Punkt-Richtungsform Ebene

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• Punkt-Richtungsform
• Ebenengleichung bestimmen (Textaufgaben) / Mit 3 Punkten
• Punkt-Richtungsform aus 3 Punkten
• Mit einer Geraden und einem Punkt
• Punkt-Richtungsform aus Gerade und Punkt
• Mit 2 sich schneidenden Geraden
• Mit 2 parallelen Geraden

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Punkt-Richtungsform

Wie eine Gerade kannst du eine Ebene mit einer Gleichung in Punkt-Richtungsform beschreiben. Während du bei Geraden nur einen Richtungsvektor benötigst, brauchst du bei Ebenen zwei Richtungsvektoren, die außerdem nicht parallel sein dürfen (die also linear unabhängig sind). Die Richtungsvektoren einer Ebene werden auch Spannvektoren genannt, weil sie die Ebene "aufspannen". Vorab solltest du bereits wissen, wie man Vektoren zeichnerisch addiert. Eine Ebenengleichung lässt sich auch in der Normalenform, in der Koordinatenform und in der HESSE-Form angeben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du mit Vektoren eine Ebenengleichung aufstellst. Hier siehst du eine Ebene E. In dieser liegt der Punkt P. Der Vektor P geht vom Ursprung zum Punkt P. Dieser Vektor wird Stützvektor genannt, weil er die Ebene sozusagen abstützt. An den Punkt P wird nun ein Vektor U angesetzt, der in der Ebene verläuft.

Dieser Vektor heißt Richtungsvektor. Nennen wir diesen Punkt in der Ebene mal A. Durch den Vektor U gelangst du also vom Punkt P zum Punkt A in der Ebene. Der Ortsvektor A geht vom Ursprung zum Punkt A. Diesen Vektor kannst du als Addition von Vektoren ausdrücken.

Vektor A ist nämlich Vektor P plus Vektor U. Das steht hier noch mal. Falls dir das nicht klar ist, sieh dir noch mal das Video zur Addition von Vektoren an. Nun setzen wir an den Punkt P einen zweiten Vektor V an, der nicht parallel zu Vektor U sein darf.

Das heißt, er darf nicht genau in diese oder diese Richtung zeigen, sondern muss in irgendeine andere Richtung zeigen. Vektor V ist auch ein Richtungsvektor. Vektor U und Vektor V werden auch Spannvektoren genannt, da sie die Ebene aufspannen.

Nennen wir diesen Punkt mal B. Nun kannst du wieder Vektor B einzeichnen und als Addition ausdrücken. Vektor B ist Vektor P plus Vektor V. Vektor B ist Vektor P plus Vektor V. Du kannst die Richtungsvektoren aber auch miteinander kombinieren. Die Summe beider Vektoren kannst du nach der Parallelogrammregel bilden.

Dieser Pfeil stellt Vektor U plus Vektor V dar. Der Ortsvektor C geht vom Ursprung zu Punkt C. Diesen Vektor kannst du jetzt so ausdrücken. Vektor C ist Vektor P plus Vektor U plus Vektor V. Also Vektor C ist Vektor P plus Vektor U plus Vektor V. Du musst aber nicht immer ganze Schritte machen.

Der Vektor 0,5 mal Vektor U ist nur halb so lang wie Vektor U. Setzt du hier nochmal Vektor V an, bilanzt du nach der Parallelogrammregel zum Punkt D in der Ebene E. Von P nach D kommst du also mit 1,5 mal Vektor U plus 2 mal Vektor V. Somit ist Vektor D gleich Vektor P plus das. Also Vektor D ist Vektor P plus 1,5 mal Vektor U plus 2 mal Vektor V. Jetzt schreiben wir das allgemein auf. Nennen wir den Punkt in der Ebene X, dann ist Vektor X Vektor P plus R mal Vektor U plus S mal Vektor V. R und S sind reelle Zahlen wie 1,5 oder 2. Also Vektor X ist Vektor P plus R mal Vektor U plus S mal Vektor V. R und S sind Elemente der reellen Zahlen.

