Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene

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• So können Gerade und Ebene zueinander liegen
• Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene
• Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene
• Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene
• Ebenengleichung in Normalenform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene
• Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene
• Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene
• Ebenengleichung in Koordinatenform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene
• Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene
• Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene
• Gerade und Ebene auf Orthogonalität untersuchen / Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform
• Ebenengleichung in Normalen- oder Koordinatenform

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So können Gerade und Ebene zueinander liegen

So findest du heraus, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen. Dabei sind 3 Fälle möglich: Die Gerade kann zur Ebene (echt) parallel sein, in der Ebene liegen oder diese schneiden (durchstoßen). Im letzten Fall ist dann meist auch der Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) gesucht. Der genaue Lösungsweg hängt von der Form der Ebenengleichung ab. Deshalb zeige ich dir die Rechnung einmal für jede Form (Punkt-Richtungsform, Normalenform und Koordinatenform). So findest du immer eine passende Musterlösung! In diesem Video siehst du, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, löst du ein lineares Gleichungssystem bzw. eine Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können. Dabei gibt es drei Fälle. Entweder sind Gerade und Ebene echt parallel, oder die Gerade liegt in der Ebene, oder sie schneidet die Ebene in einem Schnittpunkt S. Um die gegenseitige Lage zu untersuchen, musst du ein lineares Gleichungssystem oder eine Gleichung lösen.

Das hängt davon ab, in welcher Form die Ebenengleichung vorliegt. In diesem Fall hat das LGS bzw. die Gleichung keine Lösung.

In diesem Fall unendlich viele Lösungen und in diesem Fall genau eine Lösung.

Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

Hierbei setzt du die Ebene und die Gerade gleich und löst dieses Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene. In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Das zugehörige Gleichungssystem hat deshalb keine Lösung (es ist unlösbar).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass eine Ebene und eine Gerade parallel zueinander sind. Dabei liegt die Ebenengleichung in Punktrichtungsform vor. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Als erstes setzt du die Ebene und die Gerade gleich. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabenstellung.

Davon schreibst du jetzt die rechte Seite ab. Dann kommt ein Istgleichzeichen. Das war die Geradengleichung aus der Aufgabe.

Auch davon übernimmst du die rechte Seite. Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite. Die beiden bleiben hier.

Das muss rüber. Da hier ein Plus steht, rechnest du also –t mal diesen Vektor. Dieser Vektor bleibt hier.

Und dieser muss rüber. So rechnest du – diesen Vektor. Nun ziehst du dieses Minus in den Vektor, damit hier auch ein Plus steht.

–0 ist einfach 0. –-4 ist 4. Und aus 2 wird –2. Außerdem fasst du die rechte Seite zusammen. 3–0 ist 3. 6––2 ist das gleiche wie 6 plus 2 und das macht 8. Und 4–3 ist 1. Hier siehst du noch mal, was wir jetzt haben.

Das ist eine Gleichung mit 3 Unbekannten. Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also ein Gleichungssystem.

Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über. Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab.

Die erste Spalte steht jetzt für den Parameter r. Die zweite steht für s und die dritte für t. Anstelle des Istgleichs kommt ein Trennstrich. Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null.

Das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine Null mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere die dritte Zeile dazu mit –3.

Das machst du allerdings nur im Kopf. Und dann addierst du die erste und dritte Zeile. Und schreibst das Ergebnis hier hin.

Machen wir das mal. 1 mal –3 ist –3. Und 3 minus 3 ist 0. Das wollten wir ja.

–1 mal –3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. –2 mal –3 ist 6. Und 0 plus 6 ist 6. 1 mal –3 ist –3. Und 3 minus 3 ist 0. Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab. Nun erzeugst du noch hier eine Null.

Aber diesmal mithilfe der zweiten Zeile. Denn sonst würdest du diese Null wieder zerstören. Da aber hier auch eine Null steht, kann das nicht passieren.

Multipliziere dazu diese Zeile mit 3. Und diese mit –2. –3 und 2 würde natürlich auch gehen. 0 mal 3 ist 0. Und 0 mal –2 ist auch 0. 0 plus 0 bleibt 0. 2 mal 3 ist 6. Und 3 mal –2 ist –6.

