Winkel und Schnittwinkel

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• Winkel zwischen zwei Vektoren
• Schnittwinkel zweier Geraden
• Schnittwinkel von Gerade und Ebene
• Schnittwinkel zweier Ebenen

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel zwischen 2 Vektoren kann maximal 180° betragen und ein Schnittwinkel maximal 90°. Mit dieser einfachen Formel berechnest du den Winkel zwischen 2 Vektoren:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u und v. Damit ist dieser Winkel gemeint, also immer der kleinere und nicht etwa der Winkel außenrum.

Somit kann der Winkel zwischen zwei Vektoren maximal 180° betragen. Um Alpha zu berechnen, gibt es eine einfache Formel. Damit erhältst du ohne nachzudenken den richtigen Winkel.

Diese Formel siehst du hier. Du brauchst also die beiden Vektoren u und v und jeweils ihren Betrag. Hier siehst du nochmal die Vektoren aus der Aufgabe.

Der Betrag von Vektor u ist dann die Wurzel aus 1² plus –2² plus 2² 1² ist 1, –2² ist 4 und 2² ist auch 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Wenn hier keine glatte Zahl rauskommt, lass einfach die Wurzel stehen. Genauso berechnest du den Betrag von Vektor v. Das ist dann die Wurzel aus 2² plus 3² plus 6². 2² ist 4, 3² ist 9 und 6² ist 36.

36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49. Die Wurzel daraus ist 7. Nun kannst du alles hier einsetzen. Das machen wir auf der nächsten Seite.

Hier siehst du nochmal die Vektoren u und v und ihre Beträge, die du gerade berechnet hast. Jetzt setzt du in die Formel ein. Vektor u ist das, Vektor v ist das, der Betrag von Vektor u ist 3 und der Betrag von Vektor v ist 7. 3 mal 7 ist 21.

Nun musst du noch das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren bilden. Das ist 1 mal 2 plus minus 2 mal 3 plus 2 mal 6. 1 mal 2 ist 2, plus mal minus ergibt minus und 2 mal 3 ist 6 und 2 mal 6 ist 12. 2 minus 6 ist minus 4 und minus 4 plus 12 ist 8. Da du nicht Cosinusalpha, sondern Alpha wissen möchtest, nimmst du nun die Umkehrfunktion.

Alpha ist Cosinus hoch minus 1 von dieser Zahl. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 67,6 Grad. Achte darauf, dass auf deinem Taschenrechner Gradmaß eingestellt ist und nicht Bogenmaß.

Gradmaß erkennst du im Display an einem d oder deg für das englische Wort degree. Bogenmaß erkennst du an einem r oder der Abkürzung rad. Hier siehst du noch mal die Vektoren in einem Koordinatensystem.

Der eingeschlossene Winkel beträgt 67,6 Grad, obwohl er fast wie ein rechter Winkel aussieht. Das liegt an der räumlichen Perspektive. Die grünen Linien helfen dir, es dir besser vorzustellen.

Zum Schluss möchte ich dir kurz zeigen, woher die Formel zur Winkelberechnung eigentlich kommt. Das Skalarprodukt Vektor u mal Vektor v ist definiert als der Betrag von Vektor u mal den Betrag von Vektor v mal den Kosinus des eingeschlossenen Winkels α. Diese Definition wird nur fast nie gebraucht. Teilst du durch die Beträge, steht Kosinus allein auf einer Seite.

Kosinus α ist dann Vektor u mal Vektor v durch Betrag von u mal Betrag von Vektor v. Das ist genau die Formel, die wir vorhin benutzt haben. Die Formel ist also abgeleitet von der Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren.

Schnittwinkel zweier Geraden

Der Schnittwinkel ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Für diesen gibt es eine einfache Formel, für die du die Richtungsvektoren der Geraden brauchst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Schnittwinkel zweier Geraden berechnest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Die Geraden G und H schneiden sich.

Berechne ihren Schnittwinkel. Damit ist dieser Winkel gemeint. Also immer der kleinere und nicht dieser Winkel.

Somit kann der Schnittwinkel maximal 90° betragen. Der Winkel gegenüber ist natürlich genauso groß. Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren U und V der Geraden.

Und Winkel zwischen Vektoren berechnen kannst du ja schon. Dennoch gibt es einen kleinen Unterschied in der Formel. Den zeige ich dir gleich.

