Geradenscharen

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• Was ist eine Geradenschar?
• Gerade mit bestimmter Eigenschaft ermitteln
• Gemeinsamen Punkt einer Geradenschar bestimmen
• Ebene bestimmen, in der die Schar liegt (1. Mögl.)
• Ebene bestimmen, in der die Schar liegt (2. Mögl.)

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Was ist eine Geradenschar?

Eine Geradenschar besteht aus unendlich vielen einzelnen Geraden. Ihre Gleichungen unterscheiden sich nur an bestimmten Stellen durch den sogenannten Scharparameter a. Es gibt auch Ebenenscharen und Funktionenscharen. In diesem Video siehst du 2 Beispiele für Geradenscharen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was eine Geradenschar ist. Im Alltag siehst du zum Beispiel eine Schar von Menschen. In der Mathematik meint man mit Schar auch eine große Menge.

Es gibt zum Beispiel Geradenscharen, Ebenenscharen und Funktionenscharen. In diesem Video geht es um Geradenscharen. Hier siehst du die Gleichung einer Gerade.

Sie ist aber nicht eindeutig, da hier und hier keine Zahlen stehen, sondern ein a. Das ist der sogenannte Scharparameter. Er muss natürlich nicht immer a heißen. Somit gibt es jetzt zwei Parameter.

t wie üblich und zusätzlich a. Für a darf in der Regel eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Also auch Brüche, Kommazahlen und negative Zahlen. Da das unendlich viele Möglichkeiten sind, gehören unendlich viele Geraden zu der Schar.

Welche Zahl man für a einsetzt, schreibt man hier als Index dran. Setzen wir mal 1 ein. Dann steht hier eine 1 und hier steht 1 minus 1, also 0. Der Rest ist wie oben.

Das ist diese Gerade. Setzt du für a andere Werte ein, erhältst du weitere Geraden der Schar. Hier ist a zum Beispiel 2. Hier 0, hier minus 1 und hier minus 2. Aufgaben zu Scharen drehen sich oft um Gemeinsamkeiten der einzelnen Geraden.

Diese haben zum Beispiel alle den Punkt p gemeinsam. Hier siehst du ein weiteres Beispiel für eine Geradenschar. Die Geraden dieser Schar schneiden sich zwar auch alle in einen Punkt, aber das ist hier nichts Besonderes, da sie alle den gleichen Stützvektor haben.

Das war im ersten Beispiel nicht so. Hier ist das Besondere, dass alle Geraden in ein und derselben Ebene liegen. Eine typische Aufgabe besteht darin, eine Gleichung dieser Ebene anzugeben.

Gerade mit bestimmter Eigenschaft ermitteln

Hier ist z.B. die Gerade einer Schar gesucht, die durch einen bestimmten Punkt verläuft. Da sich alle Geraden nur im Scharparameter a unterscheiden, musst du herausfinden, was a sein muss, damit die Bedingung erfüllt ist. Das Vorgehen ist ähnlich wie bei einer Punktprobe.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es, die Gerade einer Schar zu finden, die eine bestimmte Eigenschaft hat. Wie in dieser Aufgabe. Für jedes A-Element R ist eine Gerade GA gegeben.

Für welches A liegt der Punkt P auf GA? Kennst du A, kennst du die Gerade, auf der dieser Punkt liegt. Um A zu bestimmen, setzt du den Punkt P als Vektor geschrieben hier ein. Also Vektor 1-2,5.

Offenbar ist diese Zeile nur für ein bestimmtes T erfüllt. Das bestimmst du als erstes. Minus 2 soll also 2-2t sein.

Bringe das rüber. Und gleichzeitig kannst du das rüberbringen. 2 plus 2 ist 4. Teile nun noch durch 2. T muss somit 2 sein.

A kommt nur in der dritten Zeile vor. Also schreibst du diese ab, um A zu bestimmen. Für T setzt du gleich 2 ein.

Das ergibt 5 ist gleich 3 plus 2 mal A-1. Also 5 ist gleich 3 plus 2 mal A-1. Das muss in Klammern.

Nun löst du nach A auf. Rechne minus 3. 5-3 ist 2. Hier bleibt das übrig. Da kannst du gleich die Klammer auflösen.

2 mal A sind 2A und 2 mal minus 1 sind minus 2. Rechne plus 2. Und teile nun durch 2. A ist somit 2. Damit ist die Aufgabe gelöst. Was jetzt kommt, ist nur zum besseren Verständnis. Hier siehst du nochmal die allgemeine Gleichung.

Dort setzt du nun für A 2 ein. 2 minus 1 ist 1. Der Rest ist wie oben. Hier siehst du diese Gerade.