Das ergibt zusammen 0. Wie gewollt. 4 mal 3 ist 12. Und 6 mal –2 ist –12.

Das ergibt zusammen auch 0. 8 mal 3 ist 24. Und 0 mal –2 ist 0. 24 plus 0 ist 24. Dieses Gleichungssystem entspricht dieser Form.

Links stehen nur Nullen und rechts steht etwas anderes als Null. Ein solches Gleichungssystem ist unlösbar. Denn schreibst du die letzte Zeile wieder als Gleichung, steht da 0 ist gleich 24.

Aber das stimmt ja gar nicht. Die Umformungen führen also auf einen Widerspruch und nicht auf eine Lösung. Daraus folgt, dass G und E parallel sind.

Oder genauer gesagt echt parallel. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie sind zueinander echt parallel. Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Deshalb hatte das Gleichungssystem keine Lösung, sondern führte auf einen Widerspruch.

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Da eine Gerade unendlich viele Punkte hat, hat das zugehörige Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass die Gerade in der Ebene liegt. Dabei ist die Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen, denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert.

Als erstes setzt du die Ebene und die Gerade gleich. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabenstellung. Davon schreibst du jetzt die rechte Seite ab.

Dann kommt ein Istgleichzeichen. Das war die Geradengleichung aus der Aufgabe. Auch davon übernimmst du die rechte Seite.

Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite. Die beiden bleiben hier. Das muss rüber.

Da hier ein Plus steht, rechnest du also –t mal diesen Vektor. Dieser Vektor bleibt hier. Und dieser muss rüber.

Also rechnest du – diesen Vektor. Nun ziehst du dieses Minus in den Vektor, damit hier auch ein Plus steht. –0 ist einfach 0. –-4 ist 4. Und aus 2 wird –2.

Außerdem fasst du die rechte Seite zusammen. 3 – 0 ist 3. 6 – –2 ist das gleiche wie 6 plus 2. Und das macht 8. Und 0 – 3 ist –3. Hier siehst du nochmal, was wir jetzt haben.

Das ist eine Gleichung mit 3 Unbekannten. Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also ein Gleichungssystem.

Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über. Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab.

Die erste Spalte steht jetzt für den Parameter r. Die zweite Spalte steht für s. Und die dritte für t. Anstelle des Istgleichs kommt ein Trennstrich. Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null.

Das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine Null mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere die dritte Zeile dazu mit –3.

Das machst du allerdings nur im Kopf. Und dann addierst du die erste und dritte Zeile und schreibst das Ergebnis hier hin. Machen wir das mal.

1 mal –3 ist –3. Und 3 minus 3 ist 0. Das wollten wir ja. –1 mal –3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. –2 mal –3 ist 6. Und 0 plus 6 ist 6. –3 mal –3 ist 9. Und 3 plus 9 ist 12.

Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab. Nun erzeugst du noch hier eine Null. Aber diesmal mithilfe der zweiten Zeile.

Multipliziere dazu diese Zeile mit 3 und diese mit –2. –3 und 2 würde natürlich auch gehen. 0 mal 3 ist 0. Und 0 mal –2 ist auch 0. 0 plus 0 bleibt 0. 2 mal 3 ist 6. Und 3 mal –2 ist –6.

Das ergibt zusammen 0, wie gewollt. 4 mal 3 ist 12. Und 6 mal –2 ist –12.

Das ergibt zusammen auch 0. 8 mal 3 ist 24. Und 12 mal –2 ist –24. 24 minus 24 ist auch 0. Dieses Gleichungssystem entspricht dieser Form.

Die letzte Zeile ist 0 und diese beiden Diagonalelemente sind ungleich 0. Ein solches Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Und daraus folgt, dass die Gerade G in der Ebene E liegt. Jetzt erkläre ich dir, warum das so ist.

Die dritte Spalte steht ja für T. Für die letzte Zeile könntest du deshalb auch 0T ist gleich 0 schreiben. Der Sinn ist ja, T auszurechnen und in die Geradengleichung einzusetzen, um den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene zu bestimmen. 0 mal T ist aber immer 0, egal was du für T einsetzt.

