Gegenseitige Lage zweier Ebenen

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• So können zwei Ebenen zueinander liegen
• Ebenengleichungen in Punkt-Richtungsform / Beispiel 1: Identische Ebenen
• Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen
• Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen
• Ebenengleichungen in Punkt-Richtungs- und Koordinatenform / Beispiel 1: Identische Ebenen
• Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen
• Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen
• Ebenengleichungen in Koordinatenform/ Beispiel 1: Identische Ebenen
• Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen
• Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen
• Ebenengleichungen in Normalenform / Beispiel 1: Identische Ebenen
• Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen
• Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

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So können zwei Ebenen zueinander liegen

So findest du heraus, wie zwei Ebenen zueinander liegen. Dabei sind 3 Fälle möglich: Die Ebenen können identisch oder (echt) parallel sein oder sich schneiden. Im letzten Fall ist dann meist auch die Schnittgerade gesucht. Der genaue Lösungsweg hängt von der Form der Ebenengleichungen ab. Deshalb zeige ich dir die entsprechende Rechnung für unterschiedliche Formen (Punkt-Richtungsform, Normalenform und Koordinatenform). Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, stellst du ein lineares Gleichungssystem bzw. eine Gleichung auf und formst diese um. (Nur wenn beide Ebenengleichungen in Normalenform sind, kannst du auch anders vorgehen.) Dabei ergibt sich entweder eine wahre Aussage (Ebenen identisch), eine falsche Aussage (Ebenen parallel) oder eine Gleichung, in der du eine Unbekannte selbst festlegen kannst (Ebenen schneiden sich).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie zwei Ebenen zueinander liegen können. Dabei gibt es drei Fälle. Entweder sind die Ebenen identisch, echt parallel oder sie schneiden sich.

Dabei gibt es einen Schnitt gerade. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, musst du meist ein lineares Gleichungssystem oder eine Gleichung lösen. Das hängt davon ab, in welcher Form die Ebenengleichungen sind.

Nur falls beide in normalen Form sind, geht es auch anders. In diesem Fall führt das LGS bzw. die Gleichung zu einer wahren Aussage.

In diesem Fall führen sie zu einer falschen Aussage. Und in diesem Fall ist ein Parameter frei wählbar. Damit kannst du dann die Schnittgerade bestimmen.

Fürs Verständnis zeige ich dir noch, was mit den normalen Vektoren ist. Bei parallelen Ebenen sind auch die normalen Vektoren parallel. Bei identischen Ebenen logischerweise auch.

Schneiden sich die Ebenen, sind die normalen Vektoren nicht parallel. Hier ist der grüne normalen Vektor etwas nach rechts gekippt im Vergleich zu hier. Copyright WDR 2021

Ebenengleichungen in Punkt-Richtungsform / Beispiel 1: Identische Ebenen

Hierbei setzt du die beiden Ebenen gleich und formst das entstandene Gleichungssystem um. Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer wahren Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen identisch sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in Punktrichtungsform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Die Parameter habe ich R1, S1, R2 und S2 genannt. Üblich sind aber auch R und S und hier R-Sternchen und S-Sternchen oder ganz andere Buchstaben wie U und V. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Setze die Ebenen gleich.

Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung aus der Aufgabe. Davon schreibst du die rechte Seite ab. Und das war die Gleichung der zweiten Ebene.

Auch davon übernimmst du die rechte Seite. Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite. Die beiden bleiben hier.

Die beiden kommen rüber. Da hier jeweils ein Plus steht, rechnest du Minus. Somit hast du drüben Minus das und Minus das.

Dieser Vektor bleibt hier. Und dieser muss rüber. Also rechnest du Minus diesen Vektor.

Nun fasst du die rechte Seite zusammen. 3 minus 0 ist 3. Minus 6 minus Minus 2 ist das gleiche wie Minus 6 plus 2. Und das ist Minus 4. Und 6 minus 3 ist 3. Außerdem ziehst du hier und hier das Minus in den Vektor, damit hier Pluszeichen stehen. Dadurch ändern sich jeweils die Vorzeichen.

Aus 3 minus 2, 2 wird Minus 3, 2, Minus 2. Und aus 3, 4, Minus 1 wird Minus 3, Minus 4, 1. Hier siehst du nochmal, was wir jetzt haben. Das ist eine Gleichung mit vier Unbekannten. Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das drei Gleichungen mit vier Unbekannten.

Also ein Gleichungssystem. Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über. Das spart Zeit und ist übersichtlicher.

Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab. Die erste Spalte steht jetzt für R1. Die zweite für S1.

Die dritte für R2. Und die vierte für S2. Du könntest diese Zeile noch durch 3 teilen und diese durch 2, damit die Zahlen kleiner werden.

Das muss aber nicht sein. Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null.

Das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine Null mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere dazu die dritte Zeile mit minus 3. Das machst du allerdings nur im Kopf.

Und dann addierst du die erste und dritte Zeile und schreibst das Ergebnis hier hin. Machen wir das mal. Einmal minus 3 ist minus 3. Und 3 minus 3 ist 0. Das wollten wir ja.

