Gegenseitige Lage zweier Geraden

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• So können 2 Geraden zueinander liegen
• Gegenseitige Lage zweier Geraden bestimmen / Beispiel: Identische Geraden
• Beispiel: Parallele Geraden
• Beispiel: Sich schneidende Geraden
• Beispiel: Windschiefe Geraden
• Schnittpunkt bestimmen
• Prüfen, ob 2 Geraden orthogonal sind

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

So können 2 Geraden zueinander liegen

Im zweidimensionalen Koordinatensystem können sich Geraden schneiden, parallel oder identisch sein. Im räumlichen Koordinatensystem kommt eine vierte Möglichkeit hinzu: 2 Geraden können windschief sein. In diesem Video siehst du auf Bildern, wie 2 Geraden zueinander liegen können und erfährst, welche Merkmale entscheidend sind. Anschließend erhältst du einen Plan, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst. Im Raum gibt es vier Möglichkeiten. Zwei Geraden können parallel oder identisch sein, sie können sich schneiden oder windschief sein.

Die rote Gerade geht hier noch weiter und die blaue Gerade geht hier noch weiter. Würde man die rote Gerade nach unten verschieben, würde sie sich mit der blauen Gerade schneiden. Doch so, wie sie jetzt liegen, sind die Geraden windschief.

Zusätzlich sind sie orthogonal. Auch sich schneidende Geraden können orthogonal sein. Dann wäre der Schnittwinkel ein rechter Winkel.

Jetzt schauen wir uns an, was für die einzelnen Fälle charakteristisch ist. Bei parallelen und identischen Geraden sind die Richtungsvektoren parallel. Das bedeutet, sie sind vielfache voneinander beziehungsweise linear abhängig.

In diesen beiden Fällen sind die Richtungsvektoren nicht parallel. Schneiden sich die Geraden, gibt es genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt. Sind die Geraden identisch, dann sind alle Punkte gemeinsame Punkte.

Es handelt sich im Prinzip um dieselbe Gerade, die durch zwei verschiedene Gleichungen dargestellt wird. Parallele und windschiefe Geraden haben keine gemeinsamen Punkte. Den Fall windschief gibt es nur im Raum.

Geraden in der Ebene können sich nur schneiden, identisch oder parallel sein. Jetzt zeige ich dir, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst. Nennen wir die eine Gerade mal g und die andere h. Die Gerade g soll durch diese Gleichung beschrieben werden und die Gerade h durch diese.

Als erstes prüfst du, ob die Richtungsvektoren parallel, also linear abhängig sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor u gleich k mal Vektor v ist. Vektor v steht hier.

Und Vektor u steht hier. Sind die Richtungsvektoren parallel, dann sind auch die Geraden parallel. Nun gibt es zwei Möglichkeiten.

Entweder sind die Geraden echt parallel oder identisch. Das findest du mit einer Punktprobe heraus. Du nimmst von der Gerade g den Punkt p mit diesem Ortsvektor und testest, ob er auch auf der Gerade h liegt.

Liegt p auf h, liegen alle Punkte von g auf h. Somit sind g und h identisch. Liegt p jedoch nicht auf h, dann sind die Geraden echt parallel. Alternativ könntest du prüfen, ob der Punkt q, der diesen Ortsvektor hat, auf der Geraden g liegt.

Jetzt gehen wir wieder an diese Stelle zurück. Gibt es kein k, sodass diese Gleichung erfüllt ist, dann landest du in diesem Zweig. Jetzt können die Geraden sich nur schneiden oder windschief sein.

Als nächstes setzt du die Geraden gleich. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den unbekannten r und s. Gibt es eine eindeutige Lösung für r und s, dann schneiden sich die Geraden. Meist sollst du in diesem Fall auch den Schnittpunkt angeben.

Dazu setzt du die Zahl, die du für r rausbekommen hast, hier ein. Genauso gut kannst du die Zahl, die du für s rausbekommen hast, hier einsetzen. Hat das LDS jedoch keine Lösung, dann sind die Geraden windschief.