Wie gefordert verläuft sie durch den Punkt P. Hier siehst du noch ein paar andere Geraden der Schar. Hier ist A zum Beispiel 1, hier 0 und hier minus 4. Jetzt kannst du dir vorstellen, wie die Geraden verlaufen. Sie gehen alle durch den Punkt 1, 2, 3, da alle den gleichen Stützvektor haben.

Aber es gibt nur eine Gerade, die durch den Punkt P geht, nämlich G2.

Gemeinsamen Punkt einer Geradenschar bestimmen

Hierzu bestimmst du zuerst den Schnittpunkt zweier Geraden und zeigst anschließend, dass dieser Punkt auf jeder Gerade der Schar liegt. Somit muss er der gemeinsame Punkt sein.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es, zu zeigen, dass alle Geraden der Schar einen Punkt gemeinsam haben, wie in dieser Aufgabe. Für jedes A-Element R ist eine Gerade GA gegeben. Alle Geraden gehen durch einen gemeinsamen Punkt P. Ermittle seine Koordinaten.

Wenn hier zum Beispiel eine 3 stehen würde, würden alle Geraden durch den Punkt 1,2,3 gehen. Doch auch wenn hier der Parameter A steht, kann es einen gemeinsamen Punkt geben. Um diesen Punkt zu finden, nimmst du dir erstmal zwei Geraden her und findest heraus, welchen Punkt sie gemeinsam haben, also ihren Schnittpunkt.

Dann brauchst du nur noch zu zeigen, dass dieser Punkt diese Gleichung für jedes A erfüllt. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung mit dem Parameter A. Nun bestimmst du zwei Geraden der Schar. Dazu setzt du für A zwei verschiedene Werte ein, zum Beispiel 1 und 2. Für A gleich 1 steht hier eine 1 und hier 1 minus 1, also 0. Und für A gleich 2 steht hier eine 2 und hier 2 minus 1, also 1. Statt T schreibst du hier andere Parameter, zum Beispiel R und S. Hier siehst du die Geraden G1 und G2.

Nun bestimmst du ihren Schnittpunkt P. Dazu setzt du die Geraden gleich. Du schreibst also das ist gleich dem. Das ergibt dieses lineare Gleichungssystem, kurz LGS.

Nun bestimmst du R und S. Bringe das rüber, indem du minus S mal diesen Vektor rechnest. Und außerdem bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Nun hast du auf der linken Seite die unbekannten R und S. Und kannst die rechte Seite zusammenfassen.

1 minus 1 ist 0, 2 minus 2 ist auch 0 und 2 minus 1 ist 1. Daraus machst du nun drei einzelne Gleichungen. Das ergibt 0R minus 0S gleich 0, kurz 0 gleich 0. Das ergibt 3R minus 3S gleich 0 und das ergibt 0R minus S gleich 1, kurz minus S gleich 1. Die Gleichungen kannst du noch mit römischen Ziffern nummerieren. Rechnest du hier mal minus 1, erhältst du S gleich minus 1. Eigentlich sieht man schon, dass das LGS eindeutig lösbar ist.

Und S würde reichen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Damit du aber keine Punkte riskierst, solltest du das entweder in einem Satz begründen oder das LGS einfach vollständig lösen. Das sähe dann so aus.

Du ersetzt S in der zweiten Gleichung durch minus 1, um R auszurechnen. Minus 3 mal minus 1 ist 3. Bringst du das rüber, steht hier minus 3. Nun teilst du noch durch 3. Das ergibt R gleich minus 1. Zum Schluss prüfst du, ob für diese Werte von R und S auch die übrige Gleichung erfüllt ist. In dieser kommen R und S gar nicht vor.

Da hier eine wahre Aussage steht, ist diese Gleichung immer erfüllt. Das Gleichungssystem ist somit eindeutig lösbar. Mit R gleich minus 1 und S gleich minus 1. Somit müssen sich die Geraden schneiden.

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzt du R in die erste oder S in die zweite Gleichung ein. Nehmen wir mal G1 und setzen dort für R minus 1 ein. Es genügt das Minus.

Die 1 brauchst du nicht extra hinschreiben. 1 minus 0 ist 1. 2 minus 3 ist minus 1. Und 1 minus 0 ist 1. Der Schnittpunkt P hat die gleichen Koordinaten. Also 1 minus 1 ist 1. Entsprechend schreibst du hier Vektor P statt Vektor X. Nun musst du noch zeigen, dass dieser Punkt die Geradengleichung für jedes A erfüllt.

Dazu setzt du den Punkt P als Vektor geschrieben hier ein. Nun bestimmst du erst mal T. Das geht mit der zweiten Zeile. Minus 1 soll 2 plus T mal 3 sein.