Minus 1 mal minus 3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. Minus 2 mal minus 3 ist 6. Und minus 3 plus 6 ist 3. Einmal minus 3 ist minus 3. Und minus 3 minus 3 ist minus 6. 3 mal minus 3 ist minus 9. Und 3 minus 9 ist minus 6. Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab. Als nächstes erzeugst du hier eine Null. Aber diesmal mithilfe der zweiten Zeile.

Multipliziere dazu diese Zeile mit 3. Und diese mit minus 2. Minus 3 und 2 würde natürlich auch gehen. Hier kommt wieder eine Null hin. 2 mal 3 ist 6. Und 3 mal minus 2 ist minus 6. Das ergibt zusammen 0, wie gewollt.

Da hier die gleichen Zahlen stehen wie hier. Kommt auch hier 0 raus. Minus 4 mal 3 ist minus 12.

Und minus 6 mal minus 2 ist 12. Minus 12 plus 12 ist 0. Da hier wieder die gleichen Zahlen stehen wie hier. Kommt auch hier 0 raus.

Die letzte Zeile ist jetzt komplett 0. Würdest du sie wieder als gleich umschreiben. Würde dann 0 ist gleich 0 stehen. Also eine wahre Aussage.

Das bedeutet die Ebenen sind identisch. Hier siehst du ein Schaubild. Da die Ebenen identisch sind, siehst du darauf nur eine Ebene.

Diese Ebene wird durch beide Gleichungen beschrieben.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen parallel sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in Punktrichtungsform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Die Parameter habe ich R1, S1, R2 und S2 genannt. Die Bezeichnungen können natürlich auch anders sein.

Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert.

Setze die Ebenen gleich. Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung aus der Aufgabe. Davon schreibst du die rechte Seite ab.

Und das war die Gleichung der zweiten Ebene. Auch davon übernimmst du die rechte Seite. Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite der Gleichung stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite.

Die beiden bleiben hier. Die beiden kommen rüber. Da hier jeweils ein Plus steht, rechnest du Minus.

Somit hast du drüben Minus das und Minus das. Dieser Vektor bleibt hier. Und dieser muss rüber.

Also rechnest du Minus diesen Vektor. Nun fasst du die rechte Seite zusammen. 3 minus 0 ist 3. Minus 6 minus Minus 2 ist das gleiche wie Minus 6 plus 2. Und das ist Minus 4. Und 8 minus 3 ist 5. Außerdem ziehst du hier und hier das Minus in den Vektor, damit hier Pluszeichen stehen.

Dadurch ändern sich die Vorzeichen. Aus 3 minus 2 2 wird Minus 3 2 Minus 2. Und aus 3 4 Minus 1 wird Minus 3 Minus 4 1. Hier siehst du nochmal, was wir jetzt haben. Das ist eine Gleichung mit 4 Unbekannten.

Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Also ein Gleichungssystem. Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über.

Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab. Die erste Spalte steht jetzt für R1.

Die zweite für S1. Die dritte für R2. Und die vierte für S2.

Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null. Das ist gut.

Als nächstes erzeugst du hier eine Null mit Hilfe der ersten Zeile. Multipliziere die dritte Zeile dazu mit Minus 3. Das machst du allerdings nur im Kopf. Und dann addierst du die erste und dritte Zeile und schreibst das Ergebnis hier hin.

Machen wir das mal. 1 mal Minus 3 ist Minus 3. Und 3 minus 3 ist 0. Das wollten wir ja. Minus 1 mal Minus 3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. Minus 2 mal Minus 3 ist 6. Und Minus 3 plus 6 ist 3. 1 mal Minus 3 ist Minus 3. Und Minus 3 minus 3 ist Minus 6. 5 mal Minus 3 ist Minus 15.

Und 3 minus 15 ist Minus 12. Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab. Als nächstes erzeugst du hier eine Null.

Aber diesmal mit Hilfe der zweiten Zeile. Multipliziere dazu diese Zeile mit 3 und diese Zeile mit Minus 2. Minus 3 und 2 würde natürlich auch gehen. Hier kommt wieder eine Null hin.

2 mal 3 ist 6. Und 3 mal Minus 2 ist Minus 6. Das ergibt zusammen 0, wie gewollt. Da hier die gleichen Zahlen stehen wie hier, kommt hier wieder 0 raus. Minus 4 mal 3 ist Minus 12.

Und Minus 6 mal Minus 2 ist 12. Minus 12 plus 12 ist auch 0. Minus 4 mal 3 ist Minus 12. Und Minus 12 mal Minus 2 ist 24.

Minus 12 plus 24 ist 12. Dieses Gleichungssystem ist unlösbar. Denn würdest du die letzte Zeile wieder als Gleichung schreiben, würde da 0 ist gleich 12 stehen.

Das ist aber eine falsche Aussage. Das bedeutet, die Ebenen sind parallel. Oder genauer gesagt, echt parallel.