Windschiefe Geraden und Geraden, die sich schneiden, können zusätzlich orthogonal sein. Wenn danach gefragt wird, prüfst du, ob das Skalarprodukt der Richtungsvektoren u und v Null ergibt. Falls ja, sind die Geraden orthogonal.

Gegenseitige Lage zweier Geraden bestimmen / Beispiel: Identische Geraden

Mit dem Plan aus dem letzten Video untersuchen wir nun die gegenseitige Lage zweier Geraden. Für jeden der 4 Fälle findest du hier ein komplett durchgerechnetes Beispiel. Bei identischen Geraden sind die Richtungsvektoren parallel. Außerdem ergibt eine Punktprobe, dass der Aufpunkt der ersten Geraden auch auf der zweiten Geraden liegt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du identische Geraden erkennst. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe. Untersuche die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden.

Im letzten Video habe ich dir gezeigt, wie du dabei vorgehst. Als erstes prüfst du, ob die Richtungsvektoren parallel sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor u gleich k mal Vektor v ist.

Also Vektor u ist gleich k mal Vektor v. Die Richtungsvektoren sind die, wo R und S davorstehen. Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. 2 ist gleich k mal 1, 6 ist gleich k mal 3 und minus 4 ist gleich k mal minus 2. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob immer die gleiche Zahl rauskommt.

k mal 1 ist ja k. Hier ist k also 2. Hier teilst du durch 3, damit k allein auf einer Seite steht. 6 geteilt durch 3 ist 2. Also ist k wieder 2. Und hier teilst du durch minus 2. Minus 4 geteilt durch minus 2 macht ebenfalls 2. Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren u und v, also die Richtungsvektoren, parallel. Die Richtungsvektoren sind also parallel.

Nun machst du eine Punktprobe. Du nimmst von der Gerade g den Punkt p mit diesem Ortsvektor und prüfst, ob er auch auf der Gerade h liegt. Das ist der Ortsvektor von Punkt p. Der Punkt p hat die gleichen Koordinaten.

Du prüfst also, ob der Punkt 105 auf der Geraden h mit dieser Gleichung liegt. Dafür schreibst du den Punkt wieder als Vektor und setzt ihn für Vektor x ein. Die rechte Seite schreibst du einfach ab.

Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen, so wie du es mit Zahlen auch machen würdest. Du bringst also diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Auf dieser Seite bleibt dann nur das übrig.

1 minus 3 ist minus 2. 0 minus 6 ist minus 6. Und 5 minus 1 ist 4. Nun machst du das Gleiche wie gerade eben bei den Richtungsvektoren, nur dass hier s statt k steht. Mache daraus erstmal drei einzelne Gleichungen. Minus 2 ist gleich s mal 1. Minus 6 ist gleich s mal 3. Und 4 ist gleich s mal minus 2. Nun löst du jede Zeile nach s auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt.

s mal 1 ist ja s. s ist also minus 2. Hier teilst du erst noch durch 3. Minus 6 geteilt durch 3 ist minus 2. s ist also wieder minus 2. Und hier teilst du erst noch durch minus 2. 4 geteilt durch minus 2 ist wieder minus 2. Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, liegt der Punkt P auf der Geraden H. Damit liegen automatisch alle anderen Punkte von G auch auf H. Die beiden Geraden sind somit identisch. Wenn du die Geraden zeichnest, zeichnest du eigentlich nur eine Gerade und schreibst beide Bezeichnungen dran. Hier liegt der Punkt P, mit dem du die Punktprobe gemacht hast.

Das ist der zugehörige Ortsvektor. Hier liegt übrigens der Aufpunkt der Gerade H mit diesem Ortsvektor.

Beispiel: Parallele Geraden

Wie bei identischen Geraden sind die Richtungsvektoren parallel. Eine Punktprobe ergibt jedoch, dass der Aufpunkt der ersten Geraden nicht auf der zweiten Geraden liegt. Somit sind die Geraden parallel und verschieden - man sagt auch echt parallel.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du parallele Geraden erkennst. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe. Untersuche die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden.

