Abstände berechnen

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• Abstand zweier Punkte
• Abstand eines Punktes von einer Ebene / Mit einer Formel / Formel für Normalenform
• Formel für Koordinatenform
• Mit Hilfe der Lotgeraden / Lotgeraden-Methode für Normalenform
• Lotgeraden-Methode für Koordinatenform
• Abstand paralleler Ebenen
• Abstand einer Ebene und einer parallelen Geraden
• Abstand eines Punktes von einer Geraden / Mit der Orthogonalitätsbedingung
• Mit einer Hilfsebene
• Abstand paralleler Geraden
• Abstand windschiefer Geraden
• Mit der Orthogonalitätsbedingung
• Mit einer Hilfsebene
• "Umgekehrte" Abstandsaufgaben

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Abstand zweier Punkte

Manchmal gibt es auch mehrere Wege, den Abstand zu berechnen. Nimm dann das Verfahren, das auch dein Lehrer benutzt! Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand von zwei Punkten berechnest. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe. Berechne den Abstand der Punkte A und B. Hier siehst du sie in einem Koordinatensystem.

Die grünen Linien sind Hilfslinien, damit du es dir räumlich besser vorstellen kannst. Mit Abstand ist diese Entfernung gemeint. Sie wird mit d für Distance bezeichnet.

Um den Abstand auszurechnen, stellst du dir den Verbindungsvektor von A nach B vor. Seine Länge entspricht genau dem Abstand der Punkte. Diese Länge ist der Betrag des Vektors.

Also ermittelst du zuerst den Verbindungsvektor von A nach B und berechnest dann seinen Betrag. Das machen wir jetzt. Die Punkte A und B haben diese Koordinaten.

Für den Vektor AB rechnest du die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A jeweils als Vektor geschrieben. Das macht dann Vektor 3, 5, 2 minus Vektor 2, 3, 4. 3 minus 2 ist 1. 5 minus 3 ist 2. Und 2 minus 4 ist minus 2. Das ist der Vektor AB. Hier siehst du ihn nochmal.

Der Abstand der Punkte A und B ist der Betrag dieses Vektors. Den berechnest du so. Du machst eine Wurzel und dann kommt 1 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat plus minus 2 zum Quadrat.

1 zum Quadrat ist 1. 2 zum Quadrat ist 4. Und minus 2 zum Quadrat ist auch 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9. Und die Wurzel daraus ist 3. Somit beträgt der Abstand D der Punkte A und B drei Längeneinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimeter, dann wäre die rote Linie 3 cm lang.

Abstand eines Punktes von einer Ebene / Mit einer Formel / Formel für Normalenform

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die kleinste Entfernung zur Ebene. Ist die Ebenengleichung in HESSE-Form, gibt es eine einfache Formel, um den Abstand zu berechnen. Die Normalenform und die Koordinatenform lässt sich leicht in die HESSE-Form umwandeln. Eine andere Möglichkeit, den Abstand zu bestimmen, ist mit Hilfe der Lotgeraden. Das ist etwas aufwendiger. Aus der HESSE-Form der Ebenengleichung ergibt sich eine einfache Formel, in die du nur noch die Koordinaten des Punktes einzusetzen brauchst. Hier folgen 2 Videos zu dieser Methode: Einmal mit einer Ebenengleichung in Normalenform und einmal in Koordinatenform. In den Videos siehst du auch, wie du die Ebenengleichungen zunächst in die HESSE-Form umwandelst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest. Dabei ist die Ebenengleichung in normalen Form. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Berechne den Abstand des Punktes R von der Ebene E. In diesem Video machen wir das mithilfe der Hässeform. Alternativ kannst du die Lotgerade benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du dir die Lage räumlich besser vorstellen kannst. Ganz wichtig ist folgendes. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Ebene.

Und diese ist nicht etwa hier, sondern hier. Der Abstand wird mit D für Distance bezeichnet. Diese Strecke ist das Lot von R auf E. Das Lot steht senkrecht auf der Ebene.

So wie ein normalen Vektor. Um D auszurechnen, gibt es eine praktische Formel. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung in normalen Form.

Diese wandelst du als erstes in die Hässeform um. Dazu brauchst du den Betrag des normalen Vektors. Der normale Vektor steht hier.

Der Betrag ist die Wurzel aus Minus 1 zum Quadrat ist 1. Und 2 zum Quadrat ist jeweils 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9. Und die Wurzel aus 9 ist 3. Falls keine glatte Zahl rauskommt, lass einfach die Wurzel stehen. Für die Hässeform schreibst du das ab und setzt vor den normalen Vektor einen Faktor. Dieser Faktor ist immer 1 durch diese Zahl.

Also 1 durch den Betrag des normalen Vektors. Das ist die Hässeform der Ebenengleichung. Hier siehst du sie nochmal.

Für den gesuchten Abstand übernimmst du die linke Seite. Außerdem schreibst du für Vektor x die Koordinaten des Punktes r als Vektor. Also Vektor 0, 2, 8. Das ist der sogenannte Ortsvektor von r. Dann machst du noch Betragsstriche drumrum.

Das ist die Formel, von der ich sprach. Statt d steht hier manchmal auch das, um zu verdeutlichen, dass der Abstand des Punktes r von der Ebene e gemeint ist. Nun rechnest du das einfach aus.

0 minus 0 ist 0. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2. Und das macht 4. Und 8 minus 3 ist 5. Ein Drittel schreibst du ganz nach vorn, weil das besser aussieht. Und diesen Vektor schreibst du einfach ab. Diesen Faktor lässt du erstmal stehen.

Und dann bildest du das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren. 0 mal minus 1 ist 0. Das schreibst du erstmal in Klammern. Dann kommt ein Plus.

4 mal 2 ist 8. Dann kommt wieder ein Plus. Und 5 mal 2 ist 10. 0 plus 8 plus 10 ist 18.

18 und 3 kürzen sich zu 6. Der Betrag davon ist auch 6. Würde hier minus 6 stehen, dann wäre der Betrag ebenfalls 6. Bei negativen Zahlen würdest du einfach das Minus weglassen. Der Abstand d des Punktes R von der Ebene E beträgt 6 Längeneinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Formel für Koordinatenform

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest. Dabei ist die Ebenengleichung in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Berechne den Abstand des Punktes R von der Ebene E. In diesem Video machen wir das mithilfe der Hesseform. Alternativ kannst du die Lotgerade benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du dir die Lage räumlich besser vorstellen kannst. Ganz wichtig ist folgendes. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Ebene.

