmst x3.

Lineares Gleichungssystem ohne Lösung

In diesem Video lernst du, wann ein Gleichungssystem nicht lösbar ist. Weiter unten erfährst du, was das geometrisch bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir ein lineares Gleichungssystem, das keine Lösung hat. Schreibe das Gleichungssystem zunächst wieder als Matrix, wie ich es dir im ersten Video gezeigt habe. Hier vorne stehen schon zwei Nullen.

Es fehlt also nur noch an dieser Stelle eine Null. Deshalb multiplizieren wir die zweite Zeile mit zwei und addieren sie zur dritten Zeile. Hier vorne bleibt die Null.

3 mal 2 ist 6 und 6 minus 6 ist 0. Das hatten wir ja bezweckt. Minus 2 mal 2 ist minus 4 und minus 4 plus 4 ist auch 0. 1 mal 2 ist 2 und 2 plus 3 ist 5. An der letzten Zeile erkennst du nun, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Würdest du wie sonst die letzte Zeile ausschreiben, würde da 0 mal x3 gleich 5 stehen.

Das ist aber nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 ergibt. Es kann also niemals 5 rauskommen. Wenn schon die letzte Gleichung nicht lösbar ist, ist das komplette Gleichungssystem nicht lösbar.

Merke dir, stehen nach dem Umformen in der letzten Zeile links nur Nullen und rechts eine andere Zahl als 0, zum Beispiel 5, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Manche Gleichungssysteme haben unendlich viele Lösungen. In diesem Video zeige ich dir, woran du solche Gleichungssysteme erkennst und wie du es schaffst, alle Lösungen aufzuschreiben. Weiter unten erfährst du, was dieser Fall geometrisch bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir ein lineares Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen hat. Schreibe das Gleichungssystem zunächst wieder als Matrix, wie ich es dir im ersten Video gezeigt habe. Hier vorne stehen schon zwei Nullen, es fehlt also nur noch an dieser Stelle eine Null.

Deshalb multiplizieren wir die dritte Zeile mit –3 und addieren die zweite und dritte Zeile. Hier vorne bleibt die Null. 2 mal –3 ist –6 und 6 minus 6 ist Null, das hatten wir ja bezweckt.

–4 mal –3 ist 12 und –12 plus 12 ist auch Null. 1 mal –3 ist –3 und 3 minus 3 ist ebenfalls Null. Merke dir, stehen in der letzten Zeile nach dem Umformen nur noch Nullen, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Jetzt erkläre ich dir warum. Schreibst du wie sonst die letzte Zeile aus, steht da 0 mal x3 gleich Null. Diese Gleichung ist immer erfüllt, egal was du für x3 einsetzt, denn 0 mal irgendwas ist immer Null.

Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, was du für x3 einsetzt, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Aber wie schreibt man das mathematisch auf, dass man für x3 alles einsetzen darf? Ganz einfach, setze x3 gleich t. t steht für eine beliebige reelle Zahl. Der restliche Rechenweg ist wie bei einem Gleichungssystem mit nur einer Lösung.

x1 und x2 hängen dadurch auch von t ab, d.h. die Variable t wird dort auch vorkommen. Da hier kein Platz mehr ist, mache ich auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Nun setzt du wie üblich x3, also t, in die zweite Gleichung ein. Das sind 6x2 minus 12x3 und für x3 setzt du gleich t ein. Das ergibt 3. Nun löst du nach x2 auf.

Rechne plus 12t und teile nun durch 6. Nun kannst du noch die Reihenfolge tauschen, weil das so üblich ist. Und schon hast du x2 bestimmt. Jetzt kommt der letzte Schritt.

Jetzt setzt du x2 und x3 in die erste Gleichung ein und bestimmst x1. Vorne steht x1. Dann kommt minus 2 mal x2.

Für x2 setzt du nun das ein. Wegen diesem Pluszeichen musst du Klammern setzen. Und dann kommt minus x3, also minus t. Und das ergibt 2. Nun löst du nach x1 auf.