Falls du das Video zu identischen Geraden gesehen hast, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen, denn bis dahin ist alles gleich. Auch die Geradengleichungen habe ich nur minimal geändert. Die Gerade g ist gleich und bei der Geraden h sind nur diese beiden Koordinaten anders.

Nun kommen wir aber zu dieser Aufgabe. Im ersten Video habe ich dir gezeigt, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst. Als erstes prüfst du, ob die Richtungsvektoren parallel sind.

Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor u gleich k mal Vektor v ist. Also Vektor u ist gleich k mal Vektor v. Die Richtungsvektoren sind die, wo r und s davor stehen. Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen.

2 ist gleich k mal 1. 6 ist gleich k mal 3. Und minus 4 ist gleich k mal minus 2. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob immer die gleiche Zahl rauskommt. k mal 1 ist ja k. Hier ist k also 2. Hier teilst du durch 3, um nach k aufzulösen. 6 geteilt durch 3 ist 2, also ist k wieder 2. Und hier teilst du durch minus 2. Minus 4 geteilt durch minus 2 macht ebenfalls 2. Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren u und v, also die Richtungsvektoren, parallel.

Die Richtungsvektoren sind also parallel. Nun machst du eine Punktprobe. Du nimmst von der Gerade G den Punkt P mit diesem Ortsvektor und prüfst, ob er auch auf der Gerade H liegt.

Das ist der Ortsvektor vom Punkt P. Der Punkt P hat die gleichen Koordinaten. Du prüfst also, ob der Punkt P105 auf der Geraden H mit dieser Gleichung liegt. Dafür schreibst du den Punkt wieder als Vektor und setzt ihn für Vektor X ein.

Die rechte Seite schreibst du einfach ab. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen, so wie du es mit Zahlen auch machen würdest. Du bringst also diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest.

Auf dieser Seite bleibt dann nur das übrig. 1 minus 3 ist minus 2. 0 minus minus 1 ist 1. Und 5 minus 4 ist auch 1. Nun machst du das Gleiche wie gerade eben bei den Richtungsvektoren, nur dass hier S statt K steht. Mache daraus erstmal drei einzelne Gleichungen.

Minus 2 ist gleich S mal 1. 1 ist gleich S mal 3. Und 1 ist gleich S mal minus 2. Nun löst du jede einzelne Zeile nach S auf und schaust, ob dabei immer die gleiche Zahl rauskommt. S mal 1 ist ja S. S ist also minus 2. Hier teilst du erst noch durch 3, um nach S aufzulösen. Somit ist S ein Drittel und nicht minus 2. Deshalb kannst du die Rechnung sofort abbrechen und als Symbol zum Beispiel einen Blitz dran machen.

Der Punkt P liegt nicht auf H. Somit sind die Geraden G und H parallel und verschieden. Man sagt auch echtparallel. Hier siehst du ein Schaubild.

Die Geraden sind echtparallel. Der Abstand zwischen ihnen bleibt immer gleich, wie bei Bahnschienen. Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden H. Deshalb führte die Punktprobe gerade eben zu einem Widerspruch.

Das ist der Ortsvektor von P. Hier liegt übrigens der Punkt Q mit diesem Ortsvektor. Dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der Gerade G. Und dieser Pfeil den Richtungsvektor der Gerade H. Beide Pfeile sind parallel. Deshalb müssen ja auch die Geraden parallel sein.

Beispiel: Sich schneidende Geraden

Schneiden sich zwei Geraden, sollst du in der Regel auch den Schnittpunkt angeben. Schneiden sich die Geraden senkrecht (also rechtwinklig), sind sie orthogonal.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du erkennst, dass sich Geraden schneiden. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe. Untersuche die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden.

Im ersten Video habe ich dir gezeigt, wie du dabei vorgehst. Als erstes prüfst du, ob die Richtungsvektoren parallel sind. Falls ja, gibt es eine Zahl k, sodass Vektor u gleich k mal Vektor v ist.