Und diese ist nicht etwa hier, sondern hier. Der Abstand wird mit d für Distance bezeichnet. Diese Strecke ist das Lot von R auf E. Das Lot steht senkrecht auf der Ebene.

So wie ein normalen Vektor. Um d auszurechnen, gibt es eine praktische Formel. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Diese wandelst du als erstes in die Hesseform um. Dazu bringst du erstmal die 2 rüber. Dann steht hier minus 2 und hier 0. Nun schreibst du das ab und machst auf der linken Seite einen Bruchstrich.

Darunter kommt der Betrag des normalen Vektors. Der normale Vektor hat die Koordinaten minus 1, 2, 2. Für den Betrag machst du eine Wurzel und quadrierst die Koordinaten. Minus 1 zum Quadrat ist 1. Dann kommt ein Plus.

2 zum Quadrat ist 4. Dann kommt wieder ein Plus. Und 2 zum Quadrat ist nochmal 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9. Und die Wurzel aus 9 ist 3. Falls hier keine glatte Zahl rauskommt, lass einfach die Wurzel stehen. Das ist die Hesseform der Ebenengleichung.

Hier siehst du sie nochmal. Für den gesuchten Abstand schreibst du die linke Seite ab und setzt für x1, x2 und x3 die Koordinaten des Punktes R ein. Minus x1 ist dann minus 0, also einfach 0. x2 ist 2 und x3 ist 8. Dann machst du noch Betragsstriche drumrum.

Das ist die Formel, von der ich sprach. Statt d steht hier manchmal auch das, um zu verdeutlichen, dass der Abstand des Punktes R zur Ebene E gemeint ist. Nun rechnest du das einfach aus.

0 kannst du weglassen. 2 mal 2 ist 4 und 2 mal 8 ist 16. 4 plus 16 ist 20 und 20 minus 2 ist 18.

18 und 3 kürzen sich zu 6. Der Betrag davon ist auch 6. Würde hier minus 6 stehen, dann wäre der Betrag ebenfalls 6. Bei negativen Zahlen würdest du einfach das Minus weglassen. Der Abstand des Punktes R von der Ebene E beträgt somit 6 Längeneinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Mit Hilfe der Lotgeraden / Lotgeraden-Methode für Normalenform

Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene und verläuft durch den gegebenen Punkt R. Der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene heißt Lotfußpunkt. Der Abstand von R zum Lotfußpunkt entspricht dem Abstand von R zur Ebene. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte. Hier folgen 2 Videos zu dieser Methode: Einmal mit einer Ebenengleichung in Normalenform und einmal in Koordinatenform.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest. Dabei ist die Ebenengleichung in normalen Form. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Berechne den Abstand des Punktes R von der Ebene E. In diesem Video machen wir das mithilfe einer Geraden, der Lotgeraden. Alternativ kannst du die Hesseform benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du dir die Lage räumlich besser vorstellen kannst. Ganz wichtig ist folgendes. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Ebene.

Und diese ist nicht etwa hier, sondern hier. Der Abstand wird mit D für Distance bezeichnet. Diese Strecke ist das Lot von R auf E. Das Lot steht senkrecht auf der Ebene.

Das ist die zugehörige Lotgerade. Sie verläuft durch den Punkt R und schneidet die Ebene senkrecht in einem Punkt F. Das ist der sogenannte Lotfußpunkt. Wenn du diesen Punkt kennen würdest, könntest du einfach den Abstand von F und R ausrechnen.

Wie das geht, weißt du ja schon. Und damit hättest du gleichzeitig den Abstand von R zur Ebene E bestimmt. Genau das werden wir jetzt machen.

Wir brauchen also erstmal den Punkt F. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Koordinaten von R. Diese übernimmst du als Stützvektor für die Lotgerade. Das ist dein Vektor 0,2,8. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene.

Ein normalen Vektor auch. Deshalb kannst du diesen auch als Richtungsvektor für die Gerade nehmen. Der normalen Vektor steht hier.

Und diesen überträgst du jetzt einfach. Das ist die Gleichung der Lotgeraden. Als nächstes berechnest du den Punkt F. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabe und die Geradengleichung, die du selbst aufgestellt hast.

Hier steht Vektor x und hier steht Vektor x. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das auch hier drüben für Vektor x einsetzen. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen.

0 minus 0 ist 0. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2. Und das macht 4. Und 8 minus 3 ist 5. Das schreibst du wieder ab. Und der Rest bleibt auch gleich. Nun multiplizierst du aus.

Erstmal multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Machen wir das mal.

0 mal minus 1 ist 0. Dann kommt ein Plus. 4 mal 2 ist 8. Dann kommt wieder ein Plus. Und 5 mal 2 ist 10.

Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer. Minus 1 mal minus 1 ist 1. Dann kommt wieder ein Plus. 2 mal 2 ist 4. Dann kommt wieder ein Plus.

Und 2 mal 2 ist wieder 4. Jetzt fasst du zusammen. 0 plus 8 plus 10 ist 18. 1 plus 4 plus 4 ist 9. Das macht also 9T.

Hier überträgst du die 0. Nun löst du nach T auf. Bringe die 18 rüber und teile nun durch 9. Das ergibt T gleich minus 2. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Für T hast du gerade minus 2 rausbekommen.

Setzt du das hier ein, erhältst du den Lotfußpunkt. Plus mal Minus ergibt Minus. Also kannst du hierfür gleich minus 2 schreiben.

Jetzt rechnest du. Minus 2 mal minus 1 ist 2. Und 0 plus 2 ist 2. Minus 2 mal 2 ist minus 4. Und 2 minus 4 ist minus 2. Minus 2 mal 2 ist wieder minus 4. Und 8 minus 4 ist 4. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Dafür schreibst du hier Vektor f statt Vektor x. Der Lotfußpunkt f hat die gleichen Koordinaten.

Also 2 minus 2 ist 4. Das ist dieser Punkt. Hier siehst du nochmal den Punkt r aus der Aufgabe und den Punkt f, den du gerade selbst berechnet hast. Als nächstes bestimmst du den Verbindungsvektor von f zu r oder umgekehrt von r zu f. Das spielt keine Rolle.

Ich nehme jetzt mal den Vektor von f zu r. Dafür rechnest du die Koordinaten von r als Vektor geschrieben minus die Koordinaten von f als Vektor geschrieben. Also Vektor 0 2 8 minus Vektor 2 minus 2 4. 0 minus 2 ist minus 2. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2 und das macht 4. Und 8 minus 4 ist 4. Das ist der Vektor f, r. Der gesuchte Abstand d ist genau der Betrag dieses Vektors. Und das ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat.