Was muss dann T sein? Na, minus 1. Denn minus 1 mal 3 ist minus 3. Und 2 minus 3 ist minus 1. Wenn T minus 1 ist, lautet die dritte Zeile 1 ist gleich A minus 1 mal A minus 1. Also 1 ist gleich A minus 1 mal A minus 1. Löse die Klammer auf. Minus ein A ist minus A. Und minus 1 mal minus 1 macht plus 1. A minus A fällt weg. Somit bleibt 1 übrig.

Und 1 ist gleich 1 ist eine wahre Aussage. A spielt gar keine Rolle dafür. Damit ist gezeigt, dass das und das immer gleich ist.

Egal was man für A einsetzt. Somit liegt P auf jeder Gerade der Schar. Und ist damit ihr gemeinsamer Punkt.

Hier siehst du die Geraden G1 und G2. Und noch ein paar weitere. Hier ist A zum Beispiel 0, hier minus 1 und hier minus 2. Wie du siehst, verlaufen alle durch den Punkt P.

Ebene bestimmen, in der die Schar liegt (1. Mögl.)

Die erste Möglichkeit ist anschaulicher und deshalb gut nachvollziehbar, aber sehr aufwendig. Hier bestimmst du zunächst die Ebene, die 2 der Geraden aufspannen. Die Ebenengleichung liegt dann in Punkt-Richtungsform vor und muss für den nächsten Schritt in Koordinatenform umgewandelt werden. Anschließend zeigst du, dass jede Gerade der Schar in dieser Ebene liegt.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es, zu zeigen, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Wie in dieser Aufgabe. Für jedes a-Element R ist eine Gerade GA gegeben.

Alle Geraden liegen in einer Ebene E. Ermittle eine Gleichung für E. Um diese Ebene zu bestimmen, nimmst du dir erstmal zwei Geraden her und bestimmst die Ebene, die sie aufspannen. Dann brauchst du nur noch zu zeigen, dass alle Geraden der Schar in dieser Ebene liegen. Dieser Schritt ist viel einfacher, als er klingt.

Hier siehst du nochmal die Geradengleichung mit dem Parameter a. Nun bestimmst du zwei Geraden der Schar. Dazu setzt du für a zwei verschiedene Werte ein. Zum Beispiel 1 und 2. Für a gleich 1 steht hier dann eine 1 und hier 1 plus 1, also 2. Für a gleich 2 steht hier eine 2 und hier 2 plus 1, also 3. Für t schreibst du hier andere Parameter, zum Beispiel r und s. Hier siehst du die Geraden G1 und G2.

Sie spannen diese Ebene auf. Nun gibst du eine Gleichung dieser Ebene in Punktrichtungsform an. Beide Geraden haben den gleichen Stützvektor.

Diesen nimmst du auch als Stützvektor für die Ebene. Das ist dieser Vektor p. Nun nimmst du den Richtungsvektor der ersten Geraden und der zweiten Geraden als Spannvektoren für die Ebene. Du schreibst also das ab und das ab.

Fertig ist die Ebenengleichung in Punktrichtungsform. Hier siehst du sie nochmal. Diese Form ist aber ungeeignet für den nächsten Schritt.

Dafür brauchst du die Koordinatenform dieser Ebene. Für diese musst du n1, n2, n3 und b bestimmen. Das sind die Koordinaten eines normalen Vektors n. Ein normaler Vektor steht senkrecht auf der Ebene.

Du erhältst ihn aus den Vektoren u und v mithilfe des Vektorprodukts oder des Skalarprodukts. Wir nehmen jetzt mal das Vektorprodukt. Vektor n ist u Kreuz v. Hier siehst du nochmal die Spannvektoren u und v. Für das Vektorprodukt schreibst du u Kreuz v. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab.

Dabei kann dir folgendes Schema helfen. Schreibe die Koordinaten von Vektor u zweimal untereinander. Das gleiche machst du nochmal für Vektor v. Dann streichst du die letzte und die erste Zeile durch.

Nun rechnest du 2 mal 2 minus 1 mal 3, 1 mal 1 minus 1 mal 2, 1 mal 3 minus 2 mal 1. Jetzt fasst du zusammen. 2 mal 2 ist 4 und 1 mal 3 ist 3. 4 minus 3 ist 1. 1 mal 1 ist 1 und 1 mal 2 ist 2. 1 minus 2 ist minus 1. 1 mal 3 ist 3 und 2 mal 1 ist 2. 3 minus 2 ist 1. Dieser Vektor ist ein normalen Vektor n. Hier siehst du nochmal die allgemeine Koordinatenform. Für Vektor n hast du gerade das rausbekommen.

