Aufgaben zu Punkten auf Geraden

Springe zu den Inhalten

• Punkte auf einer Geraden bestimmen
• Punktprobe
• Einen Punkt zwischen 2 Punkten bestimmen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Punkte auf einer Geraden bestimmen

So bestimmst du mit der Geradengleichung konkrete Punkte, die auf der Geraden liegen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, mithilfe der Geradengleichung Punkte zu bestimmen, die auf der Gerade liegen. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Gib drei Punkte an, die auf der Geraden mit dieser Gleichung liegen.

Das ist wirklich ganz einfach. Setze für R drei verschiedene Zahlen ein und du erhältst drei verschiedene Punkte auf der Geraden. Setzt du für R zum Beispiel 0 ein, fällt der hintere Teil komplett weg, denn 0 mal irgendwas ist 0. Es bleibt also nur das übrig.

Statt Vektor x nennen wir diesen Vektor mal Vektor a, denn es kommen ja noch zwei weitere Vektoren hinzu und die sollen nicht alle gleich heißen. Vektor a ist also minus 1, 2, 3. Nun kannst du schon einen Punkt angeben, der auf der Geraden liegt. Nenne diesen groß a und schreibe einfach diese Koordinaten ab, nur eben als Punkt und nicht als Vektor.

Das gleiche machst du jetzt noch zweimal, aber mit anderen Werten für R. Als nächstes setzt du für R zum Beispiel 1 ein. Den Faktor 1 kann man allerdings weglassen. Das ergibt diesen Vektor plus diesen Vektor.

Davor schreibst du nun Vektor b. Minus 1 plus 4 ist 3. 2 plus minus 2 ist 0. Und 3 plus 0 ist 3. Nun kannst du den nächsten Punkt angeben, der auf der Geraden liegt. Nenne diesen Punkt b und übernimm einfach die Koordinaten dieses Vektors. Nun setzt du noch eine dritte Zahl für R ein.

Ich nehme jetzt mal minus 1. Plus mal minus 1 ergibt minus 1. Es reicht, wenn du dafür das Minus schreibst. Du rechnest also diesen Vektor minus diesen Vektor. Davor schreibst du Vektor c. Minus 1 minus 4 ist minus 5. 2 minus minus 2 ist das gleiche wie 2 plus 2. Und das macht 4. Und 3 minus 0 ist 3. Das ergibt den Punkt c mit diesen Koordinaten.

Zum Schluss veranschaulichen wir diese Rechnungen kurz. Hier siehst du die Gerade g mit den Punkten a, b und c, die du berechnet hast. Das war die Geradengleichung.

Setzt du für R 0 ein, bleibt nur der Stützvektor übrig. Diesen hatten wir Vektor a genannt. An seiner Spitze liegt der Punkt a. Das ist der sogenannte Richtungsvektor.

Einen Pfeil davon siehst du hier. Für R gleich 1 setzt du diesen Pfeil an die Spitze von Vektor a an und erhältst so Vektor b bzw. den Punkt b. Für R gleich minus 1 setzt du den entgegengesetzten Pfeil an Vektor a an und erhältst so Vektor c bzw.

den Punkt c. Vielen Dank für's Zuschauen.

Punktprobe

Damit prüfst du, ob ein bestimmter Punkt auf der gegebenen Geraden liegt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du herausfindest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Das nennt man Punktprobe. Die Aufgabe lautet, liegt dieser Punkt Q auf dieser Geraden G? Dazu setzt du den Punkt Q als Vektor geschrieben für Vektor X ein.

Du schreibst also einen Vektor mit den Koordinaten 2, 0, minus 4. Die rechte Seite schreibst du ab. Nun fasst du diese beiden Vektoren zusammen, so wie du es mit Zahlen auch machen würdest. Bringe erstmal diesen Vektor auf die andere Seite, indem du minus diesen Vektor rechnest.