Minus 2 zum Quadrat ist 4 und 4 zum Quadrat ist jeweils 16. 4 plus 16 ist 20 und 20 plus 16 ist 36. Die Wurzel daraus ist 6. Der Abstand d des Punktes r von der Ebene e beträgt somit 6 Längeneinheiten.

Wäre die Einteilung z.B. in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Lotgeraden-Methode für Koordinatenform

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnest. Dabei ist die Ebenengleichung in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Berechne den Abstand des Punktes R von der Ebene E. In diesem Video machen wir das mithilfe einer Geraden, der Lotgeraden. Alternativ kannst du die Hesseform benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du dir die Lage räumlich besser vorstellen kannst. Ganz wichtig ist folgendes. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Ebene.

Und diese ist nicht etwa hier, sondern hier. Der Abstand wird mit D für Distance bezeichnet. Diese Strecke ist das Lot von R auf E. Das Lot steht senkrecht auf der Ebene.

Das ist die zugehörige Lotgerade. Sie verläuft durch den Punkt R und schneidet die Ebene senkrecht in einem Punkt F. Das ist der sogenannte Lotfußpunkt. Wenn du diesen Punkt kennen würdest, könntest du einfach den Abstand von F und R ausrechnen.

Wie das geht, weißt du ja schon. Und damit hättest du gleichzeitig den Abstand von R zur Ebene E bestimmt. Genau das werden wir jetzt machen.

Wir brauchen also erstmal den Punkt F. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Koordinaten von R. Diese übernimmst du als Stützvektor für die Lotgerade. Das ist dein Vektor 0, 2, 8. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene. Ein normalen Vektor auch.

Deshalb kannst du diesen auch als Richtungsvektor für die Gerade nehmen. Die Koordinaten dieses normalen Vektors sind minus 1, 2, 2. Der Richtungsvektor ist also minus 1, 2, 2. Das ist eine Gleichung der Lotgeraden G. Als nächstes berechnest du den Punkt F. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabe und die Geradengleichung, die du selbst aufgestellt hast. Vektor X ist ja X1, X2 und X3.

Das bedeutet, X1 ist 0 minus einmal T. Also einfach minus T. X2 ist 2 plus 2T und X3 ist 8 plus 2T. Das setzt du nun hier für X1, X2 und X3 ein. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei X1 durch minus T, X2 durch das und X3 durch das.

Nun vereinfachst du. Minus minus T ist T. 2 mal 2 ist 4 und 2 mal 2T sind 4T. 2 mal 8 ist 16 und 2 mal 2T sind 4T.

T plus 4T sind 5T und 5T plus 4T sind 9T. 4 plus 16 ist 20. Bringe nun die 20 rüber.

2 minus 20 ist minus 18. Teile nun durch 9. Das ergibt T gleich minus 2. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Für T hast du gerade minus 2 rausbekommen.

Setzt du das hier ein, erhältst du den Lotfußpunkt F. Plus mal Minus ergibt Minus. Also kannst du hierfür gleich minus 2 schreiben. Jetzt rechnest du.

Minus 2 mal minus 1 ist 2 und 0 plus 2 ist 2. Minus 2 mal 2 ist minus 4 und 2 minus 4 ist minus 2. Minus 2 mal 2 ist wieder minus 4 und 8 minus 4 ist 4. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Dafür schreibst du hier Vektor F statt Vektor X. Der Lotfußpunkt F hat die gleichen Koordinaten, also 2 minus 2, 4. Das ist dieser Punkt. Hier siehst du nochmal den Punkt R aus der Aufgabe und den Punkt F, den du gerade selbst berechnet hast.

Als nächstes bestimmst du den Verbindungsvektor von F zu R oder umgekehrt von R zu F. Das spielt keine Rolle. Ich nehme jetzt mal den Vektor von F zu R. Dafür rechnest du Ende minus Anfang. Also die Koordinaten von R minus die Koordinaten von F, jeweils als Vektor geschrieben.

Das macht dann Vektor 0, 2, 8 minus Vektor 2, minus 2, 4. 0 minus 2 ist minus 2. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2 und das macht 4. Und 8 minus 4 macht auch 4. Das ist der Vektor F, R. Der gesuchte Abstand d ist genau der Betrag dieses Vektors. Und das ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4 und 4 zum Quadrat ist jeweils 16.

4 plus 16 ist 20 und 20 plus 16 ist 36. Die Wurzel daraus ist 6. Der Abstand d des Punktes R von der Ebene E beträgt somit 6 Längeinheiten. Wäre die Einteilung zum Beispiel in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Abstand paralleler Ebenen

Der Abstand von 2 parallelen Ebenen E und F ist der Abstand eines beliebigen Punktes der Ebene E von der Ebene F.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand zweier paralleler Ebenen bestimmst. In diesem Beispiel sind die Ebenen E und F parallel. Ihr Abstand ist einfach der Abstand eines beliebigen Punktes der Ebene E zur Ebene F. Aber wie findest du jetzt so einen beliebigen Punkt? Ist die Ebenengleichung in Punktrichtungsform, dann nimmst du dafür diesen Stützvektor.

Schreibe seine Koordinaten einfach als Punkt auf. Der Abstand von E und F entspricht dem Abstand dieses Punktes zur Ebene F. Hier liegt der Punkt P. Nun berechnest du also diesen Abstand, wie ich es dir in den anderen Videos gezeigt habe. Ist die Ebenengleichung in normalen Form, findest du den Stützvektor hier.

Übernimm einfach seine Koordinaten und du hast einen Punkt, der in der Ebene E liegt. Ist die Ebenengleichung in Koordinatenform, musst du ein bisschen rechnen. Zwei Koordinaten suchst du dir selbst aus und die dritte berechnest du.

Dabei machst du es dir so einfach wie möglich. Nimm zum Beispiel für x1 und x2 0. Dann ist das alles 0 und du brauchst nur noch x3 auszurechnen. Denn 4 mal x3 muss nun 40 ergeben.

4 mal 10 ist 40. Also ist x3 10. Damit hast du den Punkt 0, 0, 10, der in der Ebene E liegt.

Abstand einer Ebene und einer parallelen Geraden

Ihr Abstand ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf der Gerade von der Ebene.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand einer Ebene und einer parallelen Geraden bestimmst. Hier siehst du eine Ebene E und eine Gerade G, die parallel dazu verläuft. Ihr Abstand ist einfach der Abstand eines beliebigen Punktes auf G von der Ebene E. Hier siehst du eine Gleichung der Geraden G. Ein Punkt, der auf der Geraden liegt, liefert dir der Stützvektor.