Das ist die Gleichung einer Ebene in Vektorschreibweise. Da du für R und S beliebige Zahlen einsetzen darfst, kannst du jeden Punkt in der Ebene erreichen. Dabei gehst du immer vom Punkt P aus, eine bestimmte Strecke in diese Richtung oder entgegengesetzt, wenn R negativ ist.

Und du gehst eine bestimmte Strecke in diese Richtung oder entgegengesetzt. Deshalb heißt diese Form auch Punktrichtungsform. Üblich ist auch Parameterform.

Ist R null, gehst du nur in diese Richtung beziehungsweise entgegengesetzt. Und ist S null, dann gehst du nur in diese Richtung oder entgegengesetzt. Welche Ebene durch die Gleichung beschrieben wird, kannst du noch davor schreiben.

In diesem Fall ist es die Ebene E. Gibt es mehrere Ebenen, dann bezeichne sie mit verschiedenen Buchstaben. Hier siehst du nochmal die allgemeine Gleichung einer Ebene. Als konkretes Beispiel zeige ich dir eine Gleichung dieser Ebene.

Dazu brauchen wir zuerst einen Punkt in der Ebene. Der Vektor P hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. Die grünen Linien helfen, die x2-Richtung passiert nichts und dann 2 in x3-Richtung. Vektor P ist also 1, 0, 2. Nun brauchen wir einen Richtungsvektor U. Zum Beispiel diesen.

Der Vektor führt zwei Einheiten entgegen der x1-Richtung, dann zwei Einheiten in x2-Richtung und eine Einheit in x3-Richtung. Denn diese Hilfslinie ist eine Einheit länger als diese. Vektor U ist also –2, 2, 1. Mit einem Stütz und einem Richtungsvektor hat man eine Gerade.

Für eine Ebene benötigst du einen zweiten Richtungsvektor, der nicht zum ersten parallel sein darf. Zum Beispiel diesen. Vektor V führt eine Einheit in x1-Richtung, drei Einheiten entgegen der x2-Richtung und eine Einheit in x3-Richtung, wie Vektor U. Vektor V ist also 1, –3, 1. Nun setzt du für Vektor P das ein, für Vektor U das und für Vektor V das.

Und schon hast du eine Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Diese Ebene kann durch unendlich viele Gleichungen beschrieben werden, je nachdem, welchen Aufpunkt P du wählst und welche Spannvektoren.

Ebenengleichung bestimmen (Textaufgaben) / Mit 3 Punkten

Eine Ebene lässt sich auf unterschiedliche Weise festlegen. Zum Beispiel durch: 1. 3 Punkte, 2. eine Gerade und einen Punkt, 3. 2 Geraden, die sich schneiden, 4. 2 parallele Geraden, In Textaufgaben geht es darum, damit eine Gleichung der Ebene aufzustellen. In den folgenden Abschnitten zeige ich dir, wie du das machst. Die Ebene ist dabei immer dieselbe. 3 Punkte legen eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Ggf. musst du das also erst überprüfen. Das machst du so:

Lösungsbeschreibung

Eine Ebene lässt sich durch drei Punkte festlegen. In diesem Video geht es um die nötige Voraussetzung dafür. Dazu lösen wir folgende Aufgabe.

Zeige, dass die Punkte A, B und C eine Ebene E festlegen. Merke dir folgendes. Drei Punkte legen eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.

Denn sonst hat man nur eine Gerade und keine Ebene. Der Lösungsweg ist jetzt wie folgt. Du legst eine Gerade durch die Punkte A und B und zeigst, dass der Punkt C nicht auf dieser Geraden liegt.

Das machst du mit einer sogenannten Punktprobe. Dieses Schaubild soll dir helfen, den Lösungsweg nachzuvollziehen. Normalerweise gibt es bei solchen Aufgaben natürlich kein Schaubild.

Hier siehst du die Punkte A, B und C. Da C unterhalb der x1, x2 Ebene liegt, ist C grau. Die gelbe Ebene ist natürlich unendlich groß. Du siehst hier nur einen Ausschnitt.

