Geraden
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Punkt-Richtungsform (Parameterform)
Die Gleichung einer Gerade wird üblicherweise in der Punkt-Richtungsform angegeben (auch Parameterform genannt). In diesem Video lernst du, wie das geht und was mit Stützvektor und Richtungsvektor gemeint ist. Vorab solltest du bereits wissen, wie man Vektoren zeichnerisch addiert.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du mit Vektoren eine Geradengleichung aufstellst. Hier siehst du eine Gerade G. Auf dieser liegt der Punkt P. Der Vektor OP geht vom Ursprung zum Punkt P. Dieser Vektor wird Stützvektor genannt, weil er die Gerade sozusagen abstützt. An den Punkt P wird nun ein Vektor U angesetzt, der auf der Geraden verläuft.
Dieser Vektor heißt Richtungsvektor. Nennen wir diesen Punkt auf der Gerade mal A. Durch den Vektor U gelangst du also vom Punkt P zum Punkt A auf der Geraden. Der Ortsvektor OA geht vom Ursprung zum Punkt A. Diesen Vektor kannst du als Addition von Vektoren ausdrücken.
Vektor OA ist nämlich Vektor OP plus Vektor U. Das steht hier nochmal. Falls dir das nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video zur Addition von Vektoren an. Diese Vektoren kannst du auch mit Kleinbuchstaben bezeichnen.
Das ist Vektor P und das ist Vektor A. Das kannst du dann auch hier schreiben. Vektor A ist Vektor P plus Vektor U. An Punkt A kannst du nochmal den Vektor U ansetzen. Nennen wir den Punkt an seiner Spitze mal B. Nun kannst du wieder Vektor B einzeichnen und als Addition ausdrücken.
Vektor B ist Vektor P plus zweimal Vektor U. Vektor B ist Vektor P plus zweimal Vektor U. Du kannst entlang der Geraden, aber auch in die andere Richtung wandern. Setzt du am Punkt P den Gegenvektor –U an, gelangst du zu einem weiteren Punkt auf der Geraden. Nennen wir diesen mal C. Vektor C kannst du wieder als Addition ausdrücken.
Das ist dann Vektor P plus minus Vektor U. Also Vektor C ist Vektor P plus minus Vektor U. Wie beim Rechnen mit Zahlen ergibt Plus mal Minus Minus. Du musst aber nicht immer ganze Schritte machen, du kannst auch kleinere Schritte machen. Der Pfeil von –0,5 Vektor U ist nur halb so lang wie die anderen Pfeile.
Hier liegt ein weiterer Punkt auf der Geraden. Nennen wir ihn mal D. Dann ist Vektor D, also Vektor P, minus und das sind dann insgesamt 1,5 mal Vektor U. Vektor D ist Vektor P minus 1,5 mal Vektor U. Jetzt schreiben wir das allgemein auf. Nennen wir den Punkt auf der Gerade X. Dann ist Vektor X Vektor P plus R mal Vektor U. R ist eine reelle Zahl wie 1, 2, –1 oder –1,5.
Also Vektor X ist Vektor P plus R mal Vektor U. R ist Element der reellen Zahlen. Vektor P, Vektor U und R können natürlich auch anders bezeichnet werden. In manchen Büchern wird statt R zum Beispiel der Buchstabe T verwendet.
Das ist die Gleichung einer Gerade in Vektorenschreibweise. Da du für R jede beliebige Zahl einsetzen darfst, kannst du jeden Punkt auf der Gerade erreichen. Dabei gehst du immer vom Punkt P aus eine bestimmte Strecke in diese Richtung oder in diese Richtung.
Deshalb heißt diese Form auch Punktrichtungsform. Üblich ist auch Parameterform. Welche Gerade durch die Gleichung beschrieben wird, kannst du noch davor schreiben.
