Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

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• Welches Lösungsverfahren soll ich benutzen?
• Wie löse ich ein LGS mit dem Einsetzungsverfahren?
• Wie löse ich ein LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren?
• Wie löse ich ein LGS mit dem Additionsverfahren?
• Was muss ich über die Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen eines LGS wissen?
• Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?
• Wie lässt sich die Lösung eines LGS geometrisch interpretieren?

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Welches Lösungsverfahren soll ich benutzen?

Um ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen zu lösen, hast du 3 Möglichkeiten: - das Einsetzungsverfahren, - das Gleichsetzungsverfahren - und das Additionsverfahren. Wann welches Verfahren am besten geeignet ist, erkläre ich dir im folgenden Video. Wichtig sind sie alle 3! Das Additionsverfahren brauchst du später wieder, um "größere" Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen und 3 Variablen zu lösen. Das Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren benutzt du noch bei vielen anderen Aufgaben, bei denen es dir wahrscheinlich gar nicht bewusst ist. Zum Beispiel beim Berechnen der Schnittpunkte zweier Graphen.

Lösungsbeschreibung

Um ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen zu lösen, hast du drei Möglichkeiten. Das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Aber welches ist am besten geeignet? Das hängt vom Gleichungssystem ab.

Es gibt immer ein Verfahren, das im jeweiligen Fall schneller zum Ziel führt als die anderen. Das bedeutet nicht, dass die anderen Verfahren falsch sind. Der Rechenweg ist damit nur länger, weil du eine oder beide Gleichungen erst entsprechend umstellen musst.

Jetzt zeige ich dir, wann welches Verfahren am besten geeignet ist. Dazu nehmen wir diese drei Gleichungssysteme. Wenn du genauer hinsiehst, fällt dir auf, dass ich die Gleichungen jeweils nur ein bisschen umgestellt habe.

Die drei Gleichungssysteme haben deshalb logischerweise die gleiche Lösung. In der Mathematik sagt man, sie sind äquivalent. Sieht das Gleichungssystem so aus wie hier, ist das Einsetzungsverfahren am besten geeignet.

Die zweite Gleichung ist nach x aufgelöst. x ist nämlich y-1 und das kannst du direkt hier oben für x einsetzen. Steht auf einer Seite beide Male die gleiche Variable, wie hier y, dann ist das Gleichsetzungsverfahren am besten geeignet.

Wenn nämlich das hier y ist und das hier auch, dann müssen diese beiden Ausdrücke gleich sein. Also kannst du sie gleichsetzen. Stehen die Variablen so untereinander wie hier, ist das Additionsverfahren am besten geeignet.

Somit wäre das Additionsverfahren hier auch eine gute Wahl gewesen, da y und x jeweils untereinander stehen. Merke dir, es gibt kein richtiges oder falsches Verfahren. Alle Verfahren führen zum Ziel, mal schneller und mal langsamer.

In den folgenden Videos rechne ich dir die drei Beispiele ausführlich vor.

Wie löse ich ein LGS mit dem Einsetzungsverfahren?

n diesem Video zeige ich dir, wie du ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren löst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir das Einsetzungsverfahren. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Die zweite Gleichung ist nach x aufgelöst.

x ist nämlich y-1. Und das kannst du direkt hier oben für x einsetzen. Ich schreibe das immer so auf.

Du schreibst also die erste Gleichung ab und setzt für x y-1 ein. Wegen dem Minus muss das in Klammern stehen. Vorher kamen x und y in der Gleichung vor.

Das war schlecht, denn so konntest du x und y nicht ausrechnen. Jetzt kommt nur noch y vor. Das ist gut, denn nun kannst du y ausrechnen.

Löse als erstes die Klammer auf. 2 mal y sind 2y und 2 mal minus 1 ist minus 2. 2y plus y sind 3y. Nun bringst du die 2 rüber.

Und anschließend teilst du durch 3. Nun weißt du, dass y 2 ist. Und das kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen. x ist also 2 minus 1. Und das macht 1. Die Lösung kannst du noch als Punkt aufschreiben.

Erst kommt x und dann y. Warum die Lösung eigentlich ein Punkt ist und warum ich diesen Punkt S genannt habe, erfährst du im Video zur geometrischen Interpretation.

Wie löse ich ein LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren?

In diesem Video zeige ich dir, wie du ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren löst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir das Gleichsetzungsverfahren. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Steht auf einer Seite beide Male die gleiche Variable, wie hier y, dann ist das Gleichsetzungsverfahren am besten geeignet.