Hier unten geht sie auch noch weiter. Offensichtlich liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden. Aber das musst du jetzt rechnerisch nachweisen.

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet Vektor x ist gleich Vektor p plus r mal Vektor u. Vektor u ist ein Richtungsvektor und Vektor p ist ein Stützvektor. Da jedoch keiner der Punkte p heißt, nennen wir Vektor p stattdessen Vektor a. Vektor a geht dann vom Ursprung zum Punkt a und hat die gleichen Koordinaten, also 3, minus 1, 2. Du könntest als Aufpunkt natürlich auch Punkt b oder c nehmen. Aber ich empfehle dir Punkt a zu nehmen, denn das ist in jeder Musterlösung so und wenn du einen anderen Punkt nimmst, kannst du deine Lösung schlecht vergleichen.

Als Richtungsvektor u nimmst du den Verbindungsvektor von Punkt a zu Punkt b. Dazu rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von b minus die Koordinaten von a, jeweils als Vektor geschrieben. Also Vektor 1, 4, 5 minus Vektor 3, minus 1, 2. Das kannst du auch von hier abschreiben. 1 minus 3 ist minus 2. 4 minus minus 1 ist das gleiche wie 4 plus 1 und das macht 5. Und 5 minus 2 ist 3. Nun setzt du das in die allgemeine Geradengleichung ein.

Vektor a ist das und Vektor u ist das. Diese Gleichung beschreibt die Gerade durch die Punkte a und b. Der Punkt c liegt offensichtlich nicht darauf, aber das musst du noch rechnerisch zeigen. Das geht mit einer sogenannten Punktprobe.

Die Frage lautet also, ob der Punkt c auf dieser Geraden liegt. Dazu schreibst du Punkt c als Vektor und setzt ihn für Vektor x ein, also Vektor 3, 2, minus 1. Die rechte Seite schreibst du einfach ab. Wenn der Punkt c auf der Geraden liegt, dann gibt es eine Zahl r, sodass diese Gleichung erfüllt ist.

Passe zunächst diese beiden Vektoren zusammen. Dazu bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Auf der rechten Seite bleibt nur das übrig.

3 minus 3 ist 0. 2 minus minus 1 ist das gleiche wie 2 plus 1 und das macht 3. Und minus 1 minus 2 sind minus 3. Die rechte Seite schreibst du nur ab. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. 0 ist gleich r mal minus 2, 3 ist gleich r mal 5 und minus 3 ist gleich r mal 3. Nun löst du jede Zeile nach r auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt.

Hier teilst du durch minus 2. 0 geteilt durch minus 2 ist 0. r ist somit 0. Hier teilst du durch 5. r ist somit 3 Fünfte. r kann aber nicht gleichzeitig verschiedene Werte haben. An dieser Stelle kannst du das Ganze abbrechen und einen Blitz dran machen.

Der Punkt c liegt somit nicht auf der Geraden g. Das ist ja genau das, was wir wollten. Somit legen die Punkte a, b und c nämlich eine Ebene e fest und zwar die, die hier gelb eingezeichnet ist.

Punkt-Richtungsform aus 3 Punkten

Jetzt zeige ich dir, wie du eine Gleichung der Ebene aufstellst, die durch die 3 Punkte festgelegt wird.

Lösungsbeschreibung

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene anzugeben. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Die Punkte A, B und C legen eine Ebene E fest. Bestimme eine Gleichung dieser Ebene. Im letzten Video haben wir bereits gezeigt, dass diese Punkte wirklich eine Ebene festlegen.

Dazu dürfen sie nämlich nicht auf einer Geraden liegen. Hier siehst du die Ebene, die von diesen drei Punkten festgelegt wird. Jetzt bestimmen wir eine Gleichung dafür.