In diesem Fall ist es die Gerade G. Hat man mehrere Geraden gegeben, dann steht hier zum Beispiel H für die zweite Gerade und so weiter. Hier siehst du nochmal die allgemeine Gleichung einer Gerade. Nun machen wir ein konkretes Beispiel.
Der Vektor P hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. X1 ist 1 und X2 ist 2,5. Nun bestimmst du den Richtungsvektor U. Der Vektor führt zwei Einheiten in X1-Richtung und eine Einheit in X2-Richtung. Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein.
Und schon hast du eine Geradengleichung bestimmt. Dieselbe Gerade kann aber durch unendlich viele Gleichungen beschrieben werden. Du kannst als Aufpunkt auch diesen Punkt nehmen.
Dann hat der Stützvektor die Koordinaten 4,4. Als Richtungsvektor kannst du auch diesen Vektor nehmen. Dieser Pfeil geht sechs Einheiten entgegen der X1-Richtung.
Dafür schreibst du –6. Und er geht drei Einheiten entgegen der X2-Richtung. Dafür schreibst du –3.
Nun setzt du wieder für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein. Nun hast du eine zweite Gleichung für die Gerade gefunden. Zum Schluss machen wir noch ein Beispiel im räumlichen Koordinatensystem.
Ein möglicher Punkt auf der Gerade ist dieser. Er hat folgende Koordinaten. X1 ist 3, X2 ist 2 und X3 ist 0. Das sind auch die Koordinaten des Stützvektors P. Vektor P ist also 3,2,0.
Hier ist ein möglicher Richtungsvektor. Er führt vom Punkt P aus wieder drei Einheiten zurück, also entgegen der X1-Richtung, dann zwei Einheiten in X2-Richtung und fünf Einheiten in X3-Richtung. Vektor U ist also –3,2,5.
Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein. Diese Gleichung beschreibt die Gerade G. Im räumlichen Koordinatensystem brauchst du immer Hilfslinien oder andere Anhaltspunkte, um die Lage der Gerade eindeutig zu erkennen.
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Zwei-Punkte-Form
Eine typische Aufgabe besteht darin, mit Hilfe von 2 Punkten auf der Geraden die Geradengleichung in Punkt-Richtungsform anzugeben. Jetzt zeige ich dir, wie das geht. Im Thema Vektoren (Siehe Inhalte) lernst du Schritt für Schritt, den Verbindungsvektor zweier Punkte zu bestimmen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten aufstellst. Diese Form wird auch Zwei-Punkte-Form genannt. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe.
Die Punkte P und Q mit den angegebenen Koordinaten liegen auf der Geraden G. Bestimme eine Gleichung für die Gerade G. Bei solchen Aufgaben gibt es normalerweise kein Schaubild. Nur jetzt gibt es eins, damit ich dir den Lösungsweg anschaulich erklären kann. Das ist die Gerade G und das sind die gegebenen Punkte P und Q. Die grünen Linien sind nur Hilfslinien, damit du dir das Ganze räumlich vorstellen kannst.
Hier stehen nochmal die Punkte P und Q, weil wir diese gleich brauchen. Als erstes schreiben wir uns zur Erinnerung die allgemeine Gleichung einer Gerade auf. Vektor X ist Vektor P plus R mal Vektor U. R ist eine reelle Zahl.
Du brauchst also ein Stützvektor P und einen Richtungsvektor U. Als Stützvektor schreibst du die Koordinaten von P einfach als Vektor auf. Also 1, 0, 5. Das ist der Ortsvektor von P. Diesen Vektor siehst du hier eingezeichnet. Er stützt die Gerade ab, deshalb wird er auch Stützvektor genannt.
Nun brauchst du noch einen Richtungsvektor U. Dafür nimmst du einfach den Verbindungsvektor von P nach Q. Um diesen zu bestimmen, rechnest du Ende minus Anfang. Hier schreibst du also die Koordinaten von Q als Vektor auf, dann kommt ein Minuszeichen und dann schreibst du wie hier die Koordinaten von P als Vektor auf. 2 minus 1 ist 1. 4 minus 0 ist 4. Und 3 minus 5 ist minus 2. Das ist ein Richtungsvektor U. Nun setzt du für Vektor P das ein und für Vektor U setzt du das ein.