Also Vektor u ist gleich k mal Vektor v. Die Richtungsvektoren sind die, wo r und s davor stehen. Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. 4 ist gleich k mal 2, 1 ist gleich k mal minus 1 und minus 2 ist gleich k mal 0. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob immer die gleiche Zahl rauskommt.

Hier teilst du durch 2, um nach k aufzulösen. 4 geteilt durch 2 ist 2. k ist also 2. Hier teilst du durch minus 1. 1 geteilt durch minus 1 ist minus 1. Hier kommt also etwas anderes raus als 2. Deshalb kannst du die Rechnung sofort abbrechen und als Symbol zum Beispiel einen Blitz dran machen. Die Richtungsvektoren sind nicht parallel.

Um das zu erkennen, hätte auch diese Zeile gereicht. Denn k mal 0 ist 0 und das ist nicht gleich minus 2. Also steht hier eine falsche Aussage. Ich wollte dir aber einen systematischen Weg zeigen, den du immer benutzen kannst.

Die Richtungsvektoren sind also nicht parallel. Deshalb nimmst du diese Abzweigung. Die Geraden können sich jetzt entweder schneiden oder windschief sein.

Um das zu untersuchen, setzt du die beiden Geraden gleich. Dabei entsteht ein lineares Gleichungssystem. Ist das eindeutig lösbar, schneiden sich die Geraden.

Hat das keine Lösung, sind die Geraden windschief. Setze also g gleich h. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Für g schreibst du das ab und für h schreibst du das ab.

Bringe das rüber, indem du minus s mal diesen Vektor rechnest. Und außerdem bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest. Nun hast du auf der linken Seite die unbekannten r und s und kannst die rechte Seite zusammenfassen.

5 minus minus 3 ist das gleiche wie 5 plus 3 und das macht 8. 0 minus 1 ist minus 1 und 3 minus 5 ist minus 2. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon. Daraus machst du nun drei einzelne Gleichungen.

Da es aber nur zwei Unbekannte gibt, brauchst du erstmal nur die oberen beiden. Das ergibt 4r minus 2s gleich 8. Also 4r minus 2s gleich 8. r mal 1 ist r. Und minus s mal minus 1 ist plus s. Hier überträgst du minus 1. Die Gleichungen kannst du noch mit römischen Ziffern nummerieren. Benutze nun das Additionsverfahren, um eine Variable, zum Beispiel r, zu eliminieren.

Multipliziere die zweite Gleichung dazu mit minus 4 und rechne beide Gleichungen zusammen. Minus 4 mal r sind minus 4r und 4r minus 4r fällt weg. Das war ja unsere Absicht.

Minus 4 mal s sind minus 4s und minus 2s minus 4s sind minus 6s. Minus 4 mal minus 1 ist 4 und 8 plus 4 ist 12. Um zu verdeutlichen, dass sich die zweite Gleichung geändert hat, kannst du noch einen kleinen Strich dran machen.

Nun teilst du noch durch minus 6 und erhältst s gleich minus 2. Das setzt du nun in die erste Gleichung für s ein, um r auszurechnen. Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt s durch minus 2. Minus mal minus macht plus und 2 mal 2 sind 4. Diese bringst du nun rüber. 8 minus 4 ist 4. Nun teilst du noch durch 4. Das ergibt r gleich 1. Da das Gleichungssystem aber eigentlich 3 Gleichungen hat, schreibst du nun die dritte auf und prüfst, ob diese auch erfüllt ist für r gleich 1 und s gleich minus 2. Das sind minus 2r minus 0s gleich minus 2. Also minus 2r minus 0s gleich minus 2. 0 mal irgendwas ist 0. Das kannst du gleich weglassen.

s kommt also gar nicht mehr vor. Für r setzt du nun die 1 ein. Minus 2 mal 1 ist minus 2. Somit steht hier eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst.