Schreibe seine Koordinaten einfach als Punkt auf. Der Abstand von G und E entspricht dem Abstand dieses Punktes von der Ebene E. Hier liegt der Punkt P. Nun berechnest du also diesen Abstand, wie ich es dir in den anderen Videos gezeigt habe.

Abstand eines Punktes von einer Geraden / Mit der Orthogonalitätsbedingung

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die kleinste Entfernung zur Gerade. Um diese zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten: Die Orthogonalitätsbedingung oder eine Hilfsebene. Hierbei fällst du das Lot des Punktes R auf die Gerade und berechnest den Abstand von R zum Lotfußpunkt. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte. Um den Lotfußpunkt bestimmen zu können, brauchst du die sogenannte Orthogonalitätsbedingung: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, sind sie zueinander orthogonal.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest. Dazu nehme ich die Methode des laufenden Punktes. Alternativ kannst du eine Hilfsebene benutzen.

Das zeige ich dir in einem anderen Video. Die Aufgabe lautet, berechne den Abstand des Punktes R von der Geraden G. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Geraden G und wird mit D für Distance bezeichnet. Die kürzeste Entfernung hast du dann, wenn hier genau ein rechter Winkel ist.

Diese Strecke ist das Lot von R auf G und dieser Punkt wird Lotfußpunkt genannt. Das Problem ist, dass du nicht genau weißt, wo auf der Geraden F sein muss. Du musst also erstmal die Koordinaten von F herausfinden.

Wenn du das geschafft hast, sollte der Rest bekannt sein. Du bestimmst dann den Verbindungsvektor von F zu R und berechnest seinen Betrag. Denn sein Betrag ist genau der gesuchte Abstand.

Jetzt müssen wir also erstmal F herausfinden. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Dieser entnimmst du die Koordinaten für den Punkt F. Vorläufig steht da noch der Parameter t drin.

Denn den genauen Punkt können wir noch nicht angeben. Je nachdem, wie man t verändert, verschiebt sich dieser Punkt auf der Geraden. Deshalb nennt man das auch die Methode des laufenden Punktes.

Vektor x ist ja x1, x2 und x3. x1 ist somit 2 plus 0t, also einfach 2. x2 ist 6 plus 2t. Und x3 ist minus 4 minus 2t.

Hier sind nochmal die Koordinaten von R. Damit kannst du nun schon den Verbindungsvektor von F zu R angeben. Dieser ist dann zwar auch noch nicht eindeutig, weil darin t vorkommt, aber er hilft dir weiter. Du könntest auch umgekehrt den Vektor von R zu F bilden.

Das spielt keine Rolle. Für den Vektor von F zu R rechnest du die Koordinaten von R minus die Koordinaten von F jeweils als Vektor geschrieben. Also Vektor 0, 2, 8 minus Vektor 2, 6 plus 2t und minus 4 minus 2t.

0 minus 2 ist minus 2. 2 minus 6 ist minus 4. Und dann kommen minus 2t dazu. 8 minus minus 4 ist das gleiche wie 8 plus 4. Und das macht 12. Und minus minus 2t sind plus 2t.

Das ist der Vektor F, R. Nun kommt das Entscheidende. Der Vektor F, R ist senkrecht zur Geraden G. Also senkrecht zu ihrem Richtungsvektor U. Und wenn zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, ist ihr Skalarprodukt 0. Also Vektor U mal Vektor F, R ergibt 0. Statt senkrecht sagt man auch orthogonal. Deshalb wird diese Bedingung auch Orthogonalitätsbedingung genannt.

Diese werden wir jetzt nutzen. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Vektor U ist das.

Und hier siehst du nochmal den Vektor F, R, den du bestimmt hast. Das Skalarprodukt von Vektor U und Vektor F, R muss also 0 ergeben. Mit dieser Bedingung ist es möglich, T auszurechnen.

Das machen wir jetzt. Für Vektor U schreibst du das ab. Und für Vektor F, R schreibst du das ab.

Jetzt bildest du das Skalarprodukt. Das ist dann 0 mal minus 2 plus 2 mal das in Klammern plus minus 2 mal das in Klammern. Nun vereinfachst du.

0 mal minus 2 ist 0, das fällt weg. 2 mal minus 4 ist minus 8 und 2 mal minus 2t sind minus 4t. Minus 2 mal 12 sind minus 24 und minus 2 mal 2t sind minus 4t.

Minus 8 minus 24 ist minus 32. Minus 4t minus 4t sind minus 8t. Rechne nun plus 32.

Und teile nun durch minus 8. Das ergibt T gleich minus 4. Und das kannst du nun in den Vektor F, R einsetzen. Also hier und hier. Das machen wir auf der nächsten Seite.

Du schreibst also das ab und setzt für T jeweils minus 4 ein. Minus 2 mal minus 4 macht plus 8 und minus 4 plus 8 ist 4. 2 mal minus 4 ist minus 8 und 12 minus 8 ist auch 4. Jetzt kennst du also den Vektor F, R. Du könntest jetzt auch den Punkt F genau ausrechnen. Dazu müsstest du hier für T jeweils minus 4 einsetzen.

Aber den Punkt F brauchen wir gar nicht, deshalb lassen wir das. Uns interessiert nur die Länge dieses Vektors und die rechnen wir jetzt aus. Hier siehst du nochmal den Vektor F, R. Der gesuchte Abstand d ist der Betrag dieses Vektors.

Und das ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4 und 4 zum Quadrat ist jeweils 16. 4 plus 16 ist 20 und 20 plus 16 ist 36.

Die Wurzel daraus ist 6. Der Abstand des Punktes R von der geraden G beträgt somit 6 Längeinheiten. Wäre die Einteilung z.B. in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Mit einer Hilfsebene

Hierbei bastelst du dir eine Hilfsebene, die senkrecht zur Gerade ist und den gegebenen Punkt R enthält. Dann bestimmst du den Schnittpunkt von Hilfsebene und Gerade (Lotfußpunkt). Der Abstand von R zum Lotfußpunkt entspricht dem Abstand von R zur Gerade. Letztendlich berechnest du also den Abstand zweier Punkte.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnest. Dabei benutzen wir eine Hilfsebene. Alternativ kannst du die Methode des laufenden Punktes anwenden.

