Normalenform

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• Normalenform
• Normalengleichung bestimmen (Textaufgaben) / Mit 3 Punkten
• Mit einem Punkt und einer orthogonalen Geraden

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Normalenform

Für die Normalenform einer Ebenengleichung benötigst du einen Stützvektor und einen Normalenvektor. Das ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Normierst du den Normalenvektor, erhältst du die HESSE'sche Normalenform. Vorab solltest du bereits wissen, wie man Vektoren zeichnerisch subtrahiert. Eine Ebenengleichung lässt sich außerdem in der Punkt-Richtungsform und in der Koordinatenform angeben.

Lösungsbeschreibung

Eine Ebenengleichung kann auch in der normalen Form angegeben werden. Das geht so. Hier siehst du eine Ebene E. In dieser liegt der Punkt P. Der Vektor P geht vom Ursprung zum Punkt P. Dieser Vektor wird Stützvektor genannt, weil er die Ebene sozusagen abstützt.

An den Punkt P wird nun ein Vektor n angesetzt, der senkrecht auf der Ebene steht. Einen solchen Vektor nennt man normalen Vektor. Nennen wir diesen Punkt in der Ebene mal A. Der Ortsvektor A geht vom Ursprung zum Punkt A. Und das ist der Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt A. Bei einem Verbindungsvektor rechnet man immer Ende minus Anfang.

Deshalb ist das Vektor A minus Vektor P. Falls dir das nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video zur Subtraktion von Vektoren an. Dieser Vektor liegt in der Ebene E. Und der normalen Vektor n steht senkrecht auf dieser Ebene. Deshalb beträgt der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren 90°.

Auch wenn es hier aufgrund der Perspektive anders wirkt. Das heißt, die Vektoren sind zueinander orthogonal. Und das bedeutet, ihr Skalarprodukt ist 0. Also Vektor A minus Vektor P mal Vektor N ergibt 0. Nehmen wir einen weiteren Punkt B. Vektor B geht dann vom Ursprung zum Punkt B. Und das ist der Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt B. Das ist also Vektor B minus Vektor P. Dieser Vektor und der normalen Vektor sind ebenfalls zueinander orthogonal.

Ihr Skalarprodukt ist somit 0. Also Vektor B minus Vektor P mal Vektor N ist 0. Was für Punkt A und Punkt B gilt, gilt für jeden beliebigen Punkt X in der Ebene E. Das schreiben wir jetzt allgemein auf. Nennen wir diesen Punkt X, dann ist das Vektor X und das Vektor X minus Vektor P. Das Skalarprodukt dieser Vektoren ist wieder 0. Hier steht also das Gleiche mit Vektor X wie hier mit Vektor B. Das ist die Gleichung einer Ebene in normalen Form. Welche Ebene durch die Gleichung beschrieben wird, kannst du noch davor schreiben.

In diesem Fall ist es die Ebene E. Gibt es mehrere Ebenen, dann bezeichne sie mit verschiedenen Buchstaben. Hier siehst du nochmal die normalen Form einer Ebenengleichung. Als konkretes Beispiel zeige ich dir eine normale Form dieser Ebene.

Dazu brauchen wir zuerst einen beliebigen Punkt in der Ebene. Der Vektor P hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. Die grünen Linien helfen, die Koordinaten abzulesen. 2 in X1-Richtung, 3 in X2-Richtung, und dann 4 in X3-Richtung.

Vektor P ist also 2, 3, 4. Nun brauchen wir ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Zum Beispiel diesen. Das ist ein normaler Vektor N. Der Vektor führt lediglich 3 Einheiten nach oben.

Seine Koordinaten sind also 0, 0, 3. Nun setzt du alles in die allgemeine Form ein. Vektor P ist das und Vektor N ist das. Und schon hast du eine Ebenengleichung in normalen Form.

Diese Gleichung bedeutet folgendes. Vektor X führt zu einem beliebigen Punkt X in der Ebene. Zum Beispiel diesem.

Dieser Verbindungsvektor ist ein Vektor X minus Vektor P. Also Vektor X minus das. Der Verbindungsvektor liegt in der Ebene E und der Vektor N steht senkrecht auf E. Somit ist das Skalarprodukt des Verbindungsvektors und des normalen Vektors 0. Diese Ebene kann natürlich durch unendlich viele Gleichungen beschrieben werden. Je nachdem, welchen Punkt P du wählst und welchen normalen Vektor.

Der normalen Vektor könnte nämlich auch länger oder kürzer sein oder nach unten zeigen.

Normalengleichung bestimmen (Textaufgaben) / Mit 3 Punkten

3 Punkte legen eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. (Wie du das feststellst, zeige ich dir hier.) Leider kannst du nicht sofort eine Gleichung dieser Ebene in Normalenform angeben, sondern gehst im Prinzip über die Punkt-Richtungsform. Dabei bestimmst du aus den Richtungsvektoren einen Normalenvektor mit dem Vektorprodukt (oder mit dem Skalarprodukt).

Lösungsbeschreibung

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene in normalen Form anzugeben. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Die Punkte P, Q und R legen eine Ebene E fest. Bestimme eine normale Gleichung dieser Ebene. Hier siehst du die Ebene, die von diesen drei Punkten festgelegt wird.

Jetzt bestimmen wir eine normale Gleichung dafür. Diese lautet allgemein Vektor X minus Vektor P mal Vektor N ist gleich 0. Vektor P ist ein Stützvektor. Er geht vom Ursprung zum Punkt P und hat die gleichen Koordinaten, also 2, 3, 4. Du könntest als Stützvektor natürlich auch den Ortsvektor von Punkt Q oder R nehmen.

