Koordinatenform
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Koordinatenform
Die Koordinatenform wird benutzt, um eine Ebene zu zeichnen. Du kannst damit nämlich leicht die Schnittstellen der Ebene mit den Koordinatenachsen ausrechnen. Die Schnittpunkte nennt man auch Spurpunkte. Außerdem lernst du, wie du an der Koordinatenform sofort einen Normalenvektor der Ebene ablesen kannst. Normierst du diesen Normalenvektor, erhältst du die HESSE-Form in Koordinatendarstellung. Eine Ebenengleichung lässt sich außerdem in der Punkt-Richtungsform und in der Normalenform angeben.
Lösungsbeschreibung
Eine Ebenengleichung kann auch in Koordinatenform angegeben werden. Diese lautet allgemein a1 mal x1 plus a2 mal x2 plus a3 mal x3 ist gleich b. Zum Beispiel 4 mal x1 minus x2 plus 2 mal x3 gleich 8. Hier ist a1 4, a2 ist minus 1 und a3 ist 2, b ist 8. Die Malpunkte kann man auch weglassen. Diese Gleichung beschreibt die abgebildete gelbe Ebene.
Das ist natürlich nur ein Ausschnitt dieser Ebene, denn Ebenen sind unendlich groß. Diese Zahl kann auch auf die andere Seite gebracht werden. Dann steht hier eine 0 und hier minus 8. Damit wird immer noch dieselbe Ebene beschrieben.
Die Koordinatenform ist nützlich, um die Ebene zu skizzieren. Die Ebene geht zum Beispiel durch 2 auf der x1 Achse. Wenn du kein Schaubild hättest, könntest du diese Stelle leicht berechnen.
Alle Punkte auf der x1 Achse haben nämlich die x2 und x3 Koordinaten 0. Wenn du hier und hier 0 einsetzt, bleibt nur 4x1 übrig. Also 4x1 ist gleich 8. Teilst du durch 4, erhältst du die Schnittstelle mit der x1 Achse, nämlich 2. Auf der x2 Achse sind x1 und x3 gleich 0. Setzt du das hier und hier ein, bleibt –x2 gleich 8 übrig. Um nach x2 aufzulösen, kannst du mit –1 multiplizieren oder durch –1 teilen.
Beides ergibt x2 gleich –8. Und tatsächlich schneidet die Ebene die x2 Achse bei –8. Auf der x3 Achse sind x1 und x2 gleich 0. Setzt du das hier und hier ein, bleibt 2x3 gleich 8 übrig.
Teilst du durch 2, erhältst du x3 gleich 4. Diese Schnittstelle erkennt man besser in dieser Ansicht. Hier ist nur ein Teil der Ebene gelb gefärbt und der Rest ist grau. Hast du die Schnittstellen mit den Achsen, kannst du die Ebene skizzieren.
Dazu gibt es auch ein extra Video auf Abimatte, das ich dir verlinkt habe. Die Schnittpunkte mit den Achsen heißen Spurpunkte. Auch dazu gibt es ein Video.
Ein weiterer Vorteil der Koordinatenform ist, dass du sofort einen normalen Vektor der Ebene ablesen kannst. Das musst du dir gut merken. Dafür nimmst du einfach die Zahlen vor den x-Koordinaten.
Also 4, –1 und 2. Die Reihenfolge darfst du nicht vertauschen. Fehlt eine x-Koordinate, dann schreibst du dafür eine 0. Hier siehst du einen Pfeil des normalen Vektors. Der normale Vektor steht senkrecht auf der Ebene, auch wenn das hier wegen der Perspektive nicht so deutlich wird.
Der Pfeil verläuft nicht auf der x2-Achse, sondern führt 4 Einheiten in x1-Richtung, eine Einheit entgegen der x2-Richtung und 2 Einheiten in x3-Richtung.