Das zeige ich dir in einem anderen Video. Die Aufgabe lautet, berechne den Abstand des Punktes R von der Geraden G. Der Abstand ist die kürzeste Entfernung zur Geraden und wird mit D für Distance bezeichnet. Die kürzeste Entfernung hast du dann, wenn hier genau ein rechter Winkel ist.

Diese Strecke ist das Lot von R auf G. Und dieser Punkt wird Lotfußpunkt genannt. Das Problem ist, dass du nicht genau weißt, wo auf der Geraden F sein muss. Du musst also erstmal die Koordinaten von F herausfinden.

Wenn du das geschafft hast, sollte der Rest bekannt sein. Du bestimmst dann den Verbindungsvektor von F zu R und berechnest seinen Betrag. Denn sein Betrag ist genau der gesuchte Abstand.

Jetzt müssen wir also erstmal F herausfinden. Dazu denkst du dir eine Hilfsebene, die senkrecht auf der Geraden G steht und durch den Punkt R verläuft. Die Ebene ist hier orange dargestellt.

Da du die Ebene jetzt von der Seite siehst, sieht sie aus wie eine Gerade. Das ist so, als würdest du von der Seite auf die Kante eines Blattpapiers schauen. Die Fläche, auf der man schreibt, könntest du nicht sehen.

Der Punkt F ist der Schnittpunkt dieser Ebene und der Geraden G. Und Schnittpunkte berechnen kannst du schon. Dazu brauchst du aber erstmal eine Gleichung für die Hilfsebene. Da sie senkrecht zur Geraden G ist, ist der Richtungsvektor U der Geraden ein normalen Vektor der Ebene.

Deshalb schreibst du die Ebenengleichung in normalen Form auf. Der Richtungsvektor U ist das. Diesen nimmst du jetzt einfach als normalen Vektor.

Dann brauchst du noch einen Stützvektor, der zu einem Punkt in der Ebene führt. Der Punkt R liegt ja in der Ebene. Also schreibst du seine Koordinaten 0, 2, 8 einfach als Vektor auf.

Fertig ist die Ebenengleichung. Jetzt berechnest du den Schnittpunkt dieser Ebene und dieser Geraden. Das ist dann der Punkt F. Das machen wir auf der nächsten Seite.

Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung, die du selbst aufgestellt hast, und die Geradengleichung aus der Aufgabe. Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das auch hier drüben für Vektor X einsetzen.

Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen. Das schreibst du wieder ab. Und der Rest bleibt auch gleich.

Nun multiplizierst du aus. Erstmal multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor.

Machen wir das mal. 2 mal 0 ist 0. Dann kommt ein Plus. 4 mal 2 ist 8. Dann kommt wieder ein Plus.

Und minus 12 mal minus 2 ist 24. Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer. 0 mal 0 ist 0. Dann kommt wieder ein Plus.

2 mal 2 ist 4. Dann kommt wieder ein Plus. Und minus 2 mal minus 2 ist auch 4. Jetzt fasst du zusammen. 0 plus 8 plus 24 ist 32.

0 plus 4 plus 4 ist 8. Also sind das 8 T. Hier überträgst du die 0. Nun löst du nach T auf. Bringe die 32 rüber und teile nun durch 8. Das ergibt T gleich minus 4. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Für T hast du minus 4 rausbekommen.

Setzt du das hier ein, erhältst du den Schnittpunkt F. Plus mal Minus ergibt Minus. Also kannst du hierfür gleich minus 4 schreiben. Jetzt rechnest du.

4 mal 0 ist 0. Und 2 minus 0 ist 2. Minus 4 mal 2 ist minus 8. Und 6 minus 8 ist minus 2. Minus 4 mal minus 2 macht plus 8. Und minus 4 plus 8 ist 4. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Dafür schreibst du hier Vektor F statt Vektor X. Der Schnittpunkt F hat die gleichen Koordinaten. Also 2 minus 24.

Das ist dieser Punkt. Hier siehst du nochmal den Punkt F, den du berechnet hast, und den Punkt R aus der Aufgabe. Als nächstes bestimmst du den Verbindungsvektor von F zu R. Oder umgekehrt von R zu F, das spielt keine Rolle.

Ich nehme jetzt mal den Vektor von F zu R. Dafür rechnest du die Koordinaten von R als Vektor geschrieben minus die Koordinaten von F als Vektor geschrieben. Also Vektor 028 minus Vektor 2 minus 24. 0 minus 2 ist minus 2. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2. Und das macht 4. Und 8 minus 4 ist auch 4. Das ist der Vektor F, R. Der gesuchte Abstand d ist genau der Betrag dieses Vektors.

Und das ist die Wurzel aus minus 2 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat plus 4 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4. Und 4 zum Quadrat ist jeweils 16. Der Abstand des Punktes R von der geraden G beträgt somit 6 Längeneinheiten.

Wäre die Einteilung z.B. in Zentimetern, dann wäre die rote Linie 6 cm lang.

Abstand paralleler Geraden

Der Abstand von 2 parallelen Geraden g und h ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf g von der Geraden h.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand zweier paralleler Geraden bestimmst. In diesem Beispiel sind die Geraden G und H parallel. Ihr Abstand ist einfach der Abstand eines beliebigen Punktes auf G von der Geraden H. Hier siehst du eine Gleichung der Geraden G. Ein Punkt, der auf der Geraden liegt, liefert dir der Stützvektor.

Schreibe seine Koordinaten einfach als Punkt auf. Der Abstand der Geraden G und H entspricht dem Abstand dieses Punktes von der Geraden H. Hier liegt der Punkt P. Nun berechnest du also diesen Abstand, wie ich es dir in den anderen Videos gezeigt habe.

Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand von 2 windschiefen Geraden g und h ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von g und den Punkten von h. Um diese zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten: Die Orthogonalitätsbedingung oder eine Hilfsebene. In diesem Video beschreibe ich dir beide Methoden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, wie du den Abstand Windschiefergeraden berechnest. Jetzt geht es nur darum, den Lösungsweg nachzuvollziehen. Beispiele rechne ich dir in den folgenden Videos vor.

Windschiefergeraden sind weder parallel noch schneiden sie sich. Hier siehst du zwei Windschiefergeraden. Die Gerade G verläuft parallel zur x2-Achse in dieser Koordinatebene.

Die Gerade H ist senkrecht dazu, aber schneidet G nicht, sondern verläuft weiter vorn. Die rote Linie verdeutlicht das. Der Abstand zweier Windschiefergeraden G und H ist die kleinste Entfernung zwischen den Punkten von G und den Punkten von H. Der Abstand entspricht hier der Länge der roten Linie.