Wenn nämlich das hier y ist und das hier auch, dann müssen diese beiden Ausdrücke gleich sein, also kannst du sie gleichsetzen. Ich schreibe das immer so auf. Du schreibst also das hier ab, dann kommt ein Istgleichzeichen und dann schreibst du das hier ab.

Vorher kamen x und y in jeder Gleichung vor. Das war schlecht, denn so konntest du x und y nicht ausrechnen. Jetzt hast du eine neue Gleichung, in der nur noch x vorkommt.

Das ist gut, denn nun kannst du x ausrechnen. Bringe die 2x rüber und nun die 1. Nun teilst du noch durch 3. Jetzt weißt du, dass x 1 ist. Und das kannst du in eine der Gleichungen einsetzen, um y auszurechnen.

Ich würde die zweite Gleichung nehmen, weil du da weniger rechnen musst. y ist also 1 plus 1. Und das macht 2. Die Lösung kannst du noch als Punkt aufschreiben. Erst kommt x und dann y. Warum die Lösung eigentlich ein Punkt ist und warum ich diesen Punkt S genannt habe, erfährst du im Video zur geometrischen Interpretation.

Wie löse ich ein LGS mit dem Additionsverfahren?

Das Additionsverfahren ist besonders wichtig, weil du es bei größeren Gleichungssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Variablen wieder brauchst. In diesem Video zeige ich dir, wie das Additionsverfahren funktioniert.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir das Additionsverfahren. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Stehen die Variablen so untereinander wie hier, ist das Additionsverfahren am besten geeignet.

Dabei rechnest du die beiden Gleichungen so zusammen, dass eine Variable wegfällt. Du musst also erstmal entscheiden, ob du x oder y weghaben willst. Deshalb siehst du hier zwei Varianten.

Hier habe ich y eliminiert. Und hier x. Und das geht so. Fangen wir mit Variante 1 an.

Hier soll x wegfallen. Dazu müssten hier –2x stehen. Denn 2x – 2x ist 0. Deshalb multiplizierst du –x einfach mit 2. Das schreibst du neben die Gleichung.

Außerdem kannst du diesen Pfeil an die Seite machen. Er bedeutet, dass du die beiden Gleichungen zusammenrechnest. x fällt also weg.

Nun musst du aber noch die anderen Einträge zusammenrechnen. y mal 2 sind 2y. Und y plus 2y sind 3y.

1 mal 2 ist 2. Und 4 plus 2 ist 6. Jetzt teilst du noch durch 3 und schon weißt du, dass y 2 ist. Und das kannst du in eine der Gleichungen einsetzen, um x auszurechnen. Welche Gleichung du nimmst, ist egal.

Nimm die, wo du weniger rechnen musst. Ich habe mich für die erste Gleichung entschieden. Das kannst du so aufschreiben.

Die zweite Gleichung wäre aber genauso gut. Jetzt schreibst du die Gleichung ab und setzt für y die Zahl 2 ein. Bringe die 2 rüber und teile nun noch durch 2. x ist somit 1. Die Lösung kannst du noch als Punkt aufschreiben.

Erst kommt x und dann y. Warum die Lösung eigentlich ein Punkt ist und warum ich diesen Punkt S genannt habe, erfährst du im Video zur geometrischen Interpretation. Jetzt zeige ich dir noch die zweite Variante. Diesmal soll y wegfallen.

Dazu müsste hier minus y stehen. Denn y minus y ist 0. Deshalb multiplizierst du y einfach mit minus 1. Das schreibst du neben die Gleichung. y fällt also weg.

Nun musst du aber noch die anderen Einträge zusammenrechnen. Minus x mal minus 1 ist plus x. 2x plus x sind 3x. 1 mal minus 1 ist minus 1 und 4 minus 1 ist 3. Teile nun durch 3 und du erhältst x ist gleich 1. Das kannst du wieder in eine der Gleichungen einsetzen, um die andere Variable auszurechnen.

Diesmal habe ich mich für die zweite Gleichung entschieden. Schreibe also die Gleichung ab und setze für x 1 ein. Rechne plus 1 und du erhältst y gleich 2. Es kommt natürlich das Gleiche raus wie bei der ersten Variante.

Was muss ich über die Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen eines LGS wissen?

Ein lineares Gleichungssystem hat entweder - genau eine Lösung, - keine Lösung - oder unendlich viele Lösungen. Den Fall "genau eine Lösung" hast du in den obigen Videos gesehen. Es kann aber auch sein, dass das Gleichungssystem nicht lösbar ist oder unendlich viele Lösungen hat. Woran du das erkennst und was dann zu tun ist, zeige ich dir in den folgenden Videos. Wann hat ein LGS keine Lösung? In diesem Video zeige ich dir, wann ein LGS nicht lösbar ist. Weiter unten erfährst du, was das geometrisch bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen, das keine Lösung hat. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Hier bieten sich das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren an.