Hier siehst du ein Schaubild. Die Ebenen sind echt parallel. Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Deshalb hatte das Gleichungssystem keine Lösung, sondern führte zu einer falschen Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer Gleichung mit 2 Unbekannten. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich zwei Ebenen schneiden. Dabei sind die Ebenengleichungen in Punktrichtungsform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Die Parameter habe ich R1, S1, R2 und S2 genannt. Die Bezeichnungen können natürlich auch anders sein.

Bestimme gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch oder parallel sind, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Setze die Ebenen gleich. Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung aus der Aufgabe.

Davon schreibst du die rechte Seite ab. Und das war die Gleichung der zweiten Ebene. Auch davon übernimmst du die rechte Seite.

Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite. Die beiden bleiben hier. Die beiden kommen rüber.

Da hier jeweils ein Plus steht, rechnest du Minus. Somit hast du drüben Minus das und Minus das. Dieser Vektor bleibt hier.

Und dieser muss rüber. Also rechnest du Minus diesen Vektor. Nun fasst du die rechte Seite zusammen.

3 minus 0 ist 3. Minus 6 minus Minus 2 ist das gleiche wie Minus 6 plus 2 und das macht Minus 4. Und 8 minus 3 ist 5. Außerdem ziehst du hier und hier das Minus in den Vektor, damit hier Pluszeichen stehen. Dadurch ändern sich jeweils die Vorzeichen. Aus 3 minus 2 3 wird Minus 3 2 Minus 3. Und aus 3 4 Minus 2 wird Minus 3 Minus 4 2. Hier siehst du nochmal, was wir jetzt haben.

Das ist eine Gleichung mit 4 Unbekannten. Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Also ein Gleichungssystem.

Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über. Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab.

Die erste Spalte steht jetzt für R1. Die zweite für S1. Die dritte für R2.

Und die vierte für S2. Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null.

Das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine Null mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere die dritte Zeile dazu mit Minus 3. Das machst du aber nur im Kopf.

Und dann addierst du die erste und dritte Zeile und schreibst das Ergebnis hier hin. Machen wir das mal. 1 mal Minus 3 ist Minus 3. Und 3 minus 3 ist 0. Minus 1 mal Minus 3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. Minus 3 mal Minus 3 ist 9. Und Minus 3 plus 9 ist 6. 2 mal Minus 3 ist Minus 6. Und Minus 3 minus 6 ist Minus 9. 5 mal Minus 3 ist Minus 15.

Und 3 minus 15 ist Minus 12. Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab. Als nächstes erzeugst du hier eine Null.

Aber diesmal mithilfe der zweiten Zeile. Multipliziere dazu diese Zeile mit 3 und diese Zeile mit Minus 2. Minus 3 und 2 würde natürlich auch gehen. Hier kommt wieder eine Null hin.

2 mal 3 ist 6. Und 3 mal Minus 2 ist Minus 6. Das ergibt zusammen 0, wie gewollt. 2 mal 3 ist 6. Und 6 mal Minus 2 ist Minus 12. 6 minus 12 ist Minus 6. Minus 4 mal 3 ist Minus 12.

Und Minus 9 mal Minus 2 ist 18. Minus 12 plus 18 ist 6. Minus 4 mal 3 ist Minus 12. Und Minus 12 mal Minus 2 ist 24.

Minus 12 plus 24 ist 12. Schreibe die letzte Zeile wieder als Gleichung. Diese Spalte steht für R2 und diese für S2.

Das macht dann Minus 6R2 plus 6S2 gleich 12. Löse nun nach R2 oder S2 auf. Ich nehme jetzt mal S2.

Rechne dazu plus 6R2. Rechts steht dann 6R2 plus 12. Teile nun noch durch 6. Links bleibt dann S2 übrig.

6R2 geteilt durch 6 ist R2. Und 12 geteilt durch 6 ist 2. Damit erhältst du eine Schnittgerade. Und das bedeutet, die Ebenen schneiden sich.

Um die Schnittgerade zu bestimmen, nimmst du die Ebenengleichung mit S2 und R2, also die zweite Ebenengleichung. Diese siehst du hier nochmal. Für S2 setzt du jetzt R2 plus 2 ein.

Das muss natürlich in Klammern. Bei einer Ebenengleichung hast du zwei Parameter. Jetzt hast du nur noch einen, nämlich R2.

Deshalb ist das eine Geradengleichung. Das kannst du durch ein G für gerade kennzeichnen. Nun fasst du zusammen.

Multipliziere die Klammer aus. Das macht R2 mal diesen Vektor plus 2 mal diesen Vektor. Nun fasst du die beiden Vektoren mit R2 davor zusammen und die beiden Vektoren ohne R2.

Fangen wir mit letzterem an. Dazu multiplizierst du im Kopf diesen Vektor mit 2 und addierst ihn zu diesem Vektor. 2 mal 3 ist 6 und 3 plus 6 ist 9. 2 mal 4 ist 8 und minus 6 plus 8 ist 2. 2 mal minus 2 ist minus 4 und 8 minus 4 ist 4. Den Parameter R2 schreibst du wieder hin.