Das ist der Abstand der Punkte G und H. Hättest du die Koordinaten dieser Punkte, könntest du den Abstand also leicht berechnen. Du kennst die Koordinaten aber nicht. Sie stehen nirgendwo in den Geradengleichungen.

Um den Abstand trotzdem zu bestimmen, hast du zwei Möglichkeiten. Die Orthogonalitätsbedingung oder eine Hilfsebene. Was damit gemeint ist, erkläre ich dir jetzt.

Bei der ersten Möglichkeit gibst du den Verbindungsvektor von G zu H erstmal allgemein an. Allgemein bedeutet, dass darin noch die Parameter r und s vorkommen. Jetzt überlegst du dir folgendes.

Zwischen diesem Vektor und dem Richtungsvektor u der blauen Gerade muss ein rechter Winkel sein. Denn sonst wäre das nicht die kürzeste Verbindung zwischen den beiden Geraden. Vektor u und Vektor gh sind also zueinander orthogonal.

Und das bedeutet, ihr Skalarprodukt ist 0. Damit hast du eine Gleichung, die dir weiterhelfen wird. Genauso ist der Verbindungsvektor aber auch orthogonal zum Richtungsvektor der grünen Geraden. Das bedeutet, Vektor v mal Vektor gh ist auch 0. Das ist eine zweite Gleichung.

Diese beiden Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS. Wenn du das löst, kriegst du für r und s Zahlen raus. Diese kannst du dann in den allgemeinen Vektor gh einsetzen.

Du kennst dann also diesen Vektor. Und jetzt berechnest du einfach seinen Betrag. Der Betrag ist die Länge des Pfeils, also auch der Abstand der Geraden G und H. Das war die Möglichkeit mit der Orthogonalitätsbedingung.

Nun zeige ich dir die zweite Möglichkeit mit einer Hilfsebene. Du willst also den Abstand der Punkte G und H wissen, aber kennst ihre Koordinaten nicht. Jetzt stell dir mal vor, hier gäbe es eine Ebene, die parallel zur grünen Geraden ist.

Und die blaue Gerade liegt in dieser Ebene. Jetzt hat doch jeder Punkt auf der grünen Gerade zu dieser Ebene den gleichen Abstand wie der Punkt H zum Punkt G. Das heißt, du brauchst die Punkte G und H nicht mehr zu kennen. Du brauchst nur noch die Ebene.

Und die kriegst du so. Von der Gerade G kennst du den Stützvektor p und den Richtungsvektor u. Denn die Geradengleichung lautet ja, Vektor x ist Vektor p plus r mal Vektor u. Das kannst du schon mal für die Ebenengleichung übernehmen. Für eine Ebene brauchst du aber noch einen zweiten Richtungsvektor.

Hier siehst du den Richtungsvektor v der grünen Geraden. Da die Ebene ja parallel zu dieser Gerade ist, kannst du den gleichen Richtungsvektor verwenden. Von der zweiten Geradengleichung schreibst du also das ab.

Jetzt hast du eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Der Stützvektor q führt zum Punkt Q auf der Geraden H. Das Ziel ist jetzt, den Abstand dieses Punktes von der Ebene zu berechnen. Denn dieser Abstand ist genauso groß wie dieser Abstand, den wir eigentlich suchen.

In einem anderen Video habe ich dir eine Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene gezeigt. Dazu muss die Ebenengleichung aber in der Hässeform sein. Deshalb wandelst du die Punktrichtungsform nun in die Hässeform um.

Dazu bildest du das Vektorprodukt der Richtungsvektoren u und v. Das ergibt einen normalen Vektor n. Damit kannst du die Gleichung in normalen Formen umwandeln. Hier steht immer Vektor x und hier steht immer eine 0. Hier kommt der Vektor p hin und hier der Vektor n, den du bestimmt hast. Als nächstes berechnest du den Betrag von Vektor n. Dann schreibst du das alles ab und fügst hier einen Faktor ein.

Nämlich 1 durch diesen Betrag. Das ist die Hässeform. Nun nimmst du nur noch die linke Seite und setzt für Vektor x den Stützvektor q ein.

Jetzt rechnest du das aus und nimmst davon den Betrag. Das ist der Abstand dieses Punktes von der Ebene. Und das ist gleichzeitig der gesuchte Abstand der beiden Geraden.

Mit der Orthogonalitätsbedingung

Bei windschiefen Geraden gibt es einen Punkt auf der Geraden g und einen Punkt auf der Geraden h, deren Abstand zueinander minimal ist. Dieser minimale Abstand ist gleichzeitig der Abstand der Geraden. Du weißt aber leider nicht, wo diese Punkte liegen. Du weißt nur, dass der Vektor, der die beiden Punkte verbindet, orthogonal zu den Richtungsvektoren der Geraden sein muss (Orthogonalitätsbedingung). Somit muss das Skalarprodukt jeweils Null sein. Damit kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und der Abstand dieser beiden Punkte berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand von Windschiefengeraden mit der Orthogonalitätsbedingung bestimmst. Alternativ kannst du eine Hilfsebene benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Die Aufgabe lautet, berechne den Abstand der Windschiefengeraden G und H. Auf Schaubildern sieht es meist so aus, als würden sich die Geraden schneiden, auch wenn das nicht der Fall ist. Lass dich davon nicht irritieren, sondern halte dich einfach an die folgenden Schritte. Es gibt einen Punkt auf der Geraden G und einen Punkt auf der Geraden H, deren Abstand zueinander minimal ist.

Dieser Abstand ist auch der Abstand der beiden Geraden. Der Abstand ist der Betrag des Verbindungsvektors. Diesen stellst du jetzt auf.

Hier siehst du nochmal die Gleichung der Geraden G. Vektor X ist der X1, X2 und X3. Der Punkt G hat also folgende Koordinaten. X1 ist 0 plus ein R, also einfach R. X2 ist minus 1 minus ein R, also minus 1 minus R. Und X3 ist 1 plus 0R, also einfach 1. R ist dabei eine bestimmte Zahl, die du noch nicht kennst.

Das gleiche machst du nun für den Punkt H. Das ist die Gleichung der Geraden H. X1 ist 7 plus 2S. X2 ist minus 5 minus 3S. Und X3 ist 4 plus 2S.

S ist dabei ebenfalls eine bestimmte Zahl, die du erst herausfinden musst. Trotzdem kannst du damit schon den Verbindungsvektor von G zu H angeben. Darin kommen dann zwar noch die Parameter R und S vor, aber er hilft dir trotzdem weiter.