Die allgemeine Gleichung einer Ebene in Punktrichtungsform lautet, Vektor x ist gleich Vektor p plus r mal Vektor u plus s mal Vektor v. Vektor v und Vektor u sind Richtungsvektoren oder Spannvektoren und Vektor p ist ein Stützvektor. Da jedoch keiner der Punkte p heißt, nennen wir Vektor p stattdessen Vektor a. Vektor a geht dann vom Ursprung zum Punkt a und hat die gleichen Koordinaten, also 3 minus 1, 2. Du könntest als Aufpunkt natürlich auch Punkt b oder Punkt c nehmen. Ich empfehle dir aber immer den ersten Punkt zu nehmen.

Als Richtungsvektor u nimmst du den Verbindungsvektor von Punkt a zu Punkt b. Dazu rechnest du Ende minus Anfang. Also die Koordinaten von b minus die Koordinaten von a jeweils als Vektor geschrieben. Also Vektor 1, 4, 5 minus Vektor 3 minus 1, 2. Das kannst du auch von hier abschreiben.

1 minus 3 ist minus 2, 4 minus minus 1 ist das gleiche wie 4 plus 1 und das macht 5. Und 5 minus 2 ist 3. Nimmst du nur diesen Teil der Ebenengleichung, hast du eine Gerade, nämlich die Gerade durch a und b. Dazu setzt du für Vektor a das ein und für Vektor u das. Für die Ebene fehlt uns noch ein zweiter Richtungsvektor v. Dafür nimmst du nun einfach den Verbindungsvektor von Punkt a zu Punkt c. Vektor u steht jetzt hier, damit wir Platz haben Vektor v auszurechnen. Dazu nimmst du die Koordinaten von c minus die Koordinaten von a jeweils als Vektor geschrieben.

Also Vektor 3, 2 minus 1 minus Vektor 3 minus 1, 2. 3 minus 3 ist 0. 2 minus minus 1 ist das gleiche wie 2 plus 1 und das macht 3. Und minus 1 minus 2 ist minus 3. Nun setzt du alles in die allgemeine Ebenengleichung ein. Vektor a ist das und Vektor u ist das, genau wie bei der Geradengleichung zuvor. Und für Vektor v setzt du nun das ein.

Schon hast du eine Gleichung der Ebene bestimmt, in der die Punkte a, b und c liegen.

Mit einer Geraden und einem Punkt

Eine Ebene kann auch durch eine Gerade und einen Punkt festgelegt werden, der nicht auf der Geraden liegt. Ggf. musst du das also erst mit einer Punktprobe überprüfen. Das geht so:

Lösungsbeschreibung

Eine Ebene lässt sich auch durch eine Gerade und einen Punkt festlegen. In diesem Video geht es um die nötige Voraussetzung dafür. Dazu lösen wir folgende Aufgabe.

Zeige, dass diese Gerade und dieser Punkt eine Ebene E festlegen. Merke dir Folgendes, eine Gerade und ein Punkt legen eine Ebene fest, wenn der Punkt nicht auf der Geraden liegt. Denn sonst hat man nur eine Gerade und keine Ebene.

Dazu machst du eine sogenannte Punktprobe. Die Frage lautet also, ob der Punkt Q auf dieser Geraden liegt. Dafür schreibst du Punkt Q als Vektor und setzt ihn für Vektor X ein.

Also Vektor 3, 2, minus 1. Die rechte Seite schreibst du einfach ab. Falls der Punkt Q auf der Geraden liegt, gibt es eine Zahl r, sodass diese Gleichung erfüllt ist. Fasse zunächst diese beiden Vektoren zusammen.

Dazu bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Auf der rechten Seite bleibt nur das übrig. 3 minus 3 ist 0. 2 minus minus 1 ist das gleiche wie 2 plus 1 und das macht 3. Minus 1 minus 2 ist minus 3. Die rechte Seite schreibst du nur ab.

Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. 0 ist gleich r mal minus 2, 3 ist gleich r mal 5 und minus 3 ist gleich r mal 3. Nun löst du jede Zeile nach r auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt. Hier teilst du durch minus 2. 0 geteilt durch minus 2 ist 0. r ist somit 0. Hier teilst du durch 5. r ist somit 3 Fünftel.

r kann aber nicht gleichzeitig verschiedene Werte haben. An dieser Stelle kannst du das Ganze abbrechen und einen Blitz dran machen. Der Punkt Q liegt somit nicht auf der Geraden G. Aber das ist ja genau das, was wir wollten.

Somit legen die Gerade G und der Punkt Q nämlich eine Ebene E fest. Und zwar die, die hier gelb eingezeichnet ist. Die Ebene geht unterhalb der x1, x2 Ebene noch weiter, hier hellgrau dargestellt.

Dort liegt auch der Punkt Q. Somit liegt er nicht auf der Geraden G. Die Ebene ist natürlich unendlich groß, du siehst hier nur einen Ausschnitt davon. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017

Punkt-Richtungsform aus Gerade und Punkt

Jetzt zeige ich dir, wie du eine Gleichung der Ebene aufstellst, die durch die Gerade und den Punkt festgelegt wird.

Lösungsbeschreibung

Eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene anzugeben. Dazu lesen wir diese Aufgabe.

Die Gerade G und der Punkt Q legen eine Ebene E fest. Bestimme eine Gleichung dieser Ebene. Im letzten Video haben wir bereits gezeigt, dass die Gerade und der Punkt wirklich eine Ebene festlegen.

Dazu darf Q nämlich nicht auf G liegen. Wie du siehst, ist diese Voraussetzung erfüllt. Somit legen die Gerade G und der Punkt Q diese gelbe Ebene fest.

Jetzt bestimmen wir eine Gleichung dafür. Die allgemeine Gleichung einer Ebene lautet Vektor x ist gleich Vektor p plus r mal Vektor u plus s mal Vektor v. Vektor v und u sind Richtungsvektoren oder Spannvektoren und Vektor p ist ein Stützvektor. Hier siehst du die Gerade G. Das ist der Stützvektor p, der zu diesem Punkt auf der Geraden führt.

Auch die Ebene braucht einen Stützvektor. Da die Gerade in der Ebene verläuft, kannst du einfach den gleichen Stützvektor nehmen. Für Vektor p kannst du also schon mal das einsetzen.

Dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der Gerade. Diesen kannst du gleichzeitig als einen Richtungsvektor für die Ebene nehmen. Du kannst ihn also schon mal für Vektor u einsetzen.

Das liegt daran, dass dieser Teil der Ebenengleichung eine Geradengleichung ist. Und dafür nimmst du einfach die gegebene Gerade. Nun fehlt nur noch ein zweiter Richtungsvektor v. Dafür nimmst du den Verbindungsvektor von Punkt p zu Punkt q. Für Vektor v rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von q als Vektor geschrieben minus Vektor p, den schreibst du von hier ab.

3 minus 3 ist 0. 2 minus minus 1 ist das gleiche wie 2 plus 1 und das macht 3. Und minus 1 minus 2 ist minus 3. Schieben wir Vektor v mal hier hin. Nun setzt du alles in die allgemeine Ebenengleichung ein. Für diesen Teil schreibst du die Geradengleichung ab.

Dann kommt wie üblich plus s und für Vektor v setzt du das ein. Schon hast du eine Gleichung der Ebene bestimmt, in der die Gerade g und der Punkt q liegen.

Mit 2 sich schneidenden Geraden

Eine Ebene kann auch durch 2 Geraden festgelegt werden, die sich schneiden. Dazu benötigst du auch den Schnittpunkt. Falls er nicht in der Aufgabe gegeben ist, musst du den Schnittpunkt selbst berechnen.

Lösungsbeschreibung

Zwei Geraden, die sich schneiden, legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene anzugeben. Dazu lesen wir diese Aufgabe.

Die Geraden G und H schneiden sich in diesem Punkt. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die von G und H aufgespannt wird. Normalerweise gibt es zu solchen Aufgaben kein Schaubild, aber jetzt gibt es eins, damit du den Lösungsweg leichter nachvollziehen kannst.