Damit ist nun jeder Punkt der Gerade ein gemeinsamer Punkt mit der Ebene. Und das geht nur, wenn die Gerade in der Ebene liegt. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Alle Punkte der Geraden sind auch Punkte der Ebene, da die Gerade in der Ebene liegt.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung. Mit Hilfe dieser Lösung kannst du anschließend den Schnittpunkt berechnen. Wie das geht, siehst du ebenfalls im Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich Gerade und Ebene in einem Punkt schneiden. Dabei ist die Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder G in E liegt, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Als erstes setzt du die Ebene und die Gerade gleich.

Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung aus der Aufgabenstellung. Davon schreibst du jetzt die rechte Seite ab. Dann kommt ein Istgleichzeichen.

Das war die Geradengleichung aus der Aufgabe. Auch davon übernimmst du die rechte Seite. Jetzt sortierst du so, dass alle Vektoren mit einem Parameter davor auf einer Seite stehen und Vektoren ohne Parameter auf der anderen Seite.

Die beiden bleiben hier. Das muss rüber. Da hier ein Plus steht, rechnest du also –t mal diesen Vektor.

Dieser Vektor bleibt hier. Und dieser muss rüber. Also rechnest du –diesen Vektor.

Nun ziehst du dieses Minus in den Vektor, damit hier auch ein Plus steht. –0 ist einfach 0. –-4 ist 4. Und –-2 ist 2. Außerdem fasst du die rechte Seite zusammen. 3–0 ist 3. 6–-2 ist das gleiche wie 6 plus 2. Und das macht 8. Und 4–3 ist 1. Hier siehst du nochmal, was wir jetzt haben.

Das ist eine Gleichung mit drei Unbekannten. Fasst du jede Zeile als eine Gleichung auf, dann sind das drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Also ein Gleichungssystem.

Um das zu lösen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über. Das spart Zeit und ist übersichtlicher. Mache eine große Klammer und schreibe die Vektoren nacheinander ab.

Die erste Spalte steht jetzt für den Parameter r. Die zweite steht für s und die dritte für t. Anstelle des Istgleichs kommt ein Trennstrich. Nun erzeugst du an bestimmten Stellen Nullen. Hier steht schon eine Null.

Das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine Null mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere die dritte Zeile dazu mit –3.

Das machst du allerdings nur im Kopf. Und dann addierst du die erste und dritte Zeile und schreibst das Ergebnis hierhin. Machen wir das mal.

1 mal –3 ist –3. Und 3 minus 3 ist 0. Das wollten wir ja. –1 mal –3 ist 3. Und 0 plus 3 ist 3. 2 mal –3 ist –6.

Und 0 minus 6 ist –6. 1 mal –3 ist –3. Und 3 minus 3 ist 0. Die erste und zweite Zeile schreibst du einfach ab.

Nun erzeugst du noch hier eine Null. Aber diesmal mithilfe der zweiten Zeile. Multipliziere dazu diese Zeile mit 3 und diese mit –2.

–3 und 2 würde natürlich auch gehen. Hier vorn kommt wieder eine Null hin. 2 mal 3 ist 6. Und 3 mal –2 ist –6.

Das ergibt zusammen 0, wie gewollt. 4 mal 3 ist 12. Und –6 mal –2 ist 12.

12 plus 12 ist 24. 8 mal 3 ist 24. Und 0 mal –2 ist 0. 24 plus 0 ist 24.

Dieses Gleichungssystem entspricht dieser Dreiecksform. Hier stehen Nullen und die Diagonalelemente sind ungleich Null. Ein solches Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

Und daraus folgt, dass sich die Gerade G und die Ebene E schneiden. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie schneiden sich im Schnittpunkt S. Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du es dir räumlich besser vorstellen kannst. Nun zeige ich dir, wie du den Schnittpunkt ausrechnest.

Dazu machst du folgendes. Hier siehst du wieder das Gleichungssystem. Die dritte Spalte steht ja für T. Schreibe die letzte Zeile wieder als Gleichung.

Also 24T ist gleich 24. Teilst du durch 24, ergibt das T gleich 1. Es ist nicht nötig, das Gleichungssystem komplett zu lösen und auch noch R und S auszurechnen. T ist der Parameter aus der Geradengleichung.

