HESSE-Form

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HESSE-Form

Eine Ebenengleichung kann auch in der HESSE-Form angegeben werden. Dabei gehst du entweder von der Normalenform oder der Koordinatenform aus und normierst den Normalenvektor. Dadurch erhältst du einen Normaleneinheitsvektor. In diesem Video zeige ich dir, wie das geht. Die HESSE-Form einer Normalengleichung wird auch HESSE'sche Normalenform genannt. Mit der Hesse-Form kannst du den Abstand eines Punktes von der Ebene berechnen. Eine Ebenengleichung lässt sich außerdem in der Punkt-Richtungsform angeben.

Lösungsbeschreibung

Eine Ebenengleichung kann auch in der Hesseform angegeben werden. In diesem Video zeige ich dir, wie das geht. Dabei gehst du entweder von der normalen Form aus oder von der Koordinatenform.

Hier siehst du eine Ebene E. Das ist eine zugehörige Gleichung in normalen Form und das in Koordinatenform. Das ist ein Stützvektor. Er führt zu diesem Punkt in der Ebene.

Und das ist ein normalen Vektor. Das heißt, er steht senkrecht auf der Ebene. Bei der Hesseform geht es darum, den normalen Vektor zu normieren, also so zu strecken oder zu stauchen, dass er die Länge 1 hat.

Das ist auch schon alles. Du schreibst also erstmal den normalen Vektor ab. Bei der Koordinatenform findest du seine Koordinaten hier.

Minus 2, 3, 6. Nun rechnen wir erstmal aus, wie lang die Pfeile dieses Vektors eigentlich sind. Die Länge entspricht dem Betrag des Vektors. Dazu machst du Betragsstriche um den Vektor n. Dann machst du eine Wurzel und rechnest.

Minus 2 zum Quadrat, plus 3 zum Quadrat, plus 6 zum Quadrat. Minus 2 zum Quadrat ist 4. 3 zum Quadrat ist 9 und 6 zum Quadrat ist 36. 36 plus 4 sind 40 und 40 plus 9 sind 49.

Die Wurzel daraus ist 7. Dieser Pfeil ist also 7 Einheiten lang. Er ist also länger als eine Einheit. Würdest du die 7 mit ein Siebtel multiplizieren, käme 1 raus.

Also machst du genau das mit dem Vektor n. Du schreibst den Vektor ab und davor den Faktor ein Siebtel. Der Faktor ist also immer 1 durch den Betrag, den du ausgerechnet hast. Auch wenn der normale Vektor ursprünglich kürzer als 1 war.

Dadurch hast du den normalen Vektor n normiert. Der normierte Vektor ist ein normalen Einheitsvektor. Er wird mit n0 bezeichnet und hat die Länge 1. Hier siehst du einen Pfeil davon.

Er verläuft wie der rote Pfeil, hat aber genau die Länge 1. Jetzt zeige ich dir, wie du damit die Hesseform aufstellst. Beginnen wir mit der normalen Form. Für die hessische normalen Form schreibst du die Gleichung einfach ab und schreibst den Faktor ein Siebtel vor den normalen Vektor.

Das hier war Vektor n. Und das ist jetzt Vektor n0. Das ist alles. Und bei der Koordinatenform bringst du zuerst die 12 rüber, indem du minus 12 rechnest.

Hier steht dann eine 0. Nun multiplizierst du die Gleichung mit dem Faktor ein Siebtel. Dazu machst du einfach einen Bruchstrich und schreibst die 7 darunter. 0 mal ein Siebtel ist immer noch 0. Das ist die Hesseform in Koordinatendarstellung.

Die Hesseform benutzt du eigentlich nur, um den Abstand eines Punktes von der Ebene zu berechnen. Das geht damit nämlich ganz leicht.