Also hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, nämlich r gleich 1 und s gleich minus 2. Daraus folgt, dass sich die Geraden g und h schneiden. Hier siehst du ein Schaubild. Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt s. Achte immer genau auf die Aufgabenstellung.

Steht in der Aufgabe schon das Signalwort schneiden oder Schnittpunkt, brauchst du nicht erst zu prüfen, ob die Richtungsvektoren parallel sind. Zum Beispiel zeige, dass sich die Geraden g und h schneiden. Hier könnte auch noch das Wort senkrecht dabei stehen.

Oder schneiden sich die Geraden g und h? Oder berechne die Koordinaten des Schnittpunktes s von g und h? Oder berechne die Koordinaten des Schnittpunktes s von g und h? Bei einer solchen Aufgabe fängst du gleich mit diesem Schritt an und prüfst, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat.

Beispiel: Windschiefe Geraden

Windschiefe Geraden können außerdem orthogonal sein.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Windschiefegeraden erkennst. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe. Untersuche die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden.

Falls du das Video zu sich schneidenden Geraden gesehen hast, kannst du gleich zur eingeblendeten Stelle im Video springen, denn bis dahin ist alles gleich. Auch die Geradengleichungen habe ich nur minimal geändert. Die Gerade G ist gleich und bei der Gerade H hat sich nur diese Koordinate geändert.

Nun kommen wir aber zu dieser Aufgabe. Im ersten Video habe ich dir gezeigt, wie du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst. Als erstes prüfst du, ob die Richtungsvektoren parallel sind.

Falls ja, gibt es eine Zahl k, so dass Vektor u gleich k mal Vektor v ist. Also Vektor u ist gleich k mal Vektor v. Die Richtungsvektoren sind die, wo R und S davor stehen. Das ist Vektor u und das ist Vektor v. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen.

4 ist gleich k mal 2 1 ist gleich k mal minus 1 und minus 2 ist gleich k mal 0. Nun löst du jede Zeile nach k auf und schaust, ob immer die gleiche Zahl rauskommt. Hier teilst du durch 2, um nach k aufzulösen. 4 geteilt durch 2 ist 2. k ist also 2. Hier teilst du durch minus 1. 1 geteilt durch minus 1 ist minus 1. Hier kommt also etwas anderes raus als 2. Deshalb kannst du die Rechnung sofort abbrechen und als Symbol zum Beispiel einen Blitz dran machen.

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Um das zu erkennen, hätte auch diese Zeile gereicht. Denn k mal 0 ist 0 und das ist nicht minus 2, also steht hier eine falsche Aussage.

Ich wollte dir aber einen systematischen Weg zeigen, den du immer benutzen kannst. Die Richtungsvektoren sind also nicht parallel. Deshalb nimmst du diese Abzweigung.

Die Geraden können sich jetzt entweder schneiden oder windschief sein. Um das zu untersuchen, setzt du die beiden Geraden gleich. Dabei entsteht ein lineares Gleichungssystem.

Ist das eindeutig lösbar, schneiden sich die Geraden. Hat das keine Lösung, sind die Geraden windschief. Setze also g gleich h. Hier siehst du nochmal die Geradengleichung.

Für g schreibst du das ab und für h schreibst du das ab. Bringe das rüber, indem du minus s mal diesen Vektor rechnest. Und außerdem bringst du diesen Vektor rüber, indem du minus diesen Vektor rechnest.

Nun hast du auf der linken Seite die unbekannten r und s und kannst die rechte Seite zusammenfassen. 5 minus minus 3 ist das gleiche wie 5 plus 3 und das macht 8. 0 minus 1 ist minus 1 und minus 3 minus 5 ist minus 8. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir auf der nächsten Seite weiter. So weit waren wir schon.

Daraus machst du nun 3 einzelne Gleichungen. Da es aber nur 2 unbekannte gibt, brauchst du erstmal nur die oberen beiden. Das ergibt 4r minus 2s ist gleich 8. Also 4r minus 2s ist gleich 8. r mal 1 ist r und minus s mal minus 1 ergibt plus s. Das soll minus 1 sein.