Und nun rechnest du. 3 plus 3 gleich 6. Minus 2 plus 4 gleich 2. Und 3 minus 2 gleich 1. Das ist eine Gleichung der Schnittgeraden. R2 ist eine reelle Zahl.

Statt R2 könntest du auch einfach R schreiben. Hier siehst du ein Schaubild. Die beiden Ebenen schneiden sich.

Zunächst ist die grüne Ebene über der gelben und ab hier darunter. Rot dargestellt ist die Schnittgerade.

Ebenengleichungen in Punkt-Richtungs- und Koordinatenform / Beispiel 1: Identische Ebenen

Ist eine Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform und die andere in Koordinatenform, machst du folgendes: Entnimm der Punkt-Richtungsform die 3 Koordinaten x1, x2 und x3 und setze sie in die Koordinatengleichung ein! Vereinfache diese Gleichung anschließend! Hier führt das Vereinfachen der Gleichung zu einer wahren Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen identisch sind. Dabei ist eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform und die andere in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Wenn du siehst, dass sich alle Zahlen durch die gleiche Zahl teilen lassen, kannst du das machen, um anschließend mit kleineren Zahlen zu rechnen. Hier lassen sich zum Beispiel alle Zahlen durch zwei teilen.

Aus minus 4, 6, 12 und 24 werden dann minus 2, 3, 6 und 12. In dem Video, wo beide Ebenen in Koordinatenform sind, sieht die zweite Gleichung aber so aus. Deshalb bleiben wir dabei, damit du beide Videos besser vergleichen kannst.

Du weißt jetzt schon, dass die Ebenen identisch sind. Aber tun wir mal so, als wüsstest du es noch nicht. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichungen.

Jetzt schaust du dir die Ebenengleichung in Punktrichtungsform an. Vektor x ist ja x1, x2 und x3. Das bedeutet x1 ist 0, plus 3r, plus 0s.

Also einfach 3r. x2 ist minus 2, plus 0r, plus 2s. Also minus 2, plus 2s.

Und x3 ist 3, plus 1r, minus 1s. Also 3, plus r, minus s. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt x1 durch 3r, x2 durch das und x3 durch das.

Löse nun die Klammern auf und fasse zusammen. Minus 4 mal 3r sind minus 12r. 6 mal minus 2 ist minus 12.

Und 6 mal 2s sind 12s. 12 mal 3 ist 36. 12 mal r sind 12r.

Und 12 mal minus s sind minus 12s. Minus 12r plus 12r fällt weg. Ebenso 12s minus 12s.

Und minus 12 plus 36 ist 24. 24 ist gleich 24 ist eine wahre Aussage. Und eine wahre Aussage bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.

Hier siehst du ein Schaubild. Da die Ebenen identisch sind, siehst du darauf nur eine Ebene. Diese Ebene wird durch beide Gleichungen beschrieben.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Vereinfachen der Gleichung zu einer falschen Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen parallel sind. Dabei ist eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform und die andere in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Wenn du siehst, dass sich alle Zahlen durch die gleiche Zahl teilen lassen, kannst du das machen, um anschließend mit kleineren Zahlen zu rechnen. Hier lassen sich zum Beispiel alle Zahlen durch zwei teilen.

Aus minus 4, 6, 12 und 48 werden dann minus 2, 3, 6 und 24. In dem Video, wo beide Ebenen in Koordinatenform sind, sieht die zweite Gleichung aber so aus. Deshalb bleiben wir dabei, damit du beide Videos besser vergleichen kannst.

Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert.

Hier siehst du nochmal die Ebenengleichungen. Jetzt schaust du dir die Ebenengleichung in Punktrichtungsform an. Vektor x ist ja x1, x2 und x3.

Das bedeutet, x1 ist 0, plus 3r, plus 0s. Also einfach 3r. x2 ist minus 2, plus 0r, plus 2s.

Also minus 2, plus 2s. Und x3 ist 3, plus 1r, minus 1s. Also 3, plus r, minus s. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei x1 durch 3r, x2 durch das und x3 durch das. Löse nun die Klammern auf und fasse zusammen. Minus 4 mal 3r sind minus 12r.

6 mal minus 2 ist minus 12. Und 6 mal 2s sind 12s. 12 mal 3 ist 36.

12 mal r sind 12r. Und 12 mal minus s sind minus 12s. Minus 12r plus 12r fällt weg.

Ebenso 12s minus 12s. Und minus 12 plus 36 ist 24. 24 gleich 48 ist aber eine falsche Aussage.

Eine falsche Aussage bedeutet, dass die Ebenen parallel sind. Oder genauer gesagt echt parallel. Hier siehst du ein Schaubild.

Die Ebenen sind echt parallel. Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte. Deshalb ergab die Rechnung eine falsche Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier bleibt eine Gleichung mit 2 Unbekannten übrig. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich zwei Ebenen schneiden. Dabei ist eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform und die andere in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Bestimme gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch oder parallel sind, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichungen.