Multipliziere dazu zuerst die Klammer aus. Minus 2 mal 2t sind minus 4t. Und minus 2 mal 1 halb ist minus 1. Minus 4t minus t sind minus 5t.

Bringe nun die 1 rüber. Und nun die 5t. Nun hast du x1 bestimmt.

Auch hier kannst du die Reihenfolge ändern, damit die 5t zuerst kommen. Nun schreibst du die Lösung auf. Zuerst kommt x1, dann x2 und zum Schluss x3.

Dahinter schreibst du, was man für t einsetzen darf. Für t darf man eine beliebige reelle Zahl einsetzen, also t Element r. Da es unendlich viele reelle Zahlen gibt, hast du es auf diese Weise geschafft, unendlich viele Lösungen in einer einzigen Zeile aufzuschreiben. Um eine konkrete Lösung anzugeben, setzt du für t einfach eine Zahl ein, zum Beispiel 1. x1 ist dann 5 mal 1 plus 3. 5 mal 1 ist 5 und 5 plus 3 ist 8. x2 ist dann 2 mal 1 plus 1 halb.

2 mal 1 ist 2. Das ist als Bruch 4 halbe, denn 4 geteilt durch 2 ist ja 2. 4 halbe plus 1 halb sind 5 halbe. x3 ist 1. Zusammen ergibt das diese Lösung. Die Reihenfolge darfst du nicht vertauschen.

Erst kommt x1, dann x2 und dann x3. Das ist übrigens ein Punkt im dreidimensionalen Raum. Mehr dazu im Video zur geometrischen Interpretation.

Was du über die Anzahl der Lösungen und die geometrische Interpretation wissen musst

Bei der Anzahl der Lösungen sind nur 3 Fälle möglich: - genau eine Lösung, - keine Lösung - oder unendlich viele Lösungen. In diesem Video zeige ich dir, wie du das am Gleichungssystem erkennst und geometrisch interpretierst.

Lösungsbeschreibung

Im Leistungskurs musst du Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems machen und die Lösung geometrisch interpretieren können. Darum geht es in diesem Video. Bei der Anzahl der Lösungen sind nur drei Fälle möglich.

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Ich zeige dir jetzt, wie du das am Gleichungssystem erkennst und wie du die Lösung geometrisch interpretierst. Jede der drei Gleichungen des Gleichungssystems beschreibt eine Ebene im Raum.

Hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, dann ist diese der Schnittpunkt der drei Ebenen. Das kannst du dir so vorstellen. Diese drei Ebenen gehen durcheinander hindurch und du siehst hier nur Ausschnitte, denn in Wirklichkeit sind die Ebenen unendlich groß.

In diesem roten Punkt schneiden sie sich alle drei. Dieser Punkt liegt also in jeder der drei Ebenen. Ich hoffe, du kannst dir das einigermaßen gut vorstellen.

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Koordinaten dieses Schnittpunktes. Jetzt zeige ich dir, wie du diesen Fall am Gleichungssystem erkennst. Lässt sich das lineare Gleichungssystem auf Stufenform bzw.

Dreiecksform bringen, dann hat es genau eine Lösung. Diese Lösung ist der Schnittpunkt der drei Ebenen. Kommen wir zum nächsten Fall.

Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann gibt es keinen Punkt, der in allen drei Ebenen liegt. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn die drei Ebenen parallel sind. Es kann auch sein, dass sich nur zwei Ebenen schneiden, aber eben nicht alle drei.

Auch dann hat das zugehörige Gleichungssystem keine Lösung. Jetzt zeige ich dir, wie du diesen Fall erkennst. Stehen nach dem Umformen in der letzten Zeile links nur Nullen und rechts eine andere Zahl als 0, zum Beispiel 5, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Kommen wir zum dritten Fall. Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann gibt es eine Schnittgerade. Die unendlich vielen Schnittpunkte liegen also nicht irgendwo im Raum, sondern bilden zusammen die Schnittgerade.

Das kannst du dir so vorstellen. Hier rot eingezeichnet verläuft die Schnittgerade. Oft ist es auch so, dass du zwar drei Gleichungen hast, aber zwei davon dieselbe Ebene beschreiben.