Hier siehst du die Formel. Du brauchst also die beiden Richtungsvektoren U und V und jeweils ihren Betrag. Außerdem nimmst du hier oben noch den Betrag.

Das ist der Unterschied zur Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren. Durch den Betrag ist sichergestellt, dass der Winkel, der rauskommt, nur von 0 bis 90° gehen kann. Das waren die Geradengleichungen aus der Aufgabe.

Vektor U ist das und Vektor V ist das. Der Betrag von Vektor U ist dann die Wurzel aus 1² plus –2² plus 2². 1² ist 1, –2² ist 4 und 2² ist auch 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Wenn hier keine glatte Zahl rauskommt, dann lass einfach die Wurzel stehen.

Genauso berechnest du den Betrag von Vektor V. Das ist dann die Wurzel aus 2² plus 3² plus 6². 2² ist 4, 3² ist 9 und 6² ist 36. 36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49.

Die Wurzel daraus ist 7. Nun kannst du alles hier einsetzen. Das machen wir auf der nächsten Seite. Hier siehst du nochmal die Vektoren U und V und ihre Beträge, die du berechnet hast.

Jetzt setzt du in die Formel ein. Vektor U ist das, Vektor V ist das, der Betrag von Vektor U ist 3 und der Betrag von Vektor V ist 7. 3 mal 7 ist 21. Nun musst du noch das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren bilden.

Das ist 1 mal 2 plus minus 2 mal 3 plus 2 mal 6. 1 mal 2 ist 2. Plus mal Minus ergibt Minus Und 2 mal 3 ist 6. Und 2 mal 6 ist 12. 2 minus 6 ist Minus 4 und Minus 4 plus 12 ist 8. Der Betrag von 8 ist auch 8. Würde hier Minus 8 rauskommen, dann wäre der Betrag ebenfalls 8. Bei negativen Zahlen würdest du einfach das Minus weglassen. Da du nicht Cosinus Alpha, sondern Alpha wissen möchtest, nimmst du nun die Umkehrfunktion.

Alpha ist Cosinus hoch Minus 1 von dieser Zahl. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 67,6 Grad. Achte darauf, dass auf deinem Taschenrechner Gradmaß eingestellt ist und nicht Bogenmaß.

Gradmaß erkennst du im Display an einem D oder DEG für das englische Wort degree. Bogenmaß erkennst du an einem R oder der Abkürzung Rad. Der Schnittwinkel der beiden Geraden beträgt also 67,6 Grad, obwohl er fast wie ein rechter Winkel aussieht.

Das liegt an der räumlichen Perspektive. Die grünen Linien helfen dir, es dir besser vorzustellen.

Schnittwinkel von Gerade und Ebene

Für diesen Schnittwinkel gibt es eine einfache Formel, für die du einen Richtungsvektor der Gerade und einen Normalenvektor der Ebene brauchst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene berechnest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Berechne den Schnittwinkel der Geraden G mit der Ebene E. Das ist der Schnittpunkt.

Mit Schnittwinkel ist dieser Winkel zwischen Gerade und Ebene gemeint. Am besten denkst du dir dazu eine Gerade G'. Diese entsteht, wenn du von der Gerade G senkrecht runter auf die Ebene gehst.

Der Winkel zwischen diesen beiden Geraden ist der gesuchte Schnittwinkel. Um diesen zu berechnen, brauchst du einen Richtungsvektor der Geraden und einen normalen Vektor der Ebene. Diese setzt du einfach in diese Formel ein.

Außerdem brauchst du noch die Beträge dieser beiden Vektoren. Das waren die Gleichungen aus der Aufgabe. Vektor U ist das und Vektor N ist das.

Der Betrag von Vektor U ist dann die Wurzel aus 0 zum Quadrat plus 3 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat. 0 zum Quadrat ist 0, das kannst du gleich weglassen. 3 zum Quadrat ist 9 und 4 zum Quadrat ist 16.

9 plus 16 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Wenn hier keine glatte Zahl rauskommt, lass einfach die Wurzel stehen. Genauso berechnest du den Betrag von Vektor N. Das ist dann die Wurzel aus 0 zum Quadrat plus 0 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat. 0 zum Quadrat ist jeweils 0. Quadrieren und Wurzel ziehen heben sich gegenseitig auf, sodass hier 2 rauskommt.