Dort setzt du nun für T 1 ein. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Nun setzt du für T 1 ein und fasst zusammen.

Multiplizierst du diese Zahlen mit 1, ändern sie sich nicht. Das macht dann 3 plus 0 gleich 3, 6 plus minus 4 gleich 2 und 4 plus minus 2 gleich 2. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes. Dafür schreibst du hier ein kleines S. Der Schnittpunkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet und hat die gleichen Koordinaten.

Anschaulich hast du folgendes gemacht. Das ist der Stützvektor P der Geraden. Diesen siehst du hier.

Das ist der Richtungsvektor U der Geraden. Diesen hast du einmal an den Stützvektor angesetzt. Dadurch bist du genau beim Schnittpunkt gelandet.

Der Pfeil, der im Ursprung beginnt und bis hier geht, ist der Vektor S, den du berechnet hast. Den Schnittpunkt hättest du auch mit der Ebenengleichung bestimmen können. Das macht aber keiner, weil es mehr Aufwand ist.

Aber fürs Verständnis möchte ich es dir kurz zeigen. Hättest du das Gleichungssystem komplett gelöst, wäre für R 1 rausgekommen und für S 2. Das setzt du nun hier ein und das setzt du hier ein. Nun fasst du zusammen.

Einmal 3 ist 3 und zweimal 0 ist 0. 0 plus 3 plus 0 ist 3. Einmal 0 ist 0 und zweimal 2 ist 4. Minus 2 plus 0 plus 4 ist 2. Einmal 1 ist 1 und zweimal minus 1 ist minus 2. 3 plus 1 minus 2 ist 2. Das ist Vektor S. Für den gesuchten Schnittpunkt S übernimmst du einfach diese Koordinaten. Es kommt natürlich der gleiche Schnittpunkt raus wie mit der Geradengleichung. Anschaulich hast du diesmal aber folgendes gemacht.

Das ist der Stützvektor P. Diesen siehst du hier. Das ist der Richtungsvektor U und das ist der Richtungsvektor V. An den Stützvektor hast du einmal Vektor U angesetzt und daran dann zweimal Vektor V. Somit bist du wieder genau beim Schnittpunkt gelandet. Das ist der zugehörige Ortsvektor S, den du berechnet hast.

Ebenengleichung in Normalenform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

Hierbei setzt du die Geradengleichung für x⃗ in die Ebenengleichung ein und löst diese Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene. In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hat die zugehörige Gleichung keine Lösung, sondern führt zu einer falschen Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass eine Ebene und eine Gerade parallel zueinander sind. Dabei liegt die Ebenengleichung in normalen Form vor. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung. Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier.

Also kannst du das auch hier drüben für Vektor X einsetzen. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen. 3 minus 0 ist 3. 6 minus minus 2 ist das gleiche wie 6 plus 2. Und das macht 8. Und 4 minus 3 ist 1. Das schreibst du ab.

Und der Rest ist auch gleich. Nun multiplizierst du aus. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir das auf der nächsten Seite.

Erstmal multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Das ist das sogenannte Skalarprodukt. Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor.

Machen wir das mal. 3 mal minus 2 ist minus 6. Nun kommt ein Plus. 8 mal 3 ist 24.

Dann kommt wieder ein Plus. Und 1 mal 6 ist 6. Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer. 0 mal minus 2 ist 0. Minus 4 mal 3 ist minus 12.

Und statt plus minus 12 schreibst du gleich minus 12. Jetzt kommt wieder ein Plus. Und 2 mal 6 ist 12.

Jetzt fasst du zusammen. Minus 6 plus 6 ist 0. Und 0 plus 24 ist 24. 0 minus 12 plus 12 ist 0. T mal 0 ist 0. Das kannst du gleich weglassen.

Hier überträgst du die 0. 24 ist gleich 0, ist aber eine falsche Aussage. Eine falsche Aussage bedeutet, dass G und E parallel sind. Oder genauer gesagt, echt parallel.

Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie sind zueinander echt parallel. Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hatte die Gleichung keine Lösung, sondern führte zu einer falschen Aussage.

