Besondere Lage von Geraden erkennen
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Besondere Lage von Geraden erkennen
In diesem Video lernst du, am Stützvektor und am Richtungsvektor zu erkennen, ob eine Gerade eine besondere Lage hat. Damit ist gemeint, dass sie 1. mit einer Koordinatenachse identisch ist, 2. zu einer Achse parallel ist, 3. in einer Koordinatenebene liegt, 4. oder zu einer Koordinatenebene parallel ist. Außerdem zeige ich dir, wie du zu einer Geraden eine parallele Gerade angibst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video schulen wir deinen Blick, wann eine Gerade eine besondere Lage hat. Zur Erinnerung, das ist die Gleichung einer Geraden G. Vektor p ist der Stützvektor und Vektor u ist der Richtungsvektor. Diesen schaust du dir als erstes an.
Wenn genau zwei Koordinaten 0 sind, dann ist die Gerade schon mal parallel zu einer Koordinatenachse. Und zwar zu der Achse, wo die Koordinate nicht 0 ist. Wenn hier zum Beispiel eine 1 steht, dann ist die Gerade parallel zur x1-Achse.
Wenn an dieser Stelle irgendeine Zahl außer 0 steht, dann ist die Gerade parallel zur x2-Achse. Und in diesem Fall ist sie parallel zur x3-Achse. Also zwei Nullen im Richtungsvektor bedeutet parallel zu einer Achse.
Jetzt kannst du noch schauen, ob die Gerade echt parallel zu dieser Achse ist oder sogar identisch mit ihr. Dazu schaust du dir den Stützvektor p an. Dieser führt ja vom Ursprung zu dem Punkt mit diesen Koordinaten.
Liegt dieser Punkt jetzt auf der betreffenden Achse, sind Achse und Gerade identisch. Dazu müssen an denselben Stellen Nullen stehen wie im Richtungsvektor. Bei einem Punkt auf der x1-Achse sind also x2 und x3 gleich 0. Bei einem Punkt auf der x2-Achse sind x1 und x3 gleich 0. Und bei einem Punkt auf der x3-Achse sind x1 und x2 gleich 0. Die jeweils übrige Koordinate ist egal, diese dürfte auch 0 sein.
Hat der Stützvektor jedoch nicht diese Form, ist die Gerade jeweils echt parallel zu der betreffenden Achse. Ist zum Beispiel hier nur eine der beiden Nullen vorhanden oder gar keine, ist die Gerade echt parallel zur x1-Achse. Jetzt schauen wir uns ein paar Beispiele dafür an.
Am Richtungsvektor erkennst du, dass die Gerade G parallel zur x1-Achse ist. Am Stützvektor erkennst du, dass sie sogar mit ihr identisch ist, denn der Punkt 1 0 0 liegt auf der x1-Achse. In diesem Fall zeichnest du die Gerade genau auf der x1-Achse.
Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor. Der Punkt 1 2 3 liegt nicht auf der x1-Achse. Deshalb ist die Gerade H echt parallel zur x1-Achse.
Hier erkennst du am Richtungsvektor, dass die Gerade G parallel zur x2-Achse ist. Am Stützvektor erkennst du, dass sie sogar mit ihr identisch ist, denn der Punkt 0 0 0 liegt auf der x2-Achse. Dass er auch auf den anderen beiden Achsen liegt, spielt keine Rolle.
In diesem Fall zeichnest du die Gerade genau auf der x2-Achse. Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor. Der Punkt 4 1 0 liegt nicht auf der x2-Achse.
Dazu müsste die 4 auch eine 0 sein. Deshalb verläuft die Gerade H echt parallel zur x2-Achse. Den Nullvektor darf man übrigens auch weglassen.
Die Gerade G, also die x2-Achse, lässt sich auch so beschreiben. Hier erkennst du am Richtungsvektor, dass die Gerade G parallel zur x3-Achse ist. Am Stützvektor erkennst du, dass sie sogar mit ihr identisch ist, denn der Punkt 0 0 – 6 liegt auf der x3-Achse.
In diesem Fall zeichnest du die Gerade genau auf der x3-Achse. Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor. Der Punkt 1 – 2 0 liegt nicht auf der x3-Achse.
Deshalb verläuft die Gerade H echt parallel dazu. Jetzt schauen wir uns Geraden an, die in einer Koordinatenebene liegen. Als erstes schaust du dir wieder den Richtungsvektor an.