Ich habe mich für das Additionsverfahren entschieden und y soll wegfallen. Dazu müsste hier –y stehen, denn y–y ist 0. Also multiplizierst du y einfach mit –1. y fällt somit weg und hier schreibst du dafür eine 0 hin.

Nun musst du noch die anderen Einträge zusammenrechnen. x mal –1 ist –x, somit fällt auch x weg. 1 mal –1 ist –1 und –1–1 ist –2.

0 ist gleich –2 ist jedoch eine falsche Aussage, was du mit f.a. abkürzen kannst. Daraus folgt, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Was das anschaulich bedeutet, zeige ich dir im Video zur geometrischen Interpretation.

Beim Gleichsetzungsverfahren hättest du natürlich auch eine falsche Aussage erhalten.

Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?

In diesem Video zeige ich dir, wann ein LGS unendlich viele Lösungen hat und wie du diese alle aufschreiben kannst. Weiter unten erfährst du, was das geometrisch bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen, das unendlich viele Lösungen hat. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Hier bieten sich das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren an.

Ich habe mich für das Additionsverfahren entschieden. Und y soll wegfallen. Dazu müssten hier –2y stehen.

Denn –2y plus 2y macht 0. Also multiplizierst du y einfach mit –2. y fällt somit weg. Und hier schreibst du dafür einen 0 hin.

Nun musst du noch die anderen Einträge zusammenrechnen. x mal –2 sind –2x. Somit fällt auch x weg.

–1 mal –2 ist 2 und 2 minus 2 ist 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Daraus folgt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Beim Einsetzungsverfahren hättest du natürlich auch eine wahre Aussage erhalten.

Vermutlich weißt du jetzt nicht recht, wie du die Lösungen angeben sollst, weil beide Variablen weggefallen sind. Setze x gleich t. t steht für eine beliebige reelle Zahl. Nun setzt du wie üblich x in eine der beiden Gleichungen ein, um y auszurechnen.

Ich würde die erste Gleichung nehmen, weil du da nichts weiter rechnen musst. y ist also t minus 1. Die Lösungen kannst du so aufschreiben. Erst kommt x und dann y. Dahinter schreibst du, was man für t einsetzen darf.

Für t darf man eine beliebige reelle Zahl einsetzen. Da es unendlich viele reelle Zahlen gibt, hast du es auf diese Weise geschafft, unendlich viele Lösungen in einer einzigen Zeile aufzuschreiben. Je nachdem, welche Zahl man für t einsetzt, erhält man einen anderen Punkt im Koordinatensystem.

Alle diese Punkte liegen auf einer Geraden. Mehr dazu im Video zur geometrischen Interpretation.

Wie lässt sich die Lösung eines LGS geometrisch interpretieren?

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich sehr schön veranschaulichen. In diesem Video erfährst du, was hinter der Lösung eines LGS steckt und was es bedeutet, wenn ein LGS keine Lösung hat.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen anschaulich bedeutet. Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der Ebene. Bestimmt kennst du die allgemeine Geradengleichung y ist gleich mx plus b. Statt b wird auch oft der Buchstabe c verwendet.

m ist der Anstieg bzw. die Steigung der Gerade und b ist die Schnittstelle mit der y-Achse. Jede Gleichung des Gleichungssystems lässt sich in diese Form bringen.

Nehmen wir zum Beispiel die Gleichung 2x plus y gleich 4. Bringst du die 2x auf die andere Seite, hast du die übliche Form einer Geradengleichung. Diese Gerade hat die Steigung minus 2, sie fällt also bzw. verläuft schräg nach unten und schneidet die y-Achse bei 4. Die zwei Gleichungen eines linearen Gleichungssystems stehen also für zwei Geraden in der Ebene.

Und die Lösung des Gleichungssystems gibt an, wie diese Geraden zueinander liegen. Dafür gibt es drei Möglichkeiten. Hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, dann schneiden sich die Geraden.

Die Lösungen sind die Koordinaten x und y, das Schnittpunkt des S. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, dann verlaufen die Geraden parallel, wie zum Beispiel hier. Hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch. Sie haben also jeden ihrer Punkte gemeinsam.

Es gibt sozusagen nur eine Gerade, die auf zwei verschiedene Weisen durch eine Gleichung dargestellt wurde. Die Lösung des Gleichungssystems ist die Gerade selbst.