Nun kannst du alles hier einsetzen. Das machen wir auf der nächsten Seite. Hier siehst du noch mal die Vektoren U und N und ihre Beträge, die du gerade berechnet hast.

Jetzt setzt du in die Formel ein. Vektor U ist das, Vektor N ist das, der Betrag von Vektor U ist 5 und der Betrag von Vektor N ist 2. 5 mal 2 ist 10. Nun musst du noch das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren bilden.

Das ist 0 mal 0 plus 3 mal 0 plus 4 mal 2. Das ist alles 0 und 4 mal 2 ist 8. Der Betrag von 8 ist auch 8. Würde hier minus 8 rauskommen, dann wäre der Betrag ebenfalls 8. Bei negativen Zahlen würdest du einfach das Minus weglassen. Wenn du magst, kannst du noch durch 2 kürzen. Das macht 4 Fünftel.

Da du nicht Sinus-Alpha, sondern Alpha wissen möchtest, nimmst du nun die Umkehrfunktion. Alpha ist Sinus hoch minus 1 von dieser Zahl. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 53,1 Grad.

Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist und nicht auf Bogenmaß. Gradmaß erkennst du im Display an einem D oder D.E.G. für das englische Wort degree. Bogenmaß erkennst du an einem R oder der Abkürzung Rad.

Der Schnittwinkel, also der Winkel zwischen Gerade und Ebene, beträgt 53,1 Grad.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Für diesen Schnittwinkel gibt es eine einfache Formel, für die du Normalenvektoren der Ebenen brauchst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Schnittwinkel zweier Ebenen berechnest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Berechne den Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2.

Damit ist dieser Winkel gemeint. Die normalen Vektoren stehen jeweils senkrecht auf der Ebene. Deshalb muss der Winkel dazwischen genauso groß sein wie der gesuchte Winkel.

Um den Schnittwinkel der Ebenen zu berechnen, brauchst du also nur die normalen Vektoren. Diese setzt du einfach in diese Formel ein. Außerdem brauchst du noch die Beträge der normalen Vektoren.

Das waren die Gleichungen aus der Aufgabe. Bei einer Gleichung in normalen Form findest du den normalen Vektor hier. Das ist also Vektor N2.

Bei einer Gleichung in Koordinatenform nimmst du die Zahlen vor den x-Koordinaten. Die zweite Koordinate ist –3 und die dritte Koordinate ist 4. Da x1 fehlt, muss an dieser Stelle eine 0 stehen. Das ist ein normaler Vektor der ersten Ebene.

Der Betrag von Vektor N1 ist dann die Wurzel aus 0²±3²±4². 0² ist 0, das kannst du gleich weglassen. –3² ist 9 und 4² ist 16.

9 plus 16 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Wenn hier keine glatte Zahl rauskommt, lass einfach die Wurzel stehen. Genauso berechnest du den Betrag von Vektor N2. Das ist dann die Wurzel aus 0²±0²±2².

0² ist jeweils 0. Quadrier- und Wurzelziehen heben sich gegenseitig auf, sodass hier 2 rauskommt. Nun kannst du alles hier einsetzen. Das machen wir auf der nächsten Seite.

Hier siehst du nochmal die normalen Vektoren und ihre Beträge, die du berechnet hast. Jetzt setzt du in die Formel ein. Vektor N1 ist das, Vektor N2 ist das, der Betrag von Vektor N1 ist 5 und der Betrag von Vektor N2 ist 2. 5 mal 2 ist 10.

Nun musst du noch das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren bilden. Das ist 0 mal 0 plus –3 mal 0 plus 4 mal 2. Das ist alles 0 und 4 mal 2 ist 8. Der Betrag von 8 ist auch 8. Wenn du magst, kannst du noch durch 2 kürzen. Das macht 4 Fünftel.

Da du nicht Cosinus-Alpha, sondern Alpha wissen möchtest, nimmst du nun die Umkehrfunktion. Alpha ist Cosinus hoch –1 von dieser Zahl. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du 36,9°.

Achte darauf, dass auf deinem Taschenrechner Gradmaß eingestellt ist und nicht Bogenmaß. Gradmaß erkennst du im Display an einem D oder DEG für das englische Wort degree. Bogenmaß erkennst du an einem R oder der Abkürzung Rad.

Der Schnittwinkel beträgt also 36,9°.