Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene
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Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Je nach Lage kann eine Ebene 1 bis 3 Spurpunkte haben. Eine Gerade durch 2 solcher Spurpunkte heißt Spurgerade. Das ist die Schnittgerade der Ebene mit einer Koordinatenebene. Um die Spurpunkte und Spurgeraden zu bestimmen, muss die Ebenengleichung in Koordinatenform sein. So kannst du andere Formen in die Koordinatenform umwandeln.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene bestimmst. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe. Bestimme die Spurpunkte und Spurgeraden dieser Ebene.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Hier siehst du die Ebene E. Die Spurpunkte sind diese drei Punkte. Das siehst du noch deutlicher in dieser Darstellung.
Hier ist nur ein Teil der Ebene gelb gefärbt und der Rest ist grau. Verbindest du je zwei Spurpunkte und verlängerst die Linie, erhältst du die Spurgeraden. Das sind also die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen.
In der Aufgabe könnten statt Spurpunkte und Spurgeraden also genauso gut die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen gesucht sein. Jetzt zeige ich dir, wie du diese Punkte und Geraden bestimmst. Beginnen wir mit dem Schnittpunkt mit der X1-Achse.
Alle Punkte auf der X1-Achse haben die X2- und X3-Koordinate 0. Hier siehst du nochmal die Ebenengleichung. Wenn du hier und hier 0 einsetzt, bleibt nur 3x1 gleich 12 übrig. Teilst du durch 3, erhältst du x1 gleich 4. Die Ebene schneidet die X1-Achse also bei 4. Der zugehörige Schnittpunkt hat dann folgende Koordinaten.
X1 ist 4 und die anderen beiden Koordinaten sind 0. Nun berechnest du den Schnittpunkt mit der X2-Achse. Auf dieser Achse sind X1 und X3 gleich 0. Setzt du das hier und hier ein, bleibt 4x2 gleich 12 übrig. Teilst du durch 4, erhältst du x2 gleich 3. Die Ebene schneidet die X2-Achse also bei 3. Der zugehörige Schnittpunkt hat die Koordinaten 0,3,0.
Nun berechnest du noch den Schnittpunkt mit der X3-Achse. Auf dieser Achse sind X1 und X2 gleich 0. Setzt du das hier und hier ein, bleibt 2x3 gleich 12 übrig. Teilst du durch 2, erhältst du x3 gleich 6. Die Ebene schneidet die X3-Achse also bei 6. Der zugehörige Schnittpunkt hat die Koordinaten 0,0,6.
Das sind die gesuchten Spurpunkte. Jetzt bestimmen wir die Spurgeraden. Als erstes bestimmen wir die Schnittgerade mit der x1,x2-Ebene.
Diese Gerade verläuft durch diese beiden Spurpunkte. Und mit zwei Punkten kannst du eine Geradengleichung aufstellen. Hier siehst du nochmal die Koordinaten der Spurpunkte S1 und S2.
Die zugehörige Spurgerade bezeichnest du mit S1,2. Das ist ein kleines S. Und das ist jeweils ein großes S. Die Gleichung einer Gerade lautet allgemein Vektor X ist gleich Vektor P plus R mal Vektor U. Du brauchst also einen Stützvektor P und einen Richtungsvektor U. Als Stützvektor schreibst du die Koordinaten von S1 als Vektor auf, also 4,0,0. Nun brauchst du noch einen Richtungsvektor U. Dafür nimmst du den Verbindungsvektor von S1 zu S2.
Um diesen zu bestimmen, rechnest du Ende minus Anfang. Du schreibst also die Koordinaten von S2 als Vektor auf, dann kommt ein Minus und dann schreibst du die Koordinaten von S1 als Vektor auf. 0 minus 4 ist minus 4. 3 minus 0 ist 3 und 0 minus 0 ist 0. Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein.
Diese Gleichung beschreibt Spurgerade. Auf die gleiche Weise bestimmst du nun diese beiden Spurgeraden. Die Spurgerade S13 verläuft durch die Spurpunkte S1 und S3.
Ihre Koordinaten siehst du hier nochmal. Als Stützvektor schreibst du die Koordinaten von S1 als Vektor auf, also 4,0,0. Als Richtungsvektor U nimmst du den Verbindungsvektor von S1 zu S3.
Dafür rechnest du Ende minus Anfang. Du schreibst also die Koordinaten von S3 als Vektor auf, dann kommt ein Minus und dann schreibst du die Koordinaten von S1 als Vektor auf. 0 minus 4 ist minus 4. 0 minus 0 ist 0 und 6 minus 0 ist 6. Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein.
Diese Gleichung beschreibt die Schnittgerade mit der x1 x3 Ebene. Nun bestimmen wir noch die letzte Spurgerade. Die Spurgerade S23 verläuft durch die Spurpunkte S2 und S3.
Ihre Koordinaten siehst du hier nochmal. Als Stützvektor schreibst du die Koordinaten von S2 als Vektor auf, also 0,3,0. Als Richtungsvektor U nimmst du den Verbindungsvektor von S2 zu S3.
Dafür rechnest du Ende minus Anfang. Du schreibst also die Koordinaten von S3 als Vektor auf, dann kommt ein Minus und dann schreibst du die Koordinaten von S2 als Vektor auf. 0 minus 0 ist 0. 0 minus 3 ist minus 3 und 6 minus 0 ist 6. Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein.
Diese Gleichung beschreibt die Schnittgerade mit der x2 x3 Ebene.
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