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Koordinatengleichung aus 3 Punkten
3 Punkte legen eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. (Wie du das feststellst, zeige ich dir hier.) Setzt du diese 3 Punkte in die Koordinatenform ein, erhältst du ein lineares Gleichungssystem. Löst du dieses LGS, kannst du eine Koordinatengleichung der Ebene angeben.
Lösungsbeschreibung
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform anzugeben. Dazu lösen wir diese Aufgabe.
Die Punkte A, B und C legen eine Ebene E fest. Bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene. Hier siehst du die Ebene, die von diesen drei Punkten festgelegt wird.
Damit du dir die Lage besser vorstellen kannst, hier noch ein paar Hilfslinien. Eine Koordinatengleichung lautet allgemein A1 mal X1 plus A2 mal X2 plus A3 mal X3 gleich B. Nun musst du A1, A2, A3 und B herausfinden. Dazu löst du ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS.
Für X1, X2 und X3 setzt du einmal die Koordinaten von Punkt A ein und dann nochmal von Punkt B und Punkt C. Das ergibt drei Gleichungen, also ein Gleichungssystem. Machen wir das mal. A1 mal 1 ist A1, A2 mal 2 sind 2A2 und A3 mal 3 sind 3A3.
Ist gleich B, schreibst du ab. Das ist die erste Gleichung. Nun machst du das gleiche mit Punkt B. A1 mal minus 2 sind minus 2A1, A2 mal minus 4 sind minus 4A2, denn plus mal minus ergibt ja minus.
Und A3 mal 6 sind 6A3. Dahinter kommt wieder ist gleich B. Das ist die zweite Gleichung. Nun machst du das gleiche noch mit Punkt C. A1 mal 0 sind 0A1.
Das könntest du auch weglassen. A2 mal minus 4 sind minus 4A2 und A3 mal 2 sind 2A3. Dahinter kommt wieder ist gleich B. Das ist die dritte Gleichung.
Nun löst du dieses Gleichungssystem. Damit geht's auf der nächsten Seite weiter. Falls dir der folgende Weg nicht klar ist, sieh dir mein ausführliches Video zum Lösen von Gleichungssystemen an.
Das Video habe ich dir verlinkt. Hier siehst du nochmal die drei Gleichungen. Um Schreibarbeit zu sparen, gehst du am besten zur Matrix-Schreibweise über.
Dazu machst du eine große Klammer und dann schreibst du nur noch die Zahlen vor den Variablen hin. A1 ist das gleiche wie 1A1, also schreibst du hier eine 1. Dann kommt die 2 und hier die 3. B ist das gleiche wie 1B, also kommt auch hier eine 1 hin. In die zweite Zeile kommt minus 2, minus 4, 6 und 1. Und in die dritte Zeile kommt 0, minus 4, 2 und 1. Die erste Spalte steht für A1, die zweite Spalte für A2, die dritte für A3 und die letzte Spalte für B. Für das Istgleich machst du einen Trennstrich.
Hier steht schon eine 0, das ist gut. Als nächstes erzeugst du hier eine 0 mithilfe der ersten Zeile. Multipliziere diese dazu mit 2. Das machst du allerdings nur im Kopf.
Und dann addierst du die erste und die zweite Zeile. Und schreibst das Ergebnis hier hin. Machen wir das mal.
1 mal 2 ist 2 und 2 minus 2 ist 0. Das wollten wir ja. 2 mal 2 ist 4 und 4 minus 4 ist auch 0. Das war zwar nicht beabsichtigt, bringt uns aber schneller ans Ziel, wie du gleich sehen wirst. 3 mal 2 ist 6 und 6 plus 6 ist 12.
Und 1 mal 2 ist 2 und 2 plus 1 ist 3. Die erste Zeile schreibst du einfach ab. Genauso die dritte. Normalerweise würdest du jetzt noch hier eine 0 erzeugen.
Da aber hier schon zwei Nullen stehen, brauchst du das gar nicht mehr, sondern kannst genauso gut mit der zweiten Zeile arbeiten. Schreibe diese wieder als Gleichung. Diese Spalte steht für A3.