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Deshalb hat die zugehörige Gleichung unendlich viele Lösungen, was du an einer wahren Aussage erkennst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass die Gerade in der Ebene liegt. Dabei liegt die Ebenengleichung in normalen Form vor. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung. Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier.

Also kannst du das auch hier drüben für Vektor X einsetzen. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen. 3 minus 0 ist 3. 6 minus minus 2 ist das gleiche wie 6 plus 2. Und das macht 8. Und 0 minus 3 ist minus 3. Das schreibst du wieder ab.

Und der Rest bleibt auch gleich. Nun multiplizierst du aus. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir das auf der nächsten Seite.

Erstmal multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Das ist das sogenannte Skalarprodukt. Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor.

Machen wir das mal. 3 mal minus 2 ist minus 6. Dann kommt ein plus. 8 mal 3 ist 24.

Minus 3 mal 6 ist minus 18. Und statt plus minus 18 schreibst du gleich minus 18. Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer.

0 mal minus 2 ist 0. Minus 4 mal 3 ist minus 12. Und statt plus minus 12 schreibst du gleich minus 12. Dann kommt wieder ein plus.

Und 2 mal 6 ist 12. Jetzt fasst du zusammen. Minus 6 plus 24 ist 18.

Und 18 minus 18 ist 0. 0 minus 12 plus 12 ist auch 0. Und T mal 0 ist 0. Die linke Seite ist also 0. Hier überträgst du die 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage. Eine wahre Aussage bedeutet, dass die Gerade G in der Ebene E liegt. Jetzt erkläre ich dir, warum das so ist.

Der Sinn ist ja, T auszurechnen und in die Geradengleichung einzusetzen, um den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene zu bestimmen. Diese Aussage ist aber immer wahr. Egal, was du für T einsetzt.

Damit ist nun jeder Punkt der Geraden ein gemeinsamer Punkt mit der Ebene. Und das geht nur, wenn die Gerade in der Ebene liegt. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Alle Punkte der Geraden sind auch Punkte der Ebene, da die Gerade in der Ebene liegt.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung. Setzt du diese in die Geradengleichung ein, kannst du den Schnittpunkt berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich Gerade und Ebene in einem Punkt schneiden. Dabei liegt die Ebenengleichung in normalen Form vor. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder G in E liegt, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung.

Hier steht Vektor X und hier steht Vektor X. Und das ist gleich dem hier. Also kannst du das auch hier drüben für Vektor X einsetzen. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen.

3 minus 0 ist 3. 6 minus minus 2 ist das gleiche wie 6 plus 2. Und das macht 8. Und 4 minus 3 ist 1. Das schreibst du wieder ab. Und der Rest bleibt auch gleich. Nun multiplizierst du aus.

Da hier kein Platz mehr ist, machen wir das auf der nächsten Seite. Erstmal multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Das ist das sogenannte Skalarprodukt.

Dann kommt plus T und dann multiplizierst du diesen Vektor mit diesem Vektor. Machen wir das mal. 3 mal minus 2 ist minus 6. Dann kommt ein Plus.

8 mal 3 ist 24. Dann kommt wieder ein Plus. Und 1 mal 6 ist 6. Jetzt kommt plus T und dann machst du eine Klammer.

0 mal minus 2 ist 0. Minus 4 mal 3 ist minus 12. Minus 2 mal 6 ist auch minus 12. Jetzt fasst du zusammen.

Minus 6 plus 6 ist 0. Und 0 plus 24 ist 24. 0 minus 12 minus 12 ist minus 24. Das sind also minus 24 T. Hier überträgst du die 0. Nun löst du nach T auf.

Bringe die 24 rüber und teile nun durch minus 24. Das macht T gleich 1. Hat die Gleichung wie hier eine eindeutige Lösung, schneiden sich G und E. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie schneiden sich im Schnittpunkt S. Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du es dir räumlich besser vorstellen kannst. Nun zeige ich dir, wie du den Schnittpunkt ausrechnest.

Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. T ist dieser Parameter. Für T hast du gerade 1 rausbekommen.

Das setzt du nun hier ein und fasst zusammen. Multiplizierst du diese Zahlen mit 1, ändern sie sich nicht. Das macht dann 3 plus 0 gleich 3. 6 plus minus 4 gleich 2. Und 4 plus minus 2 gleich 2. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes.

