Formen einer Ebenengleichung ineinander umwandeln

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• Punkt-Richtungsform in Normalenform umwandeln
• Punkt-Richtungsform in Koordinatenform umwandeln
• Normalenform in Punkt-Richtungsform umwandeln / Normalenform in Koordinatenform umwandeln
• Koordinatenform in Punkt-Richtungsform umwandeln
• Koordinatenform in Normalenform umwandeln

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Punkt-Richtungsform in Normalenform umwandeln

Hierbei übernimmst du den Stützvektor und bestimmst zu den Spannvektoren einen Normalenvektor. Das geht mit dem Vektorprodukt oder dem Skalarprodukt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform in die normalen Form umwandelst. Hier siehst du eine Gleichung in Punktrichtungsform. Sie beschreibt diese Ebene.

Das ist der Stützvektor p, das ist der Richtungsvektor u und das ist der Richtungsvektor v. Eine normale Gleichung sieht allgemein so aus. Du brauchst also einen Stützvektor p und einen normalen Vektor n. Als Stützvektor p kannst du diesen Vektor beibehalten. Ein normaler Vektor n steht senkrecht auf der Ebene.

Einen solchen erhältst du als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren u und v. Vektor n ist also u Kreuz v. Alternativ kannst du einen normalen Vektor auch mit dem Skalarprodukt bestimmen. Dann musst du aber noch ein Gleichungssystem lösen. Das zugehörige Video habe ich dir verlinkt.

Jetzt nehmen wir dafür das Vektorprodukt. Hier siehst du nochmal die Richtungsvektoren bzw. Spannvektoren u und v. Für das Vektorprodukt schreibst du u Kreuz v. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab.

Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor u zweimal untereinander. Das gleiche machst du nochmal für Vektor v. Dann streichst du die letzte Zeile und die erste Zeile durch.

Nun rechnest du 0 mal minus 1, dann kommt ein Minuszeichen und dann rechnest du 1 mal 2. Als nächstes rechnest du 1 mal 0, dann kommt wieder ein Minuszeichen und dann rechnest du 3 mal minus 1. Und für die letzte Zeile rechnest du 3 mal 2, dann kommt wieder ein Minus und zum Schluss rechnest du 0 mal 0. Jetzt fasst du zusammen. 0 mal minus 1 ist 0. Dann überträgst du das Minus und 1 mal 2 ist 2. 1 mal 0 ist 0. Minus mal Minus macht Plus und 3 mal 1 ist 3. 3 mal 2 ist 6. Dann überträgst du das Minus und 0 mal 0 ist 0. 0 minus 2 ist minus 2. 0 plus 3 ist 3 und 6 minus 0 ist 6. Dieser Vektor ist ein normalen Vektor n. Du hast jetzt also Vektor p und Vektor n. Nun setzt du alles hier oben ein. Vektor p ist das und Vektor n ist das.

Das ist eine normale Gleichung der gelben Ebene.

Punkt-Richtungsform in Koordinatenform umwandeln

Hierbei bestimmst du zu den Spannvektoren einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt oder dem Skalarprodukt. Die Koordinaten des Normalenvektors werden zu den Zahlen vor den xi in der Koordinatengleichung. Dann setzt du die Koordinaten des Stützvektors für die xi ein, um b zu berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform in die Koordinatenform umwandelst. Hier siehst du eine Gleichung in Punktrichtungsform. Sie beschreibt diese Ebene.

Das ist der Stützvektor p, das ist der Richtungsvektor u und das ist der Richtungsvektor v. Eine Koordinatengleichung sieht allgemein so aus. Die Zahlen a1, a2 und a3 sind die Koordinaten eines normalen Vektors der Ebene. Wenn du also einen normalen Vektor hättest, wäre die linke Seite schon fertig.

Dann würde nur noch b fehlen. Ein normaler Vektor steht senkrecht auf der Ebene. Einen solchen erhältst du als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren u und v. Vektor n ist also u Kreuz v. Alternativ kannst du einen normalen Vektor auch mit dem Skalarprodukt bestimmen.

Das zugehörige Video habe ich dir verlinkt. Jetzt nehmen wir dafür aber das Vektorprodukt. Hier siehst du nochmal die Richtungsvektoren bzw.

Spannvektoren u und v. Für das Vektorprodukt schreibst du u Kreuz v. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab. Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor u zweimal untereinander.

Das gleiche machst du nochmal für Vektor v. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du 0 mal minus 1, dann kommt ein Minuszeichen und jetzt rechnest du einmal 2. Als nächstes rechnest du einmal 0, dann kommt wieder ein Minus und dann rechnest du 3 mal minus 1. Und für die letzte Zeile rechnest du 3 mal 2, dann kommt wieder ein Minus und dann rechnest du 0 mal 0. Jetzt fasst du zusammen. 0 mal minus 1 ist 0. Dann überträgst du das Minus und einmal 2 ist 2. Einmal 0 ist 0. Minus mal Minus ergibt Plus und 3 mal 1 ist 3. 3 mal 2 ist 6. Dann kommt wieder das Minus und 0 mal 0 ist 0. 0 minus 2 ist minus 2. 0 plus 3 ist 3. Und 6 minus 0 ist 6. Dieser Vektor ist ein normalen Vektor n. Hier siehst du ihn noch mal.