Für den Verbindungsvektor rechnest du Ende minus Anfang. Also die Koordinaten von H minus die Koordinaten von G jeweils als Vektor geschrieben. Das macht dann Vektor 7 plus 2S, minus 5 minus 3S und 4 plus 2S minus Vektor R, minus 1 minus R und 1. Jetzt fasst du zusammen und sortierst nach einer bestimmten Reihenfolge.

Erst R, dann S, dann einfache Zahlen. Das macht minus R plus 2S plus 7. Minus minus R ist R. Minus 3S und minus 5 minus minus 1 ist minus 4. 2S und 4 minus 1 ist 3. Jetzt kommt die Orthogonalitätsbedingung. Beginnen wir mit der geraden G. Ihr Richtungsvektor U und der Vektor GH sind zueinander orthogonal.

Somit ist ihr Skalarprodukt 0. Vektor U schreibst du hier aus der geraden Gleichung ab und Vektor GH hast du gerade bestimmt. So bildest du das Skalarprodukt. Einmal das ist einfach das.

Minus einmal das bedeutet, dass sich die Vorzeichen ändern. Aus R minus 3S minus 4 wird dann minus R plus 3S plus 4. Und 0 mal irgendwas ist 0. Das kannst du gleich weglassen. Minus R minus R sind minus 2R.

2S plus 3S sind 5S und 7 plus 4 ist 11. Nun bringst du noch die 11 rüber, damit die Parameter allein auf einer Seite stehen. Jetzt machst du das gleiche für die gerade H. Ihr Richtungsvektor ist Vektor V. Den schreibst du von hier ab.

Vektor GH ist unverändert. Das macht dann 2 mal das in Klammern, minus 3 mal das in Klammern, plus 2 mal das in Klammern. Jetzt vereinfachst du.

Hier multiplizierst du alles mit 2. Das macht minus 2R plus 4S plus 14. Hier multiplizierst du alles mit minus 3. Das macht minus 3R plus 9S plus 12. Und hier multiplizierst du alles mit 2. Das macht 4S plus 6. Minus 2R minus 3R sind minus 5R.

4S plus 9S plus 4S sind 17S. Und 14 plus 12 plus 6 ist 32. Bringe nun die 32 rüber.

Nun bildest du ein Gleichungssystem aus dieser Gleichung und der Gleichung von vorher. Hier siehst du nochmal die beiden Gleichungen. Löst du dieses Gleichungssystem, findest du S und R heraus.

Eliminiere dazu R in der zweiten Gleichung. Dazu multiplizierst du die zweite Gleichung mit 2 und die erste mit minus 5. 5 und minus 2 wäre genauso gut. Minus 2R mal minus 5 sind 10R.

Und minus 5R mal 2 sind minus 10R. 10R minus 10R fällt weg. Das wollten wir ja.

5S mal minus 5 sind minus 25S. 17S mal 2 sind 34S. Und minus 25S plus 34S sind 9S.

Minus 11 mal minus 5 sind 55. Und minus 32 mal 2 sind minus 64. 55 minus 64 ist minus 9. Teile nun durch 9. Das ergibt S gleich minus 1. Das setzt du nun in die erste Gleichung ein, um R auszurechnen.

Schreibst also diese Zeile ab und ersetzt S durch minus 1. 5 mal minus 1 ist minus 5. Die bringst du rüber. Minus 11 plus 5 ist minus 6. Teile nun durch minus 2. Das ergibt R gleich 3. Jetzt nimmst du den Verbindungsvektor und setzt dort für R 3 und für S minus 1 ein. Hier und hier ersetzt du R also durch 3 und hier, hier und hier ersetzt du S durch minus 1. Nun fasst du jede Zeile zusammen.

Das ergibt 2. Das auch. Und das macht 1. Der Abstand der beiden Geraden ist der Betrag dieses Vektors. Und das ist die Wurzel aus 2 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat plus 1 zum Quadrat.

2 zum Quadrat ist jeweils 4. Und 1 zum Quadrat ist 1. 4 plus 4 plus 1 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Der Abstand der Geraden G und H beträgt also 3 Längeneinheiten.

Mit einer Hilfsebene

Hierbei bastelst du dir eine Hilfsebene, die die Gerade g enthält und parallel zur Geraden h ist. Der Abstand dieser Ebene zum Aufpunkt der Gerade h entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden. Diesen Abstand berechnest du mit Hilfe einer einfachen Formel wie oben gezeigt. Zuvor musst du die Gleichung der Hilfsebene aber in Normalenform umwandeln. Den Normalenvektor dafür kannst du mit dem Vektorprodukt oder dem Skalarprodukt bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Abstand von Windschiefengeraden mit einer Hilfsebene berechnest. Alternativ kannst du die Orthogonalitätsbedingungen benutzen. Das zeige ich dir in einem anderen Video.

Die Aufgabe lautet, berechne den Abstand der Windschiefengeraden G und H. Auf Schaubildern sieht es meist so aus, als würden sich die Geraden schneiden, auch wenn das nicht der Fall ist. Lass dich davon nicht irritieren, sondern halte dich einfach an die folgenden Schritte. Als erstes bildest du eine Hilfsebene E. In dieser liegt die Gerade G. Außerdem ist die Ebene parallel zur Geraden H. Hier siehst du nochmal die beiden Geradengleichungen.

Für die Ebenengleichung übernimmst du die Gleichung von Gerade G und S mal den Richtungsvektor von Gerade H. Diese Gleichung beschreibt die gelbe Ebene, die du gerade gesehen hast. Die Gleichung ist in Punktrichtungsform und daher leider ungeeignet. Wandel sie deshalb in die normalen Form um.

Dazu brauchst du einen normalen Vektor. Diesen erhältst du, wenn du das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren bildest. Das machen wir auf der nächsten Seite.

Hier siehst du nochmal die Spannvektoren U und V. Für das Vektorprodukt schreibst du U Kreuz V. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor U zweimal untereinander.

Das gleiche machst du nochmal für Vektor V. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du –1 mal 2. Dann kommt ein Minuszeichen. Und jetzt rechnest du 0 mal –3.

Als nächstes rechnest du 0 mal 2. Dann kommt wieder ein Minus. Und dann rechnest du 1 mal 2. Und für die letzte Zeile rechnest du 1 mal –3. Dann kommt wieder ein Minus.

