Punktprobe bei Ebenen
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Punktprobe bei Punkt-Richtungsform
Mit einer Punktprobe findest du heraus, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder nicht. Der Rechenweg hängt von der Form der Ebenengleichung ab. Mit einer Punktprobe kannst du auch herausfinden, ob ein Punkt auf einer vorgegebenen Geraden liegt oder nicht. So machst du eine Punktprobe, wenn die Ebenengleichung in Punkt-Richtungsform gegeben ist.
Lösungsbeschreibung
Mit einer Punktprobe findest du heraus, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene liegt oder nicht. In diesem Video zeige ich dir, wie das bei einer Ebenengleichung in Punktrichtungsform geht. Dazu lesen wir diese Aufgabe.
Liegt dieser Punkt in dieser Ebene? Dazu setzt du den Punkt Q als Vektor geschrieben für Vektor X ein. Du schreibst also einen Vektor mit den Koordinaten 3,-4,5. Die rechte Seite schreibst du ab.
Nun bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Außerdem tauschst du noch die Seiten. Dieser Vektor minus dieser Vektor steht dann also rechts und das steht links.
Nun fasst du zusammen. 3,-0 ist 3. Minus 4 minus minus 2 ist das gleiche wie minus 4 plus 2 und das macht minus 2. Und 5 minus 3 ist 2. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.
Daraus machst du nun drei einzelne Gleichungen. Da es aber nur zwei Unbekannte gibt, brauchst du erstmal nur die oberen beiden. Das ergibt 3r plus 0s, das kannst du gleich weglassen, gleich 3. Jetzt kommt die zweite Gleichung.
0r kannst du wieder weglassen. 2s gleich minus 2. Die Gleichungen kannst du noch mit römischen Ziffern nummerieren. Teilst du die erste Gleichung durch 3, erhältst du r gleich 1. Teilst du die zweite Gleichung durch 2, erhältst du s gleich minus 1. Nicht immer lässt sich das Gleichungssystem so schnell lösen.
Meist brauchst du noch das Additionsverfahren, um zunächst eine Variable zu eliminieren. Da das Gleichungssystem aber eigentlich drei Gleichungen hat, prüfst du nun, ob damit auch die dritte Gleichung erfüllt ist. Die dritte Gleichung lautet r minus s gleich 2. Also r minus s gleich 2. Nun setzt du für r 1 ein und für s setzt du minus 1 ein.
1 minus minus 1 ist das gleiche wie 1 plus 1 und das ist 2. Somit steht hier eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Die dritte Gleichung ist also ebenfalls erfüllt. Somit ist das Gleichungssystem lösbar mit r gleich 1 und s gleich minus 1. Und das bedeutet, der Punkt Q liegt in der Ebene E. Hier siehst du die Ebene.
Das ist der Stützvektor. Das ist der Richtungsvektor U. Und das ist der Richtungsvektor V. Für r hast du 1 rausbekommen und für s minus 1. Das ist im Prinzip eine Beschreibung, wie du zum Punkt Q kommst. Du setzt an den Stützvektor einmal Vektor U an.
Und daran setzt du einmal Minusvektor V an. Das ist der Gegenvektor. Dort liegt dann der Punkt Q.
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Punktprobe bei Normalenform
So machst du eine Punktprobe bei einer Ebenengleichung in Normalenform (Normalengleichung).
Lösungsbeschreibung
Mit einer Punktprobe findest du heraus, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene liegt oder nicht. In diesem Video zeige ich dir, wie das bei einer Ebenengleichung in normalen Form geht. Dazu lesen wir diese Aufgabe.
Liegt dieser Punkt in dieser Ebene? Für die Punktprobe setzt du den Punkt Q als Vektor geschrieben für Vektor X ein. Du schreibst also einen Vektor mit den Koordinaten 3, minus 4, 5. Den Rest schreibst du einfach ab. Nun rechnest du die linke Seite aus.
Kommt dabei tatsächlich 0 raus, dann liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht. Als erstes fasst du zusammen. 3 minus 0 ist 3. Minus 4 minus minus 2 ist das gleiche wie minus 4 plus 2. Und das ist minus 2. Und 5 minus 3 ist 2. Nun bildest du das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren.
Das ist 3 mal minus 2 plus minus 2 mal 3 plus 2 mal 6. 3 mal minus 2 ist minus 6. Plus mal minus ergibt minus und 2 mal 3 ist 6. 2 mal 6 ist 12. Minus 6 minus 6 ist minus 12. Und minus 12 plus 12 ist 0. Somit steht hier eine wahre Aussage, was du mit W.A. abkürzen kannst.
Das bedeutet, der Punkt Q liegt in der Ebene E. Hier siehst du die Ebene. Das ist der Stützvektor und das ist der normalen Vektor. Hier liegt der Punkt Q. Das ist also Vektor Q. Und das ist Vektor Q minus Vektor P. Da der Punkt Q in der Ebene liegt, liegt auch dieser Vektor in der Ebene.
Somit ist das Skalarprodukt von diesem Vektor und Vektor N gleich 0. Also dieses Produkt ist 0. Deshalb kam ja auch eine wahre Aussage raus, als du hier für Vektor X Vektor Q eingesetzt hast. Dieser Winkel beträgt also 90°, auch wenn es wegen der Perspektive anders wirkt.
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Punktprobe bei Koordinatenform
Am einfachsten geht die Punktprobe bei einer Ebenengleichung in Koordinatenform (Koordinatengleichung).
Lösungsbeschreibung
Mit einer Punktprobe findest du heraus, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene liegt oder nicht. In diesem Video zeige ich dir, wie das bei einer Ebenengleichung in Koordinatenform geht. Dazu lesen wir diese Aufgabe.
Liegt dieser Punkt in dieser Ebene? Dazu setzt du die Koordinaten von q für x1, x2 und x3 ein. Ergibt die linke Seite dann tatsächlich 12, dann liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht. Du schreibst also diese Zeile ab und setzt für x1 3 ein, für x2 minus 4 und für x3 5. Nun rechnest du die linke Seite aus.
Minus 2 mal 3 ist minus 6. Plus mal minus ergibt minus und 3 mal 4 ist 12. 6 mal 5 ist 30. Minus 6 minus 12 ist minus 18.
Und minus 18 plus 30 sind tatsächlich 12. Somit steht hier eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Das bedeutet, der Punkt q liegt in der Ebene E. Die grünen Linien verdeutlichen die Koordinaten.
Du gehst 3 in x1-Richtung, 4 entgegen der x2-Richtung und 5 in x3-Richtung. Dort liegt der Punkt q in der Ebene E.
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