Dafür schreibst du hier ein kleines S. Der Schnittpunkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet und hat die gleichen Koordinaten. Anschaulich hast du folgendes gemacht. Das ist der Stützvektor P der Geraden.

Diesen siehst du hier. Das ist der Richtungsvektor U der Geraden. Diesen hast du einmal an den Stützvektor angesetzt.

Dadurch bist du genau beim Schnittpunkt gelandet. Der Pfeil, der im Ursprung beginnt und bis hier geht, ist der Vektor S, den du berechnet hast.

Ebenengleichung in Koordinatenform / Beispiel 1: Die Gerade ist parallel zur Ebene

Jeder Punkt auf der Geraden hat 3 Koordinaten x1, x2 und x3, die du der Geradengleichung entnehmen kannst. Diese setzt du in die Ebenengleichung ein und löst diese Gleichung. An der Anzahl der Lösungen erkennst du die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene. In diesem Fall haben Gerade und Ebene keine gemeinsamen Punkte. Deshalb hat die zugehörige Gleichung keine Lösung, sondern führt zu einer falschen Aussage.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass eine Ebene und eine Gerade parallel zueinander sind. Dabei ist die Ebenengleichung in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade identisch sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung. Vektor x ist der x1, x2, x3.

Das bedeutet, x1 ist 3 plus 0t. Also einfach 3. x2 ist 6 minus 4t und x3 ist 4 plus 2t. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei x1 durch 3, x2 durch das und x3 durch das. Nun löst du die Klammern auf und fasst zusammen. Minus 2 mal 3 ist minus 6. 3 mal 6 ist 18.

Und 3 mal minus 4t sind minus 12t. 6 mal 4 ist 24. Und 6 mal 2t sind 12t.

Minus 6 plus 18 ist 12. Und 12 plus 24 ist 36. Minus 12t plus 12t fällt weg.

36 ist aber nicht 12. Somit steht hier eine falsche Aussage. Eine falsche Aussage bedeutet, dass g und e parallel sind.

Oder genauer gesagt, echt parallel. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie sind zueinander echt parallel. Somit haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Deshalb hatte die Gleichung keine Lösung, sondern führte zu einer falschen Aussage.

Beispiel 2: Die Gerade liegt in der Ebene

Alle Punkte der Gerade sind gemeinsame Punkte mit der Ebene. Deshalb hat die zugehörige Gleichung unendlich viele Lösungen, was du an einer wahren Aussage erkennst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass die Gerade in der Ebene liegt. Dabei ist die Ebenengleichung in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder sich schneiden, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen. Denn bis dahin ist der Weg gleich.

Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung. Vektor X ist der X1, X2 und X3.

Das bedeutet, X1 ist 3 plus 0t, also einfach 3. X2 ist 6 minus 4t und X3 ist 0 plus 2t, also einfach 2t. Das setzt du nun hier für X1, X2 und X3 ein. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt dabei X1 durch 3, X2 durch das und X3 durch 2t.

Nun löst du die Klammer auf und fasst zusammen. Minus 2 mal 3 ist minus 6. 3 mal 6 ist 18. Und 3 mal minus 4t sind minus 12t.

6 mal 2t sind 12t. Minus 6 plus 18 ist 12. Minus 12t plus 12t fällt weg.

12 ist gleich 12 ist eine wahre Aussage. Eine wahre Aussage bedeutet, dass die Gerade G in der Ebene E liegt. Jetzt erkläre ich dir, warum das so ist.

Der Sinn ist ja, t auszurechnen und in die Geradengleichung einzusetzen, um den gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene zu bestimmen. Diese Aussage ist aber immer wahr, egal was du für t einsetzt. Damit ist nun jeder Punkt der Gerade ein gemeinsamer Punkt mit der Ebene.

Und das geht nur, wenn die Gerade in der Ebene liegt. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Alle Punkte der Geraden sind auch Punkte der Ebene, da die Gerade in der Ebene liegt.

Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene

Gerade und Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam: den Schnittpunkt (Durchstoßpunkt). Deshalb hat die zugehörige Gleichung genau eine Lösung. Setzt du diese in die Geradengleichung ein, kannst du den Schnittpunkt berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich Gerade und Ebene in einem Punkt schneiden. Dabei ist die Ebenengleichung in Koordinatenform. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.

Untersuche die gegenseitige Lage dieser Ebene und dieser Geraden. Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt. Falls du schon das Video gesehen hast, in dem Ebene und Gerade parallel sind oder G in E liegt, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen.

Denn bis dahin ist der Weg gleich. Ich habe die Geradengleichung nur minimal geändert. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung und die Geradengleichung.

Vektor x ist ja x1, x2 und x3. Das bedeutet, x1 ist 3 plus 0t, also einfach 3. x2 ist 6 minus 4t und x3 ist 4 minus 2t. Das setzt du nun hier für x1, x2 und x3 ein.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt x1 durch 3, x2 durch das und x3 durch das. Nun löst du nach t auf. Löse dazu die Klammern auf und fasse zusammen.

Minus 2 mal 3 ist minus 6. 3 mal 6 ist 18 und 3 mal minus 4t sind minus 12t. 6 mal 4 ist 24 und 6 mal minus 2t sind minus 12t. Minus 6 plus 18 ist 12 und 12 plus 24 ist 36.

Minus 12t minus 12t sind minus 24t. Bringe die 36 rüber. 12 minus 36 ist minus 24.

Teile nun durch minus 24. Das ergibt t gleich 1. Hat die Gleichung wie hier eine eindeutige Lösung? Schneiden sich g und e. Hier siehst du die Ebene E und die Gerade G. Sie schneiden sich im Schnittpunkt S. Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du es dir räumlich besser vorstellen kannst. Nun zeige ich dir, wie du den Schnittpunkt ausrechnest.

Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. t ist dieser Parameter. Für t hast du gerade 1 rausbekommen.

Das setzt du nun hier ein und fasst zusammen. Multiplizierst du diese Zahlen jeweils mit 1, ändern sie sich nicht. Das macht dann 3 plus 0 gleich 3, 6 plus minus 4 gleich 2 und 4 plus minus 2 gleich 2. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Schnittpunktes.

Dafür schreibst du hier ein kleines S. Der Schnittpunkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet und hat die gleichen Koordinaten. Anschaulich hast du folgendes gemacht. Das ist der Stützvektor P der Geraden.

Diesen siehst du hier. Das ist der Richtungsvektor U der Geraden. Diesen hast du einmal an den Stützvektor angesetzt.

Dadurch bist du genau beim Schnittpunkt gelandet. Der Pfeil, der im Ursprung beginnt und bis hier geht, ist der Vektor S, den du berechnet hast.

Gerade und Ebene auf Orthogonalität untersuchen / Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform

Manchmal wird auch gefragt, ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal sind. Falls ja, schneidet die Gerade die Ebene senkrecht. Du kennst damit also auch die gegenseitige Lage (sie schneiden sich) und brauchst diese nicht noch zu untersuchen. Der genaue Lösungsweg hängt davon ab, ob die Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform oder in Normalenform / Koordinatenform ist. Deshalb zeige ich dir die Rechnung für beide Fälle. Ist der Richtungsvektor der Geraden jeweils orthogonal zu den beiden Spannvektoren der Ebene, dann sind Gerade und Ebene orthogonal. Das prüfst du mit dem Skalarprodukt. Hinweis: Für den Schnittpunkt wäre zusätzlich eine Rechnung wie im Video Beispiel 3: Die Gerade schneidet die Ebene nötig.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du untersuchst, ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal sind. Dabei ist die Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Für die normalen Form und die Koordinatenform gibt es ein extra Video.

Jetzt lösen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Gerade G die Ebene E senkrecht schneidet. Senkrecht bedeutet orthogonal.

Steht die Gerade senkrecht auf der Ebene, dann steht ihr Richtungsvektor senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene. Das Skalarprodukt ergibt dann jeweils 0. Und das rechnest du jetzt einfach nach. Das ist der Richtungsvektor der Geraden und das ist der erste Spannvektor der Ebene.