Jetzt schaust du dir die Ebenengleichung in Punktrichtungsform an. Vektor x ist ja x1, x2 und x3. Das bedeutet, x1 ist 0, plus 3r, plus 0s.

Also einfach 3r. x2 ist minus 2, plus 0r, plus 2s. Also minus 2, plus 2s.

Und x3 ist 3, plus 1r, minus 1s. Also 3, plus r, minus s. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei x1 durch 3r, x2 durch das und x3 durch das.

Löse nun die Klammern auf und fasse zusammen. Minus 8 mal 3r sind minus 24r. 15 mal minus 2 ist minus 30.

15 mal 2s sind 30s. 18 mal 3 ist 54. 18 mal r sind 18r.

Und 18 mal minus s sind minus 18s. Minus 24r plus 18r sind minus 6r. 30s minus 18s sind 12s.

Und minus 30 plus 54 ist 24. Wenn hier keine wahre oder falsche Aussage rauskommt, ist schon klar, dass sich die Ebenen schneiden. Löse aber erst mal nach r oder s auf.

Ich nehme jetzt mal r. Soweit waren wir schon. Bringe das rüber, indem du minus 12s rechnest. Gleichzeitig kannst du noch die 24 rüberbringen.

Links bleiben dann minus 6r übrig. Rechts stehen dann minus 12s und 30 minus 24 ist 6. Teile nun noch durch minus 6. Links bleibt r übrig. Minus 12s geteilt durch minus 6 sind 2s und 6 geteilt durch minus 6 ist minus 1. Damit erhältst du eine Schnittgerade.

Und das bedeutet, die Ebenen schneiden sich. Um die Schnittgerade zu bestimmen, nimmst du die Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Für r setzt du jetzt 2s minus 1 ein.

Das muss natürlich in Klammern. Bei einer Ebenengleichung hast du zwei Parameter. Jetzt hast du nur noch einen, nämlich s. Deshalb ist das eine Geradengleichung.

Das kannst du durch ein g für gerade kennzeichnen. Nun fasst du noch zusammen. Damit geht's auf der nächsten Seite weiter.

Soweit waren wir schon. Nun multiplizierst du die Klammer aus. Das macht 2s mal diesen Vektor minus einmal diesen Vektor, also einfach minus diesen Vektor.

Nun fasst du die beiden Vektoren mit s davor zusammen und die beiden Vektoren ohne s. Fangen wir mit letzterem an. 0 minus 3 ist minus 3. Minus 2 minus 0 ist minus 2. Und 3 minus 1 ist 2. Den Parameter s schreibst du wieder hin. Dann multiplizierst du im Kopf diesen Vektor mit 2 und addierst ihn zu diesem Vektor.

2 mal 3 ist 6 und 6 plus 0 ist 6. 2 mal 0 ist 0 und 0 plus 2 ist 2. 2 mal 1 ist 2 und 2 plus minus 1 ist 1. Das ist eine Gleichung der Schnittgeraden. Hier siehst du ein Schaubild. Die beiden Ebenen schneiden sich.

Zunächst ist die grüne Ebene über der gelben. Und ab hier darunter. Rot dargestellt ist die Schnittgerade.

Ebenengleichungen in Koordinatenform/ Beispiel 1: Identische Ebenen

Sind beide Ebenengleichungen in Koordinatenform, fasst du diese als ein Gleichungssystem auf. Forme das LGS wie gewohnt um! Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer wahren Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen identisch sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, fasst du beide Gleichungen als Gleichungssystem auf. Schreibe dazu beide Gleichungen untereinander.

Zusätzlich kannst du sie nummerieren. Nun eliminierst du x1 in der zweiten Gleichung. Multipliziere dazu die erste Gleichung mit –2.

Das machst du aber nur im Kopf und dann addierst du beide Gleichungen. –2 mal –2x1 sind 4x1 und 4x1 minus 4x1 fällt weg. Das wollten wir ja.

–2 mal 3x2 sind –6x2. –6x2 plus 6x2 fällt auch weg. –2 mal 6x3 sind –12x3 und –12x3 plus 12x3 fällt ebenfalls weg.

Die linke Seite ist also Null. –2 mal 12 sind –24 und –24 plus 24 ist ebenfalls Null. Null ist gleich Null ist eine wahre Aussage.

Anschaulich bedeutet das, jeder Punkt in dieser Ebene liegt auch in dieser Ebene und umgekehrt. Und das geht nur, wenn beide Ebenen identisch sind. Das liegt daran, dass hier immer das Doppelte steht wie hier.

Hier siehst du ein Schaubild. Da die Ebenen identisch sind, siehst du darauf nur eine Ebene. Diese Ebene wird durch beide Gleichungen beschrieben.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer falschen Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen parallel sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen, denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert.

Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, passt du beide Gleichungen als Gleichungssystem auf. Schreibe dazu beide Gleichungen untereinander. Zusätzlich kannst du sie nummerieren.