Hier ist die Gerade G, hier ist die Gerade H und hier liegt ihr Schnittpunkt. Die Geraden legen die Ebene fest, die hier gelb dargestellt ist. Das ist natürlich nur ein Ausschnitt der Ebene, denn Ebenen sind unendlich.

Die allgemeine Gleichung einer Ebene lautet Vektor X ist gleich Vektor P plus R mal Vektor U plus S mal Vektor V. Nun bestimmst du zwei Richtungsvektoren V und U und einen Stützvektor P. Für Vektor P nimmst du den Vektor vom Ursprung zum Punkt P. Der Vektor hat die gleichen Koordinaten wie der Schnittpunkt. Für Vektor P schreibst du also Vektor 3, minus 1, 2. Dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der ersten Geraden. Diesen verwendest du als den ersten Richtungsvektor U der Ebene.

Du schreibst also plus R und dann übernimmst du einfach diesen Vektor. Für den zweiten Richtungsvektor nimmst du entsprechend den Richtungsvektor der zweiten Geraden. Diesen siehst du hier eingezeichnet.

Du schreibst also plus S und dann überträgst du diesen Vektor. Schon hast du eine Gleichung der Ebene bestimmt, in der die Geraden G und H liegen. Viel Spaß beim Üben!

Mit 2 parallelen Geraden

Eine Ebene kann auch durch 2 parallele Geraden festgelegt werden. So bestimmst du eine Ebenengleichung:

Lösungsbeschreibung

Zwei parallele Geraden legen eine Ebene fest. In diesem Video lernst du, eine Gleichung dieser Ebene anzugeben. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Die Geraden G und H sind parallel. H geht durch diesen Punkt. Bestimme eine Gleichung der Ebene E, die durch G und H festgelegt wird.

Normalerweise gibt es bei solchen Aufgaben kein Schaubild. Nur jetzt gibt es eins, damit du den Lösungsweg leichter nachvollziehen kannst. Blau eingezeichnet ist die Gerade G. Die Gleichung der Geraden H ist nicht gegeben.

Wir wissen aber, dass sie durch den Punkt Q verläuft und parallel zu G ist. Also liegt sie so. Es wäre auch nicht schwer, ihre Gleichung aufzustellen, aber die brauchen wir gar nicht.

Die allgemeine Gleichung einer Ebene lautet, Vektor X ist gleich Vektor P plus R mal Vektor U plus S mal Vektor V. Du brauchst also zwei Richtungsvektoren oder Spannvektoren V und U und einen Stützvektor P. Hier siehst du die Gerade G. Das ist der Stützvektor P, der zu diesem Punkt auf der Geraden führt. Auch die Ebene braucht einen Stützvektor. Da die Gerade in der Ebene verläuft, kannst du einfach den gleichen Stützvektor nehmen.

Für Vektor P kannst du später also das einsetzen. Dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der Geraden G. Diesen kannst du gleichzeitig als einen Richtungsvektor für die Ebene nehmen. Das kannst du später also für Vektor U einsetzen.

Das liegt daran, dass dieser Teil der Ebenengleichung eine Geradengleichung ist und dafür nimmst du einfach die gegebene Gerade. Nun fehlt nur noch ein zweiter Richtungsvektor V. Dafür nimmst du den Verbindungsvektor von Punkt P zu Punkt Q. Für Vektor V rechnest du Ende minus Anfang. Also die Koordinaten von Q als Vektor geschrieben, minus Vektor P, den schreibst du von hier ab.

3 minus 3 ist 0, 2 minus minus 1 ist das gleiche wie 2 plus 1 und das macht 3 und minus 1 minus 2 ist minus 3. Schieben wir Vektor V mal hier hin. Und nun setzt du alles in die allgemeine Ebenengleichung ein. Für diesen Teil schreibst du die Geradengleichung ab.

Dann kommt wie üblich Plus S und für Vektor V setzt du das ein. Schon hast du eine Gleichung der Ebene bestimmt, in der die Geraden G und H liegen.