Das sind nochmal die Gleichungen aus der Aufgabe. Vektor u schreibst du hier ab und Vektor v schreibst du hier ab. Für das Skalarprodukt rechnest du 1 mal 3 plus minus 1,5 mal 0 plus minus 3 mal 1. 1 mal 3 ist 3. Minus 1,5 mal 0 ist 0. Plus mal minus ergibt minus und 3 mal 1 ist 3. 3 plus 0 minus 3 ist tatsächlich 0. Jetzt rechnest du das gleiche nochmal mit dem zweiten Spannvektor.

Für Vektor w schreibst du also diesen Vektor ab. Das Skalarprodukt ist dann 1 mal 0 plus minus 1,5 mal 2 plus minus 3 mal minus 1. 1 mal 0 ist 0. Plus mal minus ergibt minus und 1,5 mal 2 ist 3. Minus 3 mal minus 1 ist 3. 0 minus 3 plus 3 macht wieder 0. Damit ist die Gerade G senkrecht, also orthogonal zur Ebene E. Anschaulich ist klar, dass sie die Ebene dann auch schneidet. Hier siehst du ein Schaubild.

Das sind die Spannvektoren der Ebene. Und das ist der Richtungsvektor der Geraden. Der Winkel zwischen Vektor u und Vektor v beträgt 90°, auch wenn das aufgrund der Perspektive anders wirkt.

Rechnerisch merkst du das daran, dass das Skalarprodukt 0 ergibt. Ebenso beträgt der Winkel zwischen Vektor u und Vektor v 90°. Somit steht die Gerade senkrecht auf der Ebene und muss diese automatisch schneiden.

Hier ist der Schnittpunkt.

Ebenengleichung in Normalen- oder Koordinatenform

Sind der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel (linear abhängig), dann sind Gerade und Ebene orthogonal.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du untersuchst, ob eine Gerade und eine Ebene orthogonal sind. Dabei ist die Ebenengleichung in normalen Form oder in Koordinatenform. Für die Punktrichtungsform gibt es ein extra Video.

Jetzt lösen wir diese Aufgabe. Zeige, dass die Gerade G die Ebene E senkrecht schneidet. Das ist eine Normalengleichung der Ebene und das ist eine Koordinatengleichung derselben Ebene.

Senkrecht bedeutet orthogonal. Der normalen Vektor steht ja senkrecht auf der Ebene. Wenn G ebenfalls senkrecht zur Ebene sein soll, dann müssen der normalen Vektor und der Richtungsvektor von G parallel sein, also linear abhängig.

Prüfe also, ob der Richtungsvektor U und der normalen Vektor N linear abhängig sind. Falls ja, sind sie vielfache voneinander. Das kannst du so ausdrücken.

Vektor U ist K mal Vektor N. Vektor U ist der Vektor nach dem T aus der Geradengleichung. Vektor N ist der normalen Vektor aus der Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform kannst du ihn hier ablesen.

Nun schreibst du drei einzelne Zeilen dafür. 1 ist gleich K mal minus 2, minus 1,5 ist gleich K mal 3 und minus 3 ist gleich K mal 6. Teile nun jeweils durch diese Zahl, damit K allein auf einer Seite steht. 1 geteilt durch minus 2 ist minus 0,5.

K ist also minus 0,5. Minus 1,5 geteilt durch 3 ist auch minus 0,5 und minus 3 geteilt durch 6 ist auch minus 0,5. K ist also immer minus 0,5.

Wenn immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren linear abhängig. Somit ist die Gerade G senkrecht oder orthogonal zur Ebene E. Anschaulich ist klar, dass die Gerade die Ebene dann auch schneidet. Hier siehst du ein Schaubild.

Ein normaler Vektor steht immer senkrecht auf der Ebene. Er kann durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden. Hier habe ich einen Pfeil gewählt, der genau auf der blauen Geraden liegt.

Dadurch wird deutlich, dass auch die Gerade senkrecht auf der Ebene steht. Der rosane Pfeil stellt den Richtungsvektor U der Geraden dar. Vektor U und Vektor N sind linear abhängig, da Pfeile von ihnen auf ein und derselben Geraden liegen.

Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, muss sie diese automatisch in einem Punkt S schneiden.