Dann sieht man auf dem Bild nur zwei Ebenen statt drei. Jetzt zeige ich dir, wie du diesen Fall erkennst. Stehen nach dem Umformen in der letzten Zeile nur Nullen, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Falls du schon analytische Geometrie hattest, solltest du wissen, wie man aus der Lösung die Schnittgerade in Vektorschreibweise herleitet. Das geht so. Schreibe dir x1, x2 und x3 untereinander.

Nun vertauschst du die Reihenfolge, sodass t hinten steht. Bei x3 gibt es nur t, das ist aber das gleiche wie 0 plus 1t. Und nun stellst du damit eine Geradengleichung in Punktrichtungsform auf.

Für x1, x2 und x3 schreibst du Vektor x. Aus diesen drei Zahlen wird der Punktvektor oder auch Stützvektor genannt. Dann kommt Plus t und aus den Zahlen vor dem t wird der Richtungsvektor. Dahinter schreibst du, wie bei der Lösung des Gleichungssystems, t Element r. Das ist die Gleichung der Schnittgerade in Punktrichtungsform.

Lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen

Manchmal hat ein LGS mehr Variablen als Gleichungen. Dann kann es keine eindeutige Lösung geben. Der Rechenweg ist dann wie bei einem LGS mit unendlich vielen Lösungen. In diesem Video rechne ich dir ein Beispiel dazu vor.

Lösungsbeschreibung

Manchmal hat ein lineares Gleichungssystem mehr Variablen als Gleichungen. In diesem Video zeige ich dir, wie du solche Gleichungssysteme löst. Dieses Gleichungssystem hat drei Variablen, aber nur zwei Gleichungen.

Solche Gleichungssysteme sind von vornherein nicht eindeutig lösbar. Der Rechenweg ist genauso wie bei einem Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen. Wenn du das zugehörige Video gesehen hast, wird dir dieses Beispiel bekannt vorkommen.

Den Übergang zur Matrix-Schreibweise kannst du dir aber sparen. Setze eine der Variablen, am besten x3, gleich t. t steht für eine beliebige reelle Zahl. x1 und x2 hängen dadurch auch von t ab.

Das heißt, die Variable t wird dort auch vorkommen. Nun setzt du wie üblich x3 in die zweite Gleichung ein. Dazu schreibst du die zweite Gleichung ab und schreibst statt x3 t. Löse nun nach x2 auf.

Rechne plus 12t und teile anschließend durch 6. Nun kannst du noch die Reihenfolge tauschen, weil das so üblich ist. Und schon hast du x2 bestimmt. Als nächstes setzt du x2 und x3 in die erste Gleichung ein und bestimmst x1.

Hier setzt du für x2 2t plus 1 halb ein. Und hier setzt du für x3 t ein. Löse nun nach x1 auf.

Multipliziere dazu zuerst die Klammer aus. Minus 2 mal 2t sind minus 4t. Und minus 2 mal 1 halb ist minus 1. Minus 4t minus t sind minus 5t.

Bringe nun die 1 rüber und nun die 5t. Nun hast du x1 bestimmt. Auch hier kannst du die Reihenfolge ändern, damit die 5t zuerst kommen.

Nun schreibst du die Lösung auf. Zuerst kommt x1, dann x2 und zum Schluss x3. Dahinter schreibst du, was man für t einsetzen darf.

Für t darf man eine beliebige reelle Zahl einsetzen, also t Element r. Da es unendlich viele reelle Zahlen gibt, hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Möchtest du eine konkrete Lösung angeben, setzt du für t einfach eine Zahl, wie zum Beispiel 1, ein. Kurz zur geometrischen Interpretation.

Diese beiden Gleichungen beschreiben jeweils eine Ebene im Raum. Die Lösung des Gleichungssystems ist die Schnittgerade dieser Ebenen. Weitere Lagebeziehungen zweier Ebenen werden ausführlich in der analytischen Geometrie behandelt.

Vielen Dank.