Auf der rechten Seite steht jetzt nur noch das. Nun fasst du zusammen 2 minus 0 ist 2, 0 minus minus 4 ist 4 und minus 4 minus 2 ist minus 6. Nun machst du daraus drei einzelne Zeilen. 2 ist gleich r mal 1, 4 ist gleich r mal 2 und minus 6 ist gleich r mal minus 3. Nun löst du jede Gleichung nach r auf und guckst, ob das immer die gleiche Zahl ergibt.

r mal 1 ist ja r, also ist r hier 2. Hier teilst du noch durch 2, damit r allein auf einer Seite steht. 4 geteilt durch 2 macht auch 2. Und hier teilst du noch durch minus 3. Minus 6 geteilt durch minus 3 ist ebenfalls 2. Wenn hier immer die gleiche Zahl rauskommt, liegt der Punkt Q auf der Geraden. Würde nicht immer das Gleiche rauskommen, würde der Punkt nicht auf der Geraden liegen.

Jetzt zeige ich dir anschaulich, was diese Rechnung eigentlich bedeutet. Hier siehst du noch mal die Geradengleichung. Das ist der Stützvektor P. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P auf der Geraden.

Das ist der Richtungsvektor U. Hier siehst du einen Pfeil davon. Für r hast du die Zahl 2 rausbekommen. Das bedeutet, du erreichst den Punkt Q, wenn du den Pfeil zweimal nacheinander an den Punkt P anlegst.

Somit muss der Punkt Q auf der Geraden liegen. Vektor Q ist also Vektor P plus 2 mal Vektor U. Das steht hier noch mal. Vektor Q ist Vektor P plus 2 mal Vektor U.

Einen Punkt zwischen 2 Punkten bestimmen

So bestimmst du einen Punkt, der zwischen 2 gegebenen Punkten liegt (z.B. den Mittelpunkt einer Strecke).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Punkt zwischen zwei Punkten bestimmst. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Die Gerade G verläuft durch die Punkte A und B mit den angegebenen Koordinaten.

Gib einen Punkt auf G an, der zwischen A und B liegt. Bei solchen Aufgaben gibt es normalerweise kein Schaubild. Nur jetzt gibt es eins, damit ich dir den Lösungsweg anschaulich erklären kann.

Hier siehst du die Gerade G mit den Punkten A und B darauf. Die grünen Linien sollen dir helfen, dir das Ganze räumlich besser vorzustellen. Gesucht ist also ein Punkt in diesem Bereich auf der Gerade.

Um dich in diesem Bereich entlang zu bewegen, brauchst du den Verbindungsvektor AB. Um einen Punkt zwischen A und B zu bestimmen, nimmst du dann aber nicht den ganzen Verbindungsvektor, sondern zum Beispiel einen Halbvektor AB. Der Pfeil ist nur halb so lang wie der Verbindungspfeil.

Damit landest du genau in der Mitte zwischen A und B. Du kannst aber auch jede andere Zahl zwischen 0 und 1 wählen. Nimmst du eine Zahl, die näher bei 0 ist, wird der Pfeil kürzer und der Punkt C liegt näher an Punkt A. Nimmst du eine Zahl, die näher bei 1 ist, wird der Pfeil länger und der Punkt C liegt näher an Punkt B. Jetzt schreiben wir die Rechnung dazu auf. Als erstes benötigst du Vektor AB.

Dazu rechnest du B minus A und schreibst die Punkte jeweils als Ortsvektor. Punkt B ergibt den Vektor 2, 4, 3. Dann kommt ein Minus und Punkt A ergibt den Vektor 1, 0, 5. 2 minus 1 ist 1. 4 minus 0 ist 4. Und 3 minus 5 ist minus 2. Punkt C kannst du nicht direkt berechnen, nur den Vektor C. Der Punkt C hat dann die gleichen Koordinaten. Du startest bei Punkt A. Dafür schreibst du hier den Ortsvektor von A. Dann addierst du ein halb mal den Vektor AB.

Also ein halb mal diesen Vektor. Den Faktor 1,5 kannst du in den Vektor ziehen. 1,5 mal 1 ist 1,5, beziehungsweise 0,5.

1,5 mal 4 ist 2. Und 1,5 mal minus 2 ist minus 1. 1 plus 0,5 ist 1,5. 0 plus 2 ist 2. Und 5 plus minus 1 ist das gleiche wie 5 minus 1, nämlich 4. Nun schreibst du das einfach als Punkt auf. Mit einem Großbuchstaben davor.

Anhand der grünen Hilfslinien kannst du die Koordinaten überprüfen. Du gehst 1,5 nach vorn, 2 nach rechts und 4 nach oben. Dort liegt der Punkt C auf der geraden G zwischen den Punkten A und B.