Diese Gleichung beschreibt die Gerade G. Statt so rum kannst du es auch umgekehrt machen mit Vektor Q als Stützvektor und dem Verbindungsvektor von Q nach P als Richtungsvektor.
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Geradengleichung in Vektorgeometrie und Analysis
Aus der Analysis kennst du sicher noch die Geradengleichung y=mx+b. In diesem Video zeige ich dir, wie du diese Form in die Punkt-Richtungsform aus der Vektorgeometrie "übersetzt" und umgekehrt.
Lösungsbeschreibung
Geradengleichungen lassen sich auf unterschiedliche Weise angeben. In der Vektorgeometrie mit Vektoren und in der Analysis als Funktion y ist gleich mx plus b. Du denkst jetzt vielleicht, das wären zwei verschiedene Sachen, aber dem ist nicht so. Es ist eher wie eine Übersetzung in eine andere Sprache.
In diesem Video zeige ich dir, wie diese Übersetzung funktioniert. Wir beginnen mit einer Gleichung aus der Vektorgeometrie. Da wir in der Analysis nur x und y haben, können wir hier auch nur Vektoren mit zwei Koordinaten nehmen.
Das ist also eine Gerade in der Ebene. Hier siehst du diese Gerade. Sie verläuft durch den Punkt 0,3.
Das sind die Koordinaten des Stützvektors. Und hier siehst du einen Pfeil ihres Richtungsvektors. Der Pfeil führt 1 in x1-Richtung und 2 in x2-Richtung.
Das sollte dich an ein Steigungsdreieck erinnern. m war ja die Steigung der Gerade. Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um zwei Einheiten.
Also ist die Steigung 2. Du nimmst also immer diese Zahl und teilst durch diese Zahl. Die allgemeine Geradengleichung in der Analysis lautet y ist gleich mx plus b. Für m kannst du schon mal die 2 einsetzen. Nun fehlt nur noch b. Dazu setzt du für x und y die Koordinaten eines Punktes ein, der auf der Gerade liegt.
Also von Punkt p. Die y-Koordinate ist 3 und die x-Koordinate ist 0. Diese Koordinaten liefert dir der Stützvektor. Nur dass x hier x1 heißt und y x2. Für y setzt du nun die 3 ein und für x setzt du 0 ein.
2 mal 0 ist 0. b ist somit 3. Das setzt du nun einfach hier ein. In der Analysis lautet die Geradengleichung somit y ist gleich 2x plus 3. Die Achsen heißen jetzt x und y. Nun machen wir es umgekehrt und übersetzen diese Gleichung in die Vektorschreibweise. Die Zahl hier hinten gibt dir immer die Schnittstelle mit der y-Achse an.
Diese ist also 3. Alle Punkte auf der y-Achse haben die x-Koordinate 0. Somit kennst du schon einen Punkt auf der Geraden. Der zugehörige Ortsvektor hat die gleichen Koordinaten, also 0 3. Das wird der Stützvektor p. Nun fehlt dir nur noch der Richtungsvektor u. Die Steigung der Geraden ist 2. Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um zwei Einheiten. Das lässt sich auch durch einen Pfeil veranschaulichen.
Dieser Pfeil ist ein Repräsentant des Richtungsvektors u. Dessen Koordinaten sind folglich 1 2. Nun setzt du das in die allgemeine Gleichung einer Geraden ein. Für Vektor p setzt du das ein und für Vektor u setzt du das ein. Und schon hast du die Gerade in Vektorschreibweise ausgedrückt.
In der Vektorgeometrie heißen die Achsen dann in der Regel x1 und x2.
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