Minus 2 entspricht a1. Das setzt du nun hier ein. 3 entspricht a2.

Das kommt hier hin. Und 6 entspricht a3. Das kommt hier hin.

Nun fehlt nur noch b. Der Stützvektor p führt ja zu diesem Punkt in der Ebene. Dieser Punkt muss also auch diese Gleichung erfüllen. Der Punkt hat die gleichen Koordinaten wie der Stützvektor.

Diese setzt du nun einfach in die Koordinatengleichung ein. 0 ist x1. Minus 2 ist x2.

Und 3 ist x3. Nun kannst du b ausrechnen. Minus 2 mal 0 ist 0. Plus mal Minus ergibt Minus.

Und 3 mal 2 ist 6. 6 mal 3 ist 18. 0 minus 6 ist minus 6. Und minus 6 plus 18 ist 12. b ist also 12.

Nun schreibst du diese Zeile ab und setzt für b 12 ein. Das ist eine Koordinatengleichung der gelben Ebene.

Normalenform in Punkt-Richtungsform umwandeln / Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Das geht leider nicht direkt. Wandle die Normalenform zunächst in die Koordinatenform um und diese dann in die Punkt-Richtungsform! Hierbei hast du 2 Möglichkeiten. Du kannst die Normalengleichung einfach ausmultiplizieren oder folgendes machen: Erst setzt du die Koordinaten des Normalenvektors für die Zahlen vor den xi in die Koordinatengleichung ein. Anschließend setzt du die Koordinaten des Stützvektors für die xi ein, um b zu berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in normalen Form in die Koordinatenform umwandelst. Hier siehst du eine Gleichung in normalen Form. Sie beschreibt diese Ebene.

Das ist der Stützvektor p und das ist der normalen Vektor n. Eine Koordinatengleichung sieht allgemein so aus. Um die normalen Gleichung in diese Form umzuwandeln, hast du zwei Möglichkeiten. Du kannst hier einfach ausmultiplizieren oder du setzt für a1, a2 und a3 die Koordinaten des normalen Vektors ein und bestimmst dann b. Ich würde diesen Weg bevorzugen, deshalb fangen wir damit an.

Anschließend zeige ich dir aber noch die andere Möglichkeit. Die Zahlen a1, a2 und a3 sind die Koordinaten eines normalen Vektors der Ebene. Wie gut, dass hier ja ein normaler Vektor steht.

Den kannst du nämlich einfach dafür einsetzen. Minus 2 ist a1, 3 ist a2 und 6 ist a3. Nun fehlt dir nur noch b. Der zugehörige Punkt zu diesem Vektor liegt in der Ebene e. Deshalb muss er auch diese Ebenengleichung erfüllen.

Setze dort also Punkt p ein. 0 ist x1, minus 2 ist x2 und 3 ist x3. Nun kannst du b ausrechnen.

Minus 2 mal 0 ist 0. Plus mal Minus ergibt Minus und 3 mal 2 ist 6. 6 mal 3 ist 18. 0 minus 6 ist minus 6 und minus 6 plus 18 ist 12. b ist also 12.

Nun schreibst du diese Zeile ab und setzt für b 12 ein. Diese Koordinatengleichung beschreibt dieselbe Ebene wie diese Normalengleichung. Jetzt zeige ich dir die andere Möglichkeit der Umwandlung.

Dazu multiplizierst du die normalen Formen einfach aus. Die Koordinaten von Vektor x sind ja x1, x2 und x3. Nun multiplizierst du aus.

Zum Beispiel ist a minus b mal c das gleiche wie a mal c minus b mal c. Und das funktioniert genauso mit Vektoren. Du rechnest also diesen Vektor mal diesen Vektor. Dann kommt das Minus und dann rechnest du diesen Vektor mal diesen Vektor.

Jetzt bildest du einmal hier das Skalarprodukt und einmal hier. x1 mal minus 2 sind minus 2x1. Dann kommt ein Plus.

x2 mal 3 sind 3x2. Dann kommt wieder ein Plus. Und x3 mal 6 sind 6x3.

Jetzt kommt dieses Minus. Da dieses Skalarprodukt auch eine längere Summe ist, setzt du erstmal Klammern. 0 mal minus 2 ist 0. Minus 2 mal 3 ist minus 6. Statt plus minus 6 schreibst du gleich minus 6. Jetzt kommt wie üblich ein Plus.

Und 3 mal 6 ist 18. Diesen Teil schreibst du ab. Und das in der Klammer fasst du zusammen.

0 minus 6 ist minus 6 und minus 6 plus 18 ist 12. Das ergibt minus 12. Jetzt rechnest du Plus 12, um die 12 rüberzubringen.

Und schon bist du fertig. Damit hast du diese Ebenengleichung in Koordinatenform umgewandelt. Hier siehst du nochmal die Ebene und ihre Gleichung in normalen Form und in Koordinatenform.