Das setzt du nun oben ein. 1 mal x1 ist x1, minus 1 mal x2 ist minus x2 und 1 mal x3 ist x3. Nun fehlt noch b. Hier siehst du die Punktrichtungsform der Ebene, die du ganz am Anfang aufgestellt hast.

Das sind die Koordinaten eines Punktes der Ebene. Setzt du diese hier ein, kannst du b ausrechnen. 1 minus 2 plus 3 ist gleich b. Also 1 minus 2 plus 3 ist gleich b. 1 minus 2 ist minus 1 und minus 1 plus 3 ist 2. b ist somit 2. Nun schreibst du das ab und setzt für b 2 ein.

Das ist die Koordinatengleichung der Ebene e. Sie beschreibt dieselbe Ebene wie diese Gleichung. Nun kommt der letzte Schritt. Nun musst du nachweisen, dass alle Geraden der Schar in dieser Ebene liegen.

Hier siehst du nochmal die Gleichung der Geraden Schar. Vektor x ist ja x1, x2 und x3. x1 ist somit 1 plus t. x2 ist 2 plus t mal a oder at plus t mal 1, also plus t. Und x3 ist 3 plus at.

Das setzt du nun in die Koordinatengleichung ein, die du eben bestimmt hast. So prüfst du, ob die Geraden in der Ebene liegen. x1 ist 1 plus t. x2 ist das.

Wegen dem Minus davor muss das in Klammern. Und x3 ist das. Nun löst du die Klammer auf.

Wegen dem Minus davor ändern sich die Vorzeichen. Aus 2 wird minus 2, aus plus at wird minus at und aus plus t wird minus t. Minus t plus t fällt weg. Genauso minus at plus at.

1 minus 2 ist minus 1 und minus 1 plus 3 ist 2. 2 ist gleich 2 ist eine wahre Aussage. Somit liegen alle Geraden GA in der Ebene E. Denn diese Gleichung ist offenbar immer erfüllt, egal was man für A einsetzt. Hier siehst du die Geraden G1 und G2 und noch ein paar weitere.

Hier ist A zum Beispiel minus 1, hier minus 2 und hier 0. Wie du siehst, liegen alle Geraden in der Ebene E. Diese ist natürlich unendlich groß. Du siehst hier nur einen Ausschnitt der Ebene.

Ebene bestimmen, in der die Schar liegt (2. Mögl.)

Die zweite Möglichkeit geht überraschend schnell, ist aber nicht sehr anschaulich. Hier machst du aus der Gleichung der Schar ein lineares Gleichungssystem und eliminierst durch Umformen die Parameter a und t. Was übrig bleibt, ist die gesuchte Gleichung der Ebene.

Lösungsbeschreibung

Eine typische Aufgabe ist es zu zeigen, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene liegen. Wie in dieser Aufgabe. Für jedes A-Element R ist eine Gerade GA gegeben.

Alle Geraden liegen in einer Ebene E. Ermittle eine Gleichung für E. In diesem Video zeige ich dir dafür eine zweite und sehr schnelle Möglichkeit. Hier siehst du nochmal die Gleichung der Geraden Schar. Vektor x ist der x1, x2 und x3.

Nun machst du daraus drei einzelne Gleichungen. x1 ist 1 plus t. x2 ist 2 plus t mal a. Oder at. Plus t mal 1. Also plus t. Und x3 ist 3 plus at.

Das ist ein lineares Gleichungssystem. Kurz LGS. Nun formst du es so um, dass in einer Gleichung t und a wegfallen.

Dafür gibt es allerdings kein Schema. Hier funktioniert folgendes. Rechne diese Gleichung minus diese Gleichung.

Links steht dann x1 minus x2. 1 minus 2 ist minus 1. t minus t fällt weg. Und daraus wird minus at.

Da du ja minus die zweite Zeile rechnest. Nun ist noch diese Zeile übrig. Addiere sie einfach zu dieser dazu.

Links steht dann x1 minus x2 plus x3. 3 minus 1 ist 2. Und at minus at fällt weg. Das ist eine Gleichung der gesuchten Ebene.

Alle Geraden GA liegen in dieser Ebene. Hier siehst du einige Geraden der Schar. Hier ist a zum Beispiel 0, hier 1, hier 2, hier minus 2 und hier minus 1. Sie liegen alle in der gelben Ebene, deren Gleichung du gerade bestimmt hast.

Die Ebene ist natürlich unendlich groß. Du siehst hier nur einen Ausschnitt davon. Außerdem schneiden sich alle Geraden im Punkt 1,2,3, da alle den gleichen Stützvektor haben.