Nun eliminierst du x1 in der zweiten Gleichung. Multipliziere dazu die erste Gleichung mit –2. Das machst du aber nur im Kopf und dann addierst du beide Gleichungen.

–2 mal –2x1 sind 4x1. Und 4x1 minus 4x1 fällt weg. Das wollten wir ja.

–2 mal 3x2 sind –6x2. Und –6x2 plus 6x2 fällt auch weg. –2 mal 6x3 sind –12x3.

Und –12x3 plus 12x3 fällt ebenfalls weg. Die linke Seite ist also 0. –2 mal 12 sind –24. Und –24 plus 48 ist 24.

0 ist gleich 24, ist aber eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem ist somit unlösbar. Das bedeutet, die Ebenen sind parallel.

Oder genauer gesagt echt parallel. Hier siehst du ein Schaubild. Die Ebenen sind echt parallel.

Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hatte das Gleichungssystem keine Lösung, sondern führte zu einer falschen Aussage.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier führt das Umformen des Gleichungssystems zu einer Gleichung mit 2 Unbekannten. Somit kannst du eine davon selbst festlegen. Damit lässt sich anschließend die Schnittgerade bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich zwei Ebenen schneiden. Dabei sind die Ebenengleichungen in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Bestimme gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch oder parallel sind, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, passt du beide Gleichungen als Gleichungssystem auf.

Schreibe dazu beide Gleichungen untereinander. Zusätzlich kannst du sie nummerieren. Nun eliminierst du x1 in der zweiten Gleichung.

Multipliziere dazu die erste Gleichung mit minus 4. Das machst du aber nur im Kopf und dann addierst du beide Gleichungen. Minus 4 mal minus 2x1 sind 8x1. Und 8x1 minus 8x1 fällt weg.

Das wollten wir ja. Minus 4 mal 3x2 sind minus 12x2. Und minus 12x2 plus 15x2 sind 3x2.

Minus 4 mal 6x3 sind minus 24x3. Und minus 24x3 plus 18x3 sind minus 6x3. Minus 4 mal 12 sind minus 48.

Und minus 48 plus 30 sind minus 18. Wenn hier keine wahre oder falsche Aussage rauskommt, ist schon klar, dass sich die Ebenen schneiden. Für die Gleichung der Schnittgerade brauchst du den Parameter r. Deshalb setzt du nun x3 gleich r. Diese Gleichung sieht dann so aus.

Statt x3 steht dort r. Nun bestimmst du noch x2 und x1. Das war die letzte Zeile. Diese löst du nun einfach nach x2 auf.

Bringe dazu die minus 6r rüber. Nun teilst du durch 3. Hier bleibt x2 übrig. Minus 18 geteilt durch 3 ist minus 6. Und 6r geteilt durch 3 sind 2r.

Nun setzt du x2 und x3 in die erste Gleichung ein, um x1 auszurechnen. Das war die erste Gleichung. Für x2 schreibst du nun das in Klammern und für x3 schreibst du r. Nun löst du nach x1 auf.

3 mal minus 6 sind minus 18. 3 mal 2r sind 6r. 6r plus 6r sind 12r.

Rechne nun plus 18. Gleichzeitig kannst du noch minus 12r rechnen. Links bleibt dann nur minus 2x1 übrig.

12 plus 18 sind 30. Und dann stehen hier noch minus 12r. Teile nun durch minus 2. Links bleibt x1 übrig.

30 geteilt durch minus 2 ist minus 15. Und minus 12r geteilt durch minus 2 sind 6r. Hier siehst du nochmal, was du für x1, x2 und x3 rausbekommen hast.

Daraus bastelst du jetzt eine Geradengleichung. Diese hat allgemein diese Form. Du brauchst einen Stützvektor p und einen Richtungsvektor u. Davor steht der Parameter r. r steht hier.

Der Richtungsvektor hat somit die Koordinaten 6, 2 und 1. Denn r ist ja einmal r. Für Vektor u schreibst du also Vektor 6, 2, 1. Der Rest ergibt den Stützvektor p. Dieser hat somit die Koordinaten minus 15, minus 6 und 0. Denn hier könnte genauso gut 0 plus r stehen. Vektor p ist also Vektor minus 15, minus 6, 0. Das ist eine Gleichung der Schnittgeraden. Hier siehst du ein Schaubild.

Die beiden Ebenen schneiden sich. Zunächst ist die grüne Ebene über der gelben. Und ab hier darunter.

Rot dargestellt ist die Schnittgerade.