Das sind also 12 A3. Und diese Spalte steht für B. Das sind also 3 B. Für den Strich schreibst du wieder ein Istgleichzeichen. Teile nun durch 12.
Das ergibt A3 ist gleich 3 zwölftel B. Den Bruch kannst du durch 3 kürzen. 3 geteilt durch 3 ist 1 und 12 geteilt durch 3 ist 4. Nun setzt du A3 in die Zeile mit einer 0 ein, also in die dritte. Auch diese Zeile schreibst du wieder als Gleichung.
Diese Spalte steht für A2. Das sind also minus 4 A2. Diese Spalte steht für A3.
Das sind also 2 A3. Und für A3 setzt du gleich ein Viertel B ein. Diese Spalte steht für B. Das ist also 1 B bzw.
B. Nun löst du nach A2 auf. 2 und 4 kürzen sich, sodass hier eine 2 übrig bleibt. Das bringst du nun rüber.
B minus 1 halb B ist 1 halb B. Klar, oder? 1 Brot minus 1 halbes Brot ist 1 halbes Brot. Nun teilst du noch durch minus 4. Hier steht schon ein Bruch. Deshalb kannst du die 4 einfach mit unter den Bruchstrich schreiben.
Statt das Minus vor die 4 zu schreiben, kannst du es vor den gesamten Bruch ziehen. 2 mal 4 sind 8. A2 ist somit minus ein Achtel B. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter. Hier siehst du nochmal die letzte Matrix.
Um A1 auszurechnen, setzt du A2 und A3 jetzt in die Zeile ein, die noch übrig ist, also in die erste. Diese schreibst du nun wieder als Gleichung. Diese Spalte steht für A1.
Einmal A1 ist A1. Diese Spalte steht für A2. Das sind also 2 A2.
Und für A2 setzt du gleich ein, was du gerade ausgerechnet hast, nämlich minus ein Achtel B. Diese Spalte steht für A3. Das sind also 3 A3 und für A3 hattest du vorhin schon ein Viertel B rausbekommen. Diese Spalte steht für B. Ein B ist B. Nun fasst du zusammen und rechnest A1 aus.
Plus mal Minus ist Minus. Die 2 und die 8 kürzen sich zu 4. 3 mal 1 ist 3. Minus ein Viertel B plus drei Viertel B sind zwei Viertel B oder gekürzt ein Halb B. Stell dir vor, du hast nur noch drei Viertel vom Brot übrig und schneidest nochmal ein Viertel ab. Dann bleibt noch ein halbes Brot übrig.
Das bringst du jetzt wieder rüber. B minus ein Halb B ist ein Halb B. Somit kennst du nun auch A1. A1, A2 und A3 hängen also alle von B ab.
Im nächsten Schritt suchst du dir für B eine Zahl aus. Am besten eine, die alle Brüche beseitigt. Setzt du B gleich 8, kommt Folgendes raus.
A1 ist ja ein Halb B. Also ein Halb mal 8. Die 8 und die 2 kürzen sich zu 4. A2 war Minus ein Achtel B. Das macht dann Minus ein Achtel mal 8. Die 8en kürzen sich und A2 ist Minus 1. A3 war ein Viertel B. Das macht ein Viertel mal 8. Die 8 und die 4 kürzen sich zu 2. Um B geschickt zu wählen, schaust du dir die Brüche an. Und dann überlegst du, welche die kleinste Zahl ist, die man durch 2, durch 8 und durch 4 teilen kann. Das ist 8. Also solltest du B gleich 8 wählen.
Hier siehst du nochmal das Ergebnis. Und das setzt du nun in die allgemeine Koordinatengleichung ein. Die Malpunkte kannst du weglassen.
A1 ist 4. A2 ist Minus 1. Die 1 brauchst du nicht extra hinschreiben. A3 ist 2. Und B ist 8. Diese Gleichung beschreibt die gelbe Ebene, in der die drei Punkte A, B und C liegen.
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