Spurpunkte einer Geraden
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Spurpunkte einer Geraden
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. Noch treffender ist die Bezeichnung Durchstoßpunkte. Je nach Lage kann eine Gerade 1 bis 3 Spurpunkte haben. Spurpunkte gibt es auch bei Ebenen. Dort haben sie aber eine andere Bedeutung. So berechnest du die Spurpunkte:
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Spurpunkte einer Gerade bestimmst. Das sind die Schnittpunkte einer Gerade mit den Koordinatenebenen. Wenn du dir das wie ein Zimmer vorstellst, dann ist der Fußboden die x1, x2 Ebene, die Wand, auf die du drauf schaust, ist die x2, x3 Ebene und die linke Wand ist die x1, x3 Ebene.
Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe. Berechne die Spurpunkte dieser Geraden. Die Aufgabe könnte aber auch so formuliert sein.
In welchen Punkten schneidet diese Gerade die Koordinatenebenen? Denn diese Schnittpunkte sind ja genau die Spurpunkte. Das ist die Gerade G. Hier schneidet sie die x1, x2 Ebene. Das ist ein Spurpunkt.
Man kann auch Durchstoßpunkt sagen, was es wohl am besten trifft. Die x3-Koordinate von diesem Punkt ist 0. Oberhalb dieser Ebene ist x3 positiv und unterhalb davon negativ. Aber genau in dieser Ebene ist x3 0. Darunter verläuft die Gerade weiter, hier grau dargestellt.
Dadurch stößt in diesem Punkt die x1, x3 Ebene. In diesem Punkt ist die x2-Koordinate 0. Und hier ist der Schnittpunkt mit der x2, x3 Ebene. Dort ist die x1-Koordinate 0. Jetzt zeige ich dir, wie du diese Schnittpunkte oder Spurpunkte berechnest.
Hier siehst du nochmal die Geradengleichung. Berechnen wir zuerst den Spurpunkt S12. Das heißt, x3 ist gleich 0. Somit muss –2 –2r Null ergeben.
Jetzt löfst du einfach nach r auf. Rechne plus 2 und teile nun durch –2. Das ergibt r gleich –1.
Das setzt du nun hier oben ein. Statt plus –1 kannst du gleich –1 schreiben. Statt Allgemeinvektor x nennen wir das Vektor S12 mit einem kleinen Buchstaben.
–1 mal 1 ist –1 und 2 minus 1 ist 1. –1 mal –1 ist plus 1 und 1 plus 1 macht 2. –1 mal –2 ist plus 2 und –2 plus 2 macht 0. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Für den Punkt S12 schreibst du einen Großbuchstaben und dann übernimmst du einfach die Koordinaten. Auf die gleiche Weise berechnest du die übrigen Spurpunkte.
Beim Spurpunkt S13 ist x2 gleich 0. Das bedeutet, 1 minus r muss Null ergeben. Rechne plus r und du erhältst r gleich 1. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Das setzt du nun hier oben ein.
Diesen Vektor nennen wir entsprechend Vektor S13. Der Faktor 1 verändert diesen Vektor nicht. Du rechnest also 2 plus 1 gleich 3, 1 minus 1 gleich 0 und –2 minus 2 gleich –4.
Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes. Für den Punkt S13 übernimmst du einfach die Koordinaten 3, 0 und –4. Nun berechnest du noch den letzten Spurpunkt.
Beim Spurpunkt S23 ist x1 gleich 0. Das bedeutet, 2 plus 1r, also 2 plus r, muss Null ergeben. Rechne –2 und du erhältst r gleich –2. Das setzt du nun hier oben ein.
Statt plus –2 kannst du gleich –2 schreiben. Diesen Vektor nennen wir entsprechend Vektor S23. Und jetzt rechnest du –2 mal 1 ist –2 und 2 minus 2 ist 0. –2 mal –1 ist plus 2 und 1 plus 2 ist 3. –2 mal –2 ist plus 4 und –2 plus 4 ist 2. Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes.
Für den Punkt S23 übernimmst du einfach die Koordinaten 0, 3, 2. Hier siehst du nochmal ein Schaubild. Für diesen Spurpunkt gehst du vom Ursprung aus eine Einheit in x1-Richtung und dann 2 Einheiten in x2-Richtung. Also von hier aus 1 nach vorn und 2 nach rechts.
Dort ist der Schnittpunkt mit der x1-x2-Ebene. Für diesen Spurpunkt gehst du vom Ursprung aus 3 Einheiten in x1-Richtung und dann 4 Einheiten entgegen der x3-Richtung. Also von hier aus 3 Einheiten nach vorn und 4 Einheiten nach unten.
Dort ist der Schnittpunkt mit der x1-x3-Ebene. Und für diesen Spurpunkt gehst du vom Ursprung aus 3 Einheiten in x2-Richtung und 2 Einheiten in x3-Richtung. Also von hier aus 3 nach rechts und 2 nach oben.
Dort ist der Schnittpunkt mit der x2-x3-Ebene. Eine Gerade im Raum hat je nach Lage 1 bis 3 Spurpunkte.
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