Die Gleichungen kannst du noch mit römischen Ziffern numerieren. Benutze nun das Additionsverfahren, um eine Variable, zum Beispiel r, zu eliminieren. Multipliziere die zweite Gleichung dazu mit minus 4 und rechne dann beide Gleichungen zusammen.

Minus 4 mal r sind minus 4r und 4r minus 4r fällt weg. Das war ja unsere Absicht. Minus 4 mal s sind minus 4s und minus 2s minus 4s sind minus 6s.

Minus 4 mal minus 1 ist 4 und 8 plus 4 ist 12. Um zu verdeutlichen, dass sich die zweite Gleichung geändert hat, kannst du einen kleinen Strich dran machen. Nun teilst du noch durch minus 6 und erhältst s gleich minus 2. Das setzt du nun in die erste Gleichung für s ein, um r auszurechnen.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt s durch minus 2. Minus mal minus macht plus und 2 mal 2 ist 4. Diese bringst du nun rüber. 8 minus 4 ist 4. Nun teilst du noch durch 4. Das ergibt r gleich 1. Da das Gleichungssystem aber eigentlich drei Gleichungen hat, schreibst du nun die dritte auf und prüfst, ob auch diese erfüllt ist für r gleich 1 und s gleich minus 2. Das sind minus 2r minus 0s gleich minus 8. Also minus 2r minus 0s gleich minus 8. 0 mal irgendwas ist 0. Das kannst du gleich weglassen. Es kommt also gar nicht mehr vor.

Für r setzt du nun 1 ein. Minus 2 mal 1 ist aber minus 2 und nicht minus 8. Somit steht hier eine falsche Aussage, was du mit f.a. abkürzen kannst. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Das bedeutet, die Geraden sind windschief. Hier siehst du ein Schaubild. Leider sieht es dort meist so aus, als würden sich die Geraden doch schneiden.

Dem ist aber nicht so. Hier habe ich dir Punkte auf der blauen Geraden markiert. In diesem Punkt stößt die Gerade durch die x1-x2-Ebene und verläuft dann darunter weiter.

Stell dir vor, die blaue Gerade ist eine Stange und die Ebene die Wasseroberfläche. An dieser Stelle taucht die Stange ins Wasser ein. Der Punkt A befindet sich noch eine Einheit, z.B. 1 Meter über Wasser.

Der Punkt B ist bereits 1 Meter unter Wasser. Alle Punkte auf der grünen Geraden haben die x3-3-Koordinate. Da hier eine Null steht, ändert sich diese nämlich nicht.

Die grüne Gerade verläuft sozusagen 3 Meter unter Wasser. Deshalb ist sie in diesem Bereich unterhalb der blauen Geraden, auch wenn es anders wirkt. Untertitel von Stephanie Geiges

Schnittpunkt bestimmen

Schneiden sich 2 Geraden, ist meist auch der Schnittpunkt gesucht. In diesem Video zeige ich dir, wie du den Schnittpunkt der Geraden aus dem obigen Beispiel berechnest.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S dieser beiden Geraden.

Hier siehst du die Geraden G und H. Gesucht ist dieser Schnittpunkt. In einem anderen Video haben wir bereits gezeigt, dass sich die Geraden überhaupt schneiden. Dazu haben wir G gleich H gesetzt.

Dieses Gleichungssystem hatte eine eindeutige Lösung, nämlich R gleich 1 und S gleich minus 2. Daraus folgte, dass sich die Geraden schneiden. Diese Zahlen haben aber auch eine wichtige Bedeutung, wenn du den Schnittpunkt berechnen willst. Dazu hast du zwei Möglichkeiten.

Die erste geht so. Hier siehst du den Punkt P und den Ortsvektor P mit diesen Koordinaten. Und dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der Gerade G. Für R haben wir als Lösung 1 rausbekommen.