Ich empfehle dir aber, immer den ersten Punkt zu nehmen. Zufällig heißt dieser hier sogar P. Nun benötigst du noch einen normalen Vektor N. Stelle dir dazu einen Vektor vor, der an P angesetzt wird und senkrecht auf der Ebene steht. Leider kannst du einen solchen Vektor nicht direkt bestimmen.

Stattdessen musst du einen Umweg über die Punktrichtungsform gehen. Bei der Punktrichtungsform hast du einen Stützvektor P und zwei Richtungsvektoren U und V, die in der Ebene liegen und nicht parallel sind. Das Vektorprodukt dieser beiden Richtungsvektoren ergibt einen normalen Vektor N. Alternativ kannst du das Skalarprodukt benutzen und ein Gleichungssystem lösen.

Das zugehörige Video habe ich dir verlinkt. Jetzt werden wir dafür aber das Vektorprodukt nehmen. Zuvor müssen wir jedoch erstmal Vektor U und Vektor V bestimmen.

Vektor U ist der Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt Q. Dazu rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von Q minus die Koordinaten von P jeweils als Vektor geschrieben, also Vektor 1, minus 2, 4, minus Vektor 2, 3, 4. Das kannst du auch von hier abschreiben. 1 minus 2 ist minus 1, minus 2 minus 3 ist minus 5 und 4 minus 4 ist 0. Vektor V ist der Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt R. Dazu nimmst du die Koordinaten von R minus die Koordinaten von P jeweils als Vektor geschrieben, also Vektor 3, 6, 4, minus Vektor 2, 3, 4. 3 minus 2 ist 1, 6 minus 3 ist 3 und 4 minus 4 ist 0. Um einen normalen Vektor zu bestimmen, bildest du das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren. Hier siehst du nochmal die Vektoren U und V. Für das Vektorprodukt schreibst du U Kreuz V. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab.

Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor U zweimal untereinander. Das gleiche machst du nochmal für Vektor V. Dann streichst du die letzte Zeile und die erste Zeile durch.

Nun rechnest du minus 5 mal 0, dann kommt ein Minuszeichen und jetzt rechnest du 0 mal 3. Als nächstes rechnest du 0 mal 1, dann kommt wieder ein Minus und dann rechnest du minus 1 mal 0. Nun rechnest du minus 1 mal 3, dann kommt wieder ein Minus und zum Schluss rechnest du minus 5 mal 1. Jetzt fasst du zusammen. Minus 5 mal 0 ist 0. Dann überträgst du das Minus und 0 mal 3 ist auch 0. 0 mal 1 ist 0, dann kommt das Minus und minus 1 mal 0 ist auch 0. Minus 1 mal 3 ist minus 3, Minus mal Minus macht Plus und 5 mal 1 ist 5. 0 minus 0 ist 0, hier genauso und minus 3 plus 5 ist 2. Dieser Vektor ist ein normalen Vektor N. Du hast jetzt also Vektor P und Vektor N. Nun setzt du alles hier oben ein. Vektor P ist das und Vektor N ist das.

Das ist eine normale Gleichung der gelben Ebene, in der die Punkte P, Q und R liegen. Vektor X führt zu einem beliebigen Punkt in der Ebene, zum Beispiel diesem. Das ist das vollständige Schaubild, das du schon aus dem letzten Video kennst.

Beim normalen Vektor ist nur wichtig, dass er senkrecht auf der Ebene steht. Seine Länge und Orientierung ist völlig egal. Multiplizierst du diesen Vektor mit 2, erhältst du einen Vektor, der doppelt so lang ist.

Multiplizierst du diesen Vektor mit minus 3 Viertel, kürzen sich die 4 und minus 3 bleibt übrig. Dieser normalen Vektor ist nun entgegengesetzt gerichtet. Die Gleichung ändert sich, aber beschreibt immer noch dieselbe Ebene.

Mit einem Punkt und einer orthogonalen Geraden

Eine Ebene kann auch durch einen Punkt und eine Gerade festgelegt werden, die orthogonal zu der Ebene ist. Orthogonal bedeutet: Der Richtungsvektor der Geraden steht senkrecht auf der Ebene und dient somit als Normalenvektor der Ebene.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ebenengleichung in normalen Form aufstellst, wenn du einen Punkt in der Ebene gegeben hast und eine Gerade, die orthogonal zu dieser Ebene ist. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Der Punkt P liegt in der Ebene E. Diese Gerade ist orthogonal zu E. Bestimme eine normalen Gleichung der Ebene E. Hier siehst du die Ebene, die durch den Punkt P und die Gerade G festgelegt wird.

Jetzt bestimmen wir eine normale Gleichung dafür. Hier siehst du nochmal, was gegeben ist. Die gesuchte normale Gleichung der Ebene lautet Vektor X minus Vektor P mal Vektor N ist gleich 0. Als erstes brauchst du einen Stützvektor P, der zu einem Punkt führt, der in der Ebene liegt.

Da du weißt, dass der Punkt P in der Ebene liegt, nimmst du für Vektor P also diesen Vektor. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P, also 1-2,3. Das setzt du hierfür ein.

Nun benötigst du noch einen normalen Vektor N. Das ist der Richtungsvektor U der Geraden G. Ein Pfeil davon siehst du hier. Da die Gerade orthogonal zur Ebene E ist, kannst du den gleichen Vektor als normalen Vektor für die Ebene E verwenden. Für Vektor N schreibst du also das ab.

Das ist eine normale Gleichung der gelben Ebene. Vektor X führt zu einem beliebigen Punkt in der Ebene E, zum Beispiel diesem. Dieser Verbindungsvektor ist dann Vektor X minus Vektor P, also Vektor X minus das.

Der Verbindungsvektor und Vektor N schließen einen Winkel von 90° ein. Somit ist ihr Skalarprodukt Null.