Ebenengleichungen in Normalenform / Beispiel 1: Identische Ebenen

Ist nur eine Ebenengleichung in Normalenform, wandle sie in die Koordinatenform um und suche dir oben das passende Verfahren heraus! Sind beide Ebenengleichungen in Normalenform, kannst du sie ebenfalls in die Koordinatenform umwandeln oder folgendes machen: Prüfe zunächst, ob die Normalenvektoren parallel sind! Falls ja, sind die Ebenen entweder identisch oder parallel. Das findest du mit einer Punktprobe heraus. Sind die Normalenvektoren nicht parallel, müssen sich die Ebenen schneiden. Sollst du in diesem Fall auch die Schnittgerade bestimmen, musst du die Ebenengleichungen doch noch in die Koordinatenform umwandeln und die komplette Rechnung aus diesem Video aufschreiben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen identisch sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in normalen Form. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Sind die normalen Vektoren parallel, dann sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Sind die normalen Vektoren nicht parallel, dann schneiden sich die Ebenen.

Prüfe also zunächst, ob Vektor n1 und Vektor n2 parallel sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor n1 gleich k mal Vektor n2 ist. Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung.

Vektor n1 ist das. Und das war die zweite Ebenengleichung. Vektor n2 ist das.

Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. Minus 2 ist gleich k mal minus 4, 3 ist gleich k mal 6 und 6 ist gleich k mal 12. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob immer die gleiche Zahl rauskommt.

Hier teilst du durch minus 4, damit k allein auf einer Seite steht. Minus 2 geteilt durch minus 4 ist ein Halb oder 0,5. k ist also 0,5.

Hier teilst du durch 6. 3 geteilt durch 6 ist ebenfalls 0,5. Und hier teilst du durch 12. 6 geteilt durch 12 ist auch 0,5.

Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren n1 und n2 parallel. Nun gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder sind die Ebenen identisch oder echt parallel.

Das findest du mit einer Punktprobe heraus. Du nimmst von der ersten Ebene den Punkt P mit diesem Ortsvektor und prüfst, ob er auch in der zweiten Ebene liegt. Dafür schreibst du den Punkt wieder als Vektor und setzt ihn hier für Vektor x ein.

Nun rechnest du die linke Seite aus. Kommt dabei tatsächlich 0 raus, dann liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht. Als erstes fasst du zusammen.

0 minus 3 ist minus 3. Minus 2 minus minus 6 ist das gleiche wie minus 2 plus 6. Und das macht 4. Und 3 minus 6 ist minus 3. Nun bildest du das Skalarprodukt. Das macht minus 3 mal minus 4 plus 4 mal 6 plus minus 3 mal 12. Minus 3 mal minus 4 ist 12.

4 mal 6 ist 24. Plus mal minus ist minus. Und 3 mal 12 ist 36.

12 plus 24 ist 36. Und 36 minus 36 ist 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage. Das bedeutet, der Punkt P liegt in der Ebene E2.

Dann liegen aber auch alle anderen Punkte von E1 in E2. Die beiden Ebenen sind somit identisch. Hier siehst du ein Schaubild.

Da die Ebenen identisch sind, siehst du darauf nur eine Ebene. Diese Ebene wird durch beide Gleichungen beschrieben. Offensichtlich sind die normalen Vektoren N1 und N2 parallel.

Beispiel 2: (Echt) parallele Ebenen

Hier sind die beiden Normalenvektoren parallel und damit auch die Ebenen. Da die Punktprobe zu einer falschen Aussage führt, können die Ebenen nicht identisch sein. Somit müssen sie (echt) parallel sein.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass zwei Ebenen parallel sind. Dabei sind die Ebenengleichungen in normalen Form. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Sind die normalen Vektoren parallel, dann sind die Ebenen echt parallel oder identisch. Sind die normalen Vektoren nicht parallel, dann schneiden sich die Ebenen.

Prüfe also zunächst, ob Vektor n1 und Vektor n2 parallel sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor n1 gleich k mal Vektor n2 ist. Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung.

Vektor n1 ist das. Und das war die zweite Ebenengleichung. Vektor n2 ist das.

Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. minus 2 ist gleich k mal minus 4, 3 ist gleich k mal 6 und 6 ist gleich k mal 12. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt.

Hier teilst du durch minus 4, damit k allein auf einer Seite steht. Minus 2 geteilt durch minus 4 ist ein Halb oder 0,5. k ist also 0,5.

Hier teilst du durch 6. 3 geteilt durch 6 ist ebenfalls 0,5. Und hier teilst du durch 12. 6 geteilt durch 12 ist auch 0,5.

Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren n1 und n2 parallel. Nun gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder sind die Ebenen identisch oder echt parallel.

Das findest du mit einer Punktprobe heraus. Du nimmst von der ersten Ebene den Punkt P mit diesem Ortsvektor und prüfst, ob er auch in der zweiten Ebene liegt. Dafür schreibst du den Punkt wieder als Vektor und setzt ihn hier für Vektor x ein.

Nun rechnest du die linke Seite aus. Kommt dabei tatsächlich 0 raus, dann liegt der Punkt in der Ebene. Sonst nicht.

Als erstes fasst du zusammen. 0 minus 3 ist minus 3. Minus 2 minus minus 6 ist das gleiche wie minus 2 plus 6. Und das macht 4. Und 3 minus 8 ist minus 5. Nun bildest du das Skalarprodukt. Das macht minus 3 mal minus 4 plus 4 mal 6 plus minus 5 mal 12.