Und dann rechnest du –1 mal 2. Jetzt fasst du zusammen. –1 mal 2 ist –2. Und 0 mal irgendwas ist 0. 0 mal 2 ist 0. Und 1 mal 2 ist 2. 1 mal –3 ist –3.

–– ergibt Plus. Und 1 mal 2 ist 2. –2 minus 0 ist –2. 0 minus 2 ist ebenfalls –2.

Und –3 plus 2 ist –1. Dieser Vektor ist ein normalen Vektor. Du darfst ihn mit jeder Zahl außer 0 multiplizieren, um dir das Leben leichter zu machen.

Ich würde ihn mit –1 multiplizieren. Dadurch verschwinden die negativen Vorzeichen. Das ist nun unser normalen Vektor.

Den schreibst du hier hin. Außerdem steht bei der normalen Form hier immer eine 0 und hier Vektor x. Von der Punktrichtungsform übernimmst du dann noch den Stützvektor. Der kommt hier hin.

Und schon hast du eine Ebenengleichung in normalen Form. Als nächstes berechnest du den Betrag von Vektor n. Das ist die Wurzel aus 2 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat plus 1 zum Quadrat. 2 zum Quadrat ist jeweils 4. Und 1 zum Quadrat ist 1. 4 plus 4 plus 1 ist 9. Und die Wurzel daraus ist 3. Nun wandelst du die normalen Form in die hesse Form um.

Dazu schreibst du das alles ab und fügst hier einen Faktor ein, nämlich ein Drittel. Dieser Faktor ist immer 1 durch diese Zahl. Also 1 durch den Betrag des normalen Vektors.

Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung in hesse Form und die Gleichung der 2. Geraden. Der Punkt Q mit den gleichen Koordinaten wie dieser Vektor liegt auf der geraden H. Der Abstand dieses Punktes von dieser Ebene entspricht dem gesuchten Abstand der beiden Geraden. Um den Abstand zu berechnen, gibt es eine Formel, die wir jetzt direkt anwenden.

Dazu schreibst du die linke Seite ab und setzt für Vektor x Vektor q ein. Also Vektor 7 minus 5 4. Dann machst du noch Betragsstriche drumherum. Nun rechnest du das einfach aus.

7 minus 0 ist 7. Minus 5 minus minus 1 ist das gleiche wie minus 5 plus 1. Und das macht minus 4. Und 4 minus 1 ist 3. Ein Drittel schreibst du ganz nach vorn, weil das besser aussieht. Und diesen Vektor schreibst du einfach ab. Diesen Faktor lässt du erstmal stehen.

Und dann bildest du das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren. 7 mal 2 ist 14. Das schreibst du erstmal in Klammern.

Minus 4 mal 2 ist minus 8. Und 3 mal 1 ist 3. 14 minus 8 ist 6. Und 6 plus 3 ist 9. 9 und 3 kürzen sich zu 3. Der Betrag davon ist auch 3. Das ist nicht nur der Abstand des Punktes q von der Hilfsebene, sondern auch der Abstand der beiden Geraden g und h. Dieser beträgt also 3 Längeinheiten. Vielen Dank für's Zuschauen!

"Umgekehrte" Abstandsaufgaben

Bei solchen Aufgaben ist der Abstand vorgegeben und gesucht sind Punkte, die diesen Abstand zu einem anderen Punkt haben. Am einfachsten geht das mit einem Einheitsvektor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du umgekehrte Abstandsaufgaben löst. Ein Beispiel dafür ist diese Aufgabe. Gegeben sind die Gerade G und der Punkt P auf G. Ermittle zwei Punkte, die auf G liegen und von P den Abstand 6 haben.

Hier siehst du die Gerade G und den Punkt P darauf. Gesucht sind jetzt zwei Punkte Q1 und Q2, sodass dieser Abstand 6 ist und dieser Abstand 6 ist. Die einfachste Methode, diese Punkte zu bestimmen, ist mit Hilfe eines Einheitsvektors.

Dazu überlegst du dir Folgendes. Das ist der Richtungsvektor U der Geraden. Wenn du diesen normierst, hat er genau die Länge 1. Dieser Vektor wird U0 genannt.

Setzt du diesen Vektor 6 Mal hintereinander an den Punkt P an, dann bist du also 6 Einheiten vom Punkt P entfernt und immer noch auf der Geraden. Dort liegt also einer der gesuchten Punkte. Und dann machst du das gleiche nochmal in die andere Richtung.

Dort liegt dann der Punkt Q2. Du brauchst also erstmal den Vektor U0. Den bekommst du so.

Das ist die Geradengleichung aus der Aufgabe. Und das ist Vektor U. Jetzt findest du erstmal raus, wie lang der überhaupt ist. Dazu berechnest du seinen Betrag.

Das ist die Wurzel aus 1² plus 2² plus 2². 1² ist 1 und 2² ist jeweils 4. 1 plus 4 plus 4 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Ein Pfeil des Richtungsvektors ist also 3 Einheiten lang. Ein Drittel davon ergibt genau die Länge 1. Vektor U0 ist also ein Drittel mal dieser Vektor.

Der Faktor, der hier hin muss, ist immer 1 durch diese Zahl. Und jetzt kannst du auch schon die Punkte Q1 und Q2 ausrechnen. Du startest ja beim Punkt P. Nun schreibst du seine Koordinaten 3, 2, 4 als Vektor.

Daran fügst du nun 6 mal den Vektor U0 an. 6 und 3 kürzen sich zu 2. 2 mal 1 ist 2 und 3 plus 2 ist 5. 2 mal 2 ist 4 und 2 plus 4 ist 6. 2 mal 2 ist wieder 4 und 4 plus 4 ist 8. Das ist der Vektor Q1. Der gesuchte Punkt Q1 hat die gleichen Koordinaten wie dieser Vektor.

Nun bestimmst du noch den Punkt Q2. Dazu schreibst du das gleiche wie hier, aber statt Plus Minus. Denn diesmal willst du die Gerade ja in entgegengesetzter Richtung entlang laufen.

6 und 3 kürzen sich wieder zu 2. 2 mal 1 ist 2 und 3 minus 2 ist 1. 2 mal 2 ist 4 und 2 minus 4 ist minus 2. 2 mal 2 ist wieder 4 und 4 minus 4 ist 0. Der Punkt Q2 hat somit die Koordinaten 1, minus 2, 0. Nun kannst du noch einen passenden Antwortsatz formulieren. Zum Beispiel, diese Punkte Q1 und Q2 liegen auf G und haben vom Punkt P den Abstand 6.