Besondere Lage von Ebenen erkennen
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Besondere Lage von Ebenen erkennen
In diesem Video lernst du, an der Ebenengleichung zu erkennen, ob die Ebene eine besondere Lage hat. Damit ist gemeint, dass sie - mit einer Koordinatenebene identisch, - zu einer Koordinatenebene parallel - oder zu einer Koordinatenachse parallel ist. Ich zeige dir genau, worauf du bei einer Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform, in Normalenform und in Koordinatenform achten musst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du an der Gleichung erkennst, dass eine Ebene eine besondere Lage hat. Damit ist gemeint, dass sie zu einer Koordinatenachse oder Koordinatenebene parallel ist oder sogar einer dieser Ebenen entspricht. Beginnen wir mit der x1, x2 Ebene.
Hier siehst du jeweils eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform, in normalen Form und in Koordinatenform. Alle Punkte in dieser Ebene haben die x3-Koordinate 0. Deshalb ist das auch die Koordinatengleichung dieser Ebene. Bei der normalen Form und der Punktrichtungsform liegt der Stützvektor in dieser Ebene.
Das heißt x3 ist 0. Die anderen beiden Koordinaten sind egal, sie dürften auch 0 sein. Der Stützvektor 3, 4, 0 ist hier. Ein normaler Vektor steht senkrecht auf dieser Ebene, so wie die x3-Achse.
Er zeigt also geradewegs nach oben oder unten. Deshalb ist x3 beim normalen Vektor nicht 0, sondern z.B. 6 und die anderen Koordinaten sind 0, denn sonst wäre der Vektor nicht senkrecht, sondern schräg. Bei der Punktrichtungsform verlaufen die Richtungsvektoren in dieser Ebene.
Sie führen also nicht nach oben oder unten. Das erkennst du daran, dass x3 jeweils 0 ist. Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Heben wir diese Ebene z.B. um eine Einheit an, erhalten wir eine Ebene, die parallel zur x1-x2-Ebene ist.
Genauso könnten wir sie auch absenken. x3 ist jetzt also 1. Das ist die Koordinatendarstellung dieser Ebene. Beim Stützvektor steht hier nun auch eine 1. Der Rest hat sich nicht geändert.
Kommen wir zur x1-x3-Ebene. Alle Punkte in dieser Ebene haben die x2-Koordinate 0. Deshalb ist das auch die Koordinatengleichung dieser Ebene. Bei der normalen Form und der Punktrichtungsform liegt der Stützvektor in dieser Ebene.
Das heißt x2 ist 0. Die anderen beiden Koordinaten sind egal. Das ist der Nullvektor und diesen braucht man nicht extra hinzuschreiben. Dann sehen die Gleichungen so aus.
Ein normaler Vektor steht senkrecht auf dieser Ebene, so wie die x2-Achse. Er zeigt also geradewegs nach rechts oder links. Deshalb ist x2 beim normalen Vektor nicht 0, sondern zum Beispiel 6 und die anderen Koordinaten sind 0. Bei der Punktrichtungsform verlaufen die beiden Richtungsvektoren in dieser Ebene.
Sie führen also nicht nach rechts oder links. Das erkennst du daran, dass x2 jeweils 0 ist. Das ist der Vektor u und das ist der Vektor v. Versetzen wir diese Ebene zum Beispiel um zwei Einheiten nach rechts, erhalten wir eine Ebene, die parallel zur x1-x3-Ebene ist.
Genauso könnten wir sie auch nach links versetzen. x2 ist jetzt also 2. Das ist die Koordinatendarstellung dieser Ebene. Beim Stützvektor steht hier nun auch eine 2. Die anderen beiden Koordinaten sind egal.
Hier siehst du diesen Stützvektor. Der Rest hat sich nicht geändert. Kommen wir zur letzten Koordinatenebene, der x2-x3-Ebene.
Alle Punkte in dieser Ebene haben die x1-Koordinate 0. Deshalb ist das auch die Koordinatengleichung dieser Ebene. Bei der normalen Form und der Punktrichtungsform liegt der Stützvektor in dieser Ebene. Das heißt x1 ist 0. Die anderen beiden Koordinaten sind egal.
Der Stützvektor 0,2,3 ist hier. Ein normaler Vektor steht senkrecht auf dieser Ebene, so wie die x1-Achse. Er zeigt also geradewegs nach vorn oder hinten.
Deshalb ist x1 beim normalen Vektor nicht 0, sondern zum Beispiel 3. Und die anderen Koordinaten sind 0. Bei der Punktrichtungsform verlaufen die beiden Richtungsvektoren in dieser Ebene. Sie führen also nicht nach vorn oder hinten. Das erkennst du daran, dass x1 jeweils 0 ist.
Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Versetzen wir diese Ebene zum Beispiel um eine Einheit nach hinten, erhalten wir eine Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist. Genauso könnten wir sie nach vorne versetzen. x1 ist jetzt also –1.
Das ist die Koordinatendarstellung dieser Ebene. Beim Stützvektor steht hier nun auch –1. Der Rest hat sich nicht geändert.
Bisher kam in der Koordinatenform nur eine x-Koordinate vor, hier x1. Auch wenn zwei x-Koordinaten vorkommen, lässt sich die Lage der Ebene schnell erkennen. Jetzt schauen wir uns also nur noch die Koordinatenform an.
Hier fehlt x3. Deshalb ist die Ebene zur x3-Achse parallel. Hier fehlt x2.
Deshalb ist die Ebene zur x2-Achse parallel. Und hier fehlt x1. Deshalb ist die Ebene zur x1-Achse parallel.
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