Minus 3 mal minus 4 ist 12. 4 mal 6 ist 24. Plus mal minus ergibt minus.

Und 5 mal 12 ist 60. 12 plus 24 ist 36. Und 36 minus 60 ist minus 24.

Minus 24 ist gleich 0 ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, der Punkt P liegt nicht in der Ebene E2. Somit können die Ebenen nicht identisch sein.

Also sind sie echt parallel. Hier siehst du ein Schaubild. Die Ebenen sind echt parallel.

Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte. Deshalb führte die Punktprobe mit dem Punkt P zu einer falschen Aussage. Die normalen Vektoren N1 und N2 sind aber parallel.

Beispiel 3: Sich schneidende Ebenen

Hier sind die beiden Normalenvektoren nicht parallel. Somit haben die Ebenen anschaulich eine unterschiedliche "Neigung" und müssen sich zwangsläufig schneiden. Die Schnittgerade kannst du damit aber leider nicht bestimmen. Dazu ist eine Umwandlung in Koordinatengleichungen und die Rechnung aus obigem Video nötig.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich zwei Ebenen schneiden. Dabei sind die Ebenengleichungen in normalen Form. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebenen. Bestimme gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem die Ebenen identisch oder parallel sind, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die zweite Ebenengleichung nur minimal geändert. Sind die normalen Vektoren nicht parallel, dann schneiden sich die Ebenen.

Prüfe also zunächst, ob Vektor n1 und Vektor n2 parallel sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor n1 gleich k mal Vektor n2 ist. Hier siehst du nochmal die erste Ebenengleichung.

Vektor n1 ist das. Und das war die zweite Ebenengleichung. Vektor n2 ist das.

Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. Minus 2 ist gleich k mal minus 8, 3 ist gleich k mal 15 und 6 ist gleich k mal 18. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt.

Hier teilst du durch minus 8, damit k allein auf einer Seite steht. Minus 2 geteilt durch minus 8 ist ein Viertel oder 0,25. k ist also 0,25.

Hier teilst du durch 15. 3 geteilt durch 15 ist aber ein Fünftel oder 0,2. An dieser Stelle kannst du die Rechnung schon abbrechen und einen Blitz dran machen.

Da unterschiedliche Werte rauskommen, sind Vektor n1 und Vektor n2 nicht parallel. Somit müssen sich die Ebenen schneiden. Hier siehst du ein Schaubild.

Die normalen Vektoren sind nicht parallel. Deshalb schneiden sich die Ebenen. Zunächst ist die grüne Ebene über der gelben und ab hier darunter.

Rot dargestellt ist die Schnittgerade, die du in diesem Fall auch noch bestimmen sollst. Das geht aber nicht mit der normalen Form. Deshalb wandelst du nun beide normalen Gleichungen in Koordinatengleichungen um.

Aus diesem Grund kann es geschickter sein, das von vornherein zu tun. Das war die erste Ebenengleichung in normalen Form. In Koordinatenform sieht sie allgemein so aus.

Die Zahlen a1, a2 und a3 sind die Koordinaten eines normalen Vektors der Ebene. Dafür setzt du nun einfach diesen normalen Vektor ein. Minus 2 ist a1, 3 ist a2 und 6 ist a3.

Nun fehlt dir nur noch b. Um b zu berechnen, setzt du für x1, x2 und x3 die Koordinaten des Stützvektors ein. 0 ist x1, minus 2 ist x2 und 3 ist x3. Nun kannst du b ausrechnen.

Minus 2 mal 0 ist 0. Plus mal Minus ergibt Minus und 3 mal 2 ist 6. Und 6 mal 3 ist 18. 0 minus 6 ist minus 6 und minus 6 plus 18 ist 12. b ist also 12.

Nun schreibst du diese Zeile ab und setzt für b 12 ein. Diese Koordinatengleichung beschreibt dieselbe Ebene wie diese normalen Gleichung. Genauso wandelst du nun die zweite Ebenengleichung um.

Als erstes setzt du den normalen Vektor ein. Minus 8 ist a1, 15 ist a2 und 18 ist a3. Um b zu berechnen, setzt du die Koordinaten des Stützvektors ein.

3 ist x1, minus 6 ist x2 und 8 ist x3. Minus 8 mal 3 ist minus 24. Plus mal Minus ergibt Minus und 15 mal 6 ist 90.

18 mal 8 ist 144. Minus 24 minus 90 ist minus 114. Und minus 114 plus 144 ist 30.

b ist somit 30. Nun schreibst du diese Zeile ab und setzt für b 30 ein. Diese Koordinatengleichung beschreibt dieselbe Ebene wie diese normalen Gleichung.

Wie du die Schnittgerade bestimmst, siehst du Schritt für Schritt im Video zu sich schneidenden Ebenen in Koordinatenform. Das ist eine Gleichung für die Schnittgerade G.