Wenn genau eine Koordinate 0 ist, ist die Gerade parallel zu einer Koordinatenebene. Ist x3 0, dann ist die Gerade parallel zur x1-x2-Ebene. Ist x1 0, dann ist die Gerade parallel zur x2-x3-Ebene.
Und in diesem Fall ist sie parallel zur x1-x3-Ebene. Also eine 0 im Richtungsvektor bedeutet parallel zu einer Koordinatenebene. Jetzt kannst du noch schauen, ob die Gerade echt parallel zu der jeweiligen Ebene ist oder in dieser Ebene liegt.
Dazu schaust du dir den Stützvektor P an. Dieser führt ja vom Ursprung zu dem Punkt mit diesen Koordinaten. Liegt dieser Punkt in der betreffenden Ebene, liegt sogar die ganze Gerade in dieser Ebene.
Es muss also an der gleichen Stelle eine 0 stehen wie beim Richtungsvektor. Hier an dritter Stelle. Hier an erster Stelle.
Und hier an zweiter Stelle. Die übrigen Koordinaten sind egal. Sie dürften auch 0 sein.
Ist an der entscheidenden Stelle jedoch keine 0, ist die Gerade jeweils echt parallel zu der betreffenden Ebene. Schauen wir uns wieder ein paar Beispiele dazu an. Die x1-x2-Ebene wird von der x1- und x2-Achse aufgespannt.
Wenn du dir das wie ein Zimmer vorstellst, dann ist diese Ebene der Fußboden. Die Gerade G verläuft in dieser Ebene. Das erkennst du daran, dass die x3-Koordinate im Stützvektor und im Richtungsvektor jeweils 0 ist.
Also die Koordinate, die hier nicht vorkommt. Stell dir die Gerade vor, als hätte jemand eine rote Linie auf den Fußboden gemalt. Diese geht außerhalb des Zimmers noch weiter, hier grau dargestellt.
Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor. Der Punkt 1,2,3 liegt nicht in der x1-x2-Ebene. Deshalb verläuft die blaue Gerade echt parallel zu dieser Ebene.
Wenn die rote Linie auf dem Fußboden verläuft, dann schwebt die blaue Linie darüber. Der Abstand zum Boden bleibt immer gleich, auch wenn es so scheint, als würde die blaue Gerade fallen. Die grünen Hilfslinien verdeutlichen das.
Kommen wir zur x2-x3-Ebene. Das ist praktisch die gegenüberliegende Wand, wenn du so ins Zimmer schaust. Die Gerade G verläuft in dieser Ebene.
Stell dir wieder vor, es hätte jemand eine rote Linie an die Wand gemalt. An der Gleichung erkennst du das daran, dass die x1-Koordinate beim Stützvektor und beim Richtungsvektor jeweils 0 ist, also die Koordinate, die hier nicht vorkommt. Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor.
Der Punkt 1,1,1 liegt nicht in der x2-x3-Ebene. Deshalb verläuft die blaue Gerade echt parallel zu dieser Ebene. Wenn die rote Linie an der Wand verläuft, dann schwebt die blaue Linie ein Stückchen davor und etwas tiefer.
Nun kommen wir zur letzten Koordinate-Ebene, der x1-x3-Ebene. Das ist praktisch die linke Wand, wenn du so ins Zimmer schaust. Die Gerade G verläuft in dieser Ebene.
An der Gleichung erkennst du das daran, dass die x2-Koordinate beim Stützvektor und beim Richtungsvektor jeweils 0 ist, also die Koordinate, die hier nicht vorkommt. Hier steht der gleiche Richtungsvektor, aber ein anderer Stützvektor. Der Punkt 3,3,2 liegt nicht in der x2-x3-Ebene.
Deshalb verläuft die blaue Gerade echt parallel zu dieser Ebene. Wenn die rote Linie an der Wand verläuft, dann schwebt die blaue Linie ein Stückchen davor und etwas höher. Die grünen Hilfslinien verdeutlichen das.
Wenn du zu einer Geraden G eine parallele Gerade angeben sollst, übernimm einfach den Richtungsvektor und ändere den Stützvektor. Jeder neue Stützvektor ergibt eine weitere parallele Gerade. Die Geraden G, H und I sind alle parallel.
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