Koordinatenform in Punkt-Richtungsform umwandeln

Hierbei setzt du zum Beispiel x1=r und x2=s und löst die Koordinatengleichung nach x3 auf. Nun kannst du die Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform angeben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in Koordinatenform in die Punktrichtungsform umwandelst. Hier siehst du eine Gleichung in Koordinatenform. Sie beschreibt diese Ebene.

Eine Gleichung in Punktrichtungsform sieht allgemein so aus. Du brauchst einen Stützvektor p und zwei Richtungsvektoren u und v. Um diese zu erhalten, setzt du in der Koordinatenform x1 gleich r und x2 gleich s. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt x1 durch r und x2 durch s. Nun löst du nach x3 auf. Um das rüberzubringen, rechnest du plus 2r und um das rüberzubringen, rechnest du minus 3s.

Dann stehen auf der rechten Seite 2r, minus 3s, plus 12. Teile nun durch 6, damit x3 allein steht. Hier musst du jeden Summanden durch 6 teilen.

Das ergibt 2 Sechste. Das ergibt 3 Sechste. Und 12 geteilt durch 6 ist 2. Diesen Bruch kannst du durch 2 kürzen.

Das ergibt ein Drittel. Und diesen Bruch kannst du durch 3 kürzen. Das ergibt ein Halb.

Hier siehst du nochmal die Koordinatenform und was wir jetzt für x1, x2 und x3 haben. Und das ist die Punktrichtungsform. Für Vektor x schreibst du jetzt x1, x2 und x3.

Und nun setzt du ein. x1 ist r, x2 ist s und x3 ist das. Jetzt ziehst du das Ganze auseinander, damit es diese Form hat.

Fangen wir mal in der Mitte an. Als erstes schreibst du r hin und dann kommt ein Vektor. Hier kommt r einmal vor, also schreibst du hier eine 1. Hier kommt r gar nicht vor, also schreibst du eine 0. Und hier haben wir ein Drittel r, also schreibst du ein Drittel.

Jetzt machst du das Gleiche für s. Hier kommt kein s vor, also schreibst du eine 0. Hier kommt s einmal vor, also schreibst du eine 1. Und hier haben wir minus ein Halb s, also schreibst du minus ein Halb. Jetzt fehlt nur noch der Stützvektor. Das ist alles ohne r oder s. Hier steht eine 2, hier steht nichts ohne r oder s und deshalb schreibst du hier jeweils eine 0. Lassen wir die Rechnung mal weg, dann ist das die Punktrichtungsform dieser Ebenengleichung.

Hier siehst du ein Schaubild. Das ist der Stützvektor p und das sind die Spannvektoren u und v. Die gleiche Ebene kann durch unendlich viele Gleichungen beschrieben werden. In den anderen Videos hatten wir dafür zum Beispiel diese Punktrichtungsform.

Diesen Stützvektor siehst du hier. Und die Spannvektoren sind nur länger. Es spielt ja keine Rolle, wie lang die Spannvektoren sind.

Du kannst diesen also auch einfach mit 3 multiplizieren. 1 mal 3 ist 3, 0 mal 3 ist immer noch 0 und ein Drittel mal 3 ist 1. Genauso kannst du diesen Richtungsvektor mit 2 multiplizieren. Dann steht hier eine 0, hier eine 2 und hier minus 1. Beim Stützvektor darfst du das natürlich nicht machen.

Koordinatenform in Normalenform umwandeln

Die Zahlen vor den xi sind die Koordinaten eines Normalenvektors. Bestimme dann einen Punkt, der in der Ebene liegt und nimm seinen Ortsvektor als Stützvektor für die Normalengleichung!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in Koordinatenform in die normalen Form umwandelst. Hier siehst du eine Gleichung in Koordinatenform. Sie beschreibt diese Ebene.

Eine normale Gleichung sieht allgemein so aus. Du brauchst einen Stützvektor p und einen normalen Vektor n. Einen normalen Vektor erhältst du direkt aus den Zahlen vor den x-Koordinaten. Wichtig ist die Reihenfolge.

Erst kommt die Zahl vor x1, dann vor x2 und dann vor x3. Sollte eine x-Koordinate fehlen, schreibst du dafür eine 0. Nun fehlt noch ein Stützvektor p. Dazu legst du zwei Koordinaten fest, z. B. x1 und x2 gleich 0. Die dritte Koordinate rechnest du mit der Koordinatenform aus. Setzt du hier für x1 und x2 0 ein, bleibt 6x3 gleich 12 übrig.

Teilst du durch 6, erhältst du x3 gleich 2. Das schreibst du nun als Vektor auf. 0 0 2. Nun setzt du alles in die allgemeine normalen Form ein. Für Vektor p setzt du das ein und für Vektor n setzt du das ein.

Damit hast du diese Ebenengleichung in die normalen Form umgewandelt. Die gleiche Ebene kann durch unendlich viele normalen Gleichungen beschrieben werden. In den anderen Videos hatten wir dafür z. B. diese normalen Gleichungen.

Hättest du beim Stützvektor diese Koordinaten gewählt, wäre dieser Stützvektor rausgekommen.