Das bedeutet, wenn du den Richtungsvektor einmal am Punkt P ansetzt, gelangst du zum Schnittpunkt S. Vektor S ist also Vektor P plus einmal Vektor U. Was wir grafisch gemacht haben, machst du rechnerisch so. Für R setzt du die 1 ein und nennst das nicht Vektor X, sondern Vektor S. Dieser Vektor hat dann die gleichen Koordinaten wie der Punkt S, den wir eigentlich suchen. Der Faktor 1 verändert ja nichts.

Du rechnest also minus 3 plus 4 gleich 1. 1 plus 1 gleich 2. Und 5 plus minus 2 ist das gleiche wie 5 minus 2 und das macht 3. Das ist ein kleines S. Für den Schnittpunkt schreibst du ein großes S und dann übernimmst du einfach diese Koordinaten. Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten 1, 2, 3. Gehen wir nochmal an den Anfang zurück. Der Schnittpunkt liegt ja auf beiden Geraden.

Deshalb kannst du genauso gut den Weg über die Gerade H nehmen. Hier liegt der Punkt Q und der Ortsvektor Q mit diesen Koordinaten. Und dieser Pfeil repräsentiert den Richtungsvektor der Gerade H. Für S hast du als Lösung minus 2 rausbekommen.

Das bedeutet, wenn du den Richtungsvektor zweimal in entgegengesetzter Richtung an den Punkt Q ansetzt, gelangst du zum Schnittpunkt S. Vektor S ist also Vektor Q minus 2 mal Vektor V. Die Rechnung dazu sieht so aus. Diesmal nimmst du die Gleichung für die Gerade H. Nun setzt du für S minus 2 ein. Plus mal minus 2 ist minus 2. Das nennst du jetzt nicht Vektor X, sondern wieder Vektor S. Dieses S hat übrigens nichts mit diesem S zu tun.

Hier ist S eine Zahl und hier ein Vektor. Und nun rechnest du wieder. Minus 2 mal 2 ist minus 4. Und 5 minus 4 ist 1. Minus 2 mal minus 1 macht plus 2. Und 0 plus 2 ist 2. Minus 2 mal 0 ist 0. Und 3 plus 0 ist 3. Es kommen also die gleichen Koordinaten für den Schnittpunkt raus wie vorher.

Prüfen, ob 2 Geraden orthogonal sind

Zusätzlich sollst du manchmal prüfen, ob 2 Geraden orthogonal sind. Dazu berechnest du das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren. Nur Geraden, die sich schneiden oder windschief sind, können orthogonal sein. Bei sich schneidenden Geraden beträgt der Schnittwinkel dann 90 Grad.

Lösungsbeschreibung

Wenn du die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchst, sollst du manchmal zusätzlich prüfen, ob die Geraden orthogonal sind. Nur Geraden, die sich schneiden oder windschief sind, können orthogonal sein. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe.

Sind die Geraden G und H orthogonal? Das ist der Fall, wenn die Richtungsvektoren zueinander orthogonal sind. Und das untersuchst du wie üblich mit dem Skalarprodukt. Vektor U ist das und Vektor V ist das.

Das Skalarprodukt ist minus 1 mal minus 1 plus 3 mal 2 plus 7 mal minus 1. Minus 1 mal minus 1 ist 1. 3 mal 2 ist 6. Plus mal minus macht minus und 7 mal 1 ist 7. 1 plus 6 ist 7 und 7 minus 7 ist 0. Wenn hier 0 rauskommt, sind die Richtungsvektoren zueinander orthogonal. Und damit auch die Geraden G und H. Hier siehst du ein Schaubild. Die Geraden G und H schneiden sich.

Und da ihr Schnittwinkel 90° beträgt, sind sie orthogonal. Du kannst auch sagen, sie schneiden sich senkrecht. Im räumlichen Koordinatensystem sehen Winkel oft verzerrt aus.

Es ist übrigens nicht notwendig, dass sich die Geraden schneiden. Auch windschiefe Geraden können orthogonal sein.