Wurzelgleichungen
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Was sind Wurzelgleichungen?
In Wurzelgleichungen kommen Wurzeln wie √x vor. In diesem Video zeige ich dir 4 Beispiele für Wurzelgleichungen.
Lösungsbeschreibung
Hier siehst du einige Beispiele für Wurzelgleichungen. In Wurzelgleichungen steht x unter einer Wurzel. Zusätzlich kann x auch noch woanders vorkommen.
Außerdem können mehrere Wurzelausdrücke in einer Gleichung vorkommen. Meistens handelt es sich um die Quadratwurzel. Es können aber auch andere Wurzeln, wie zum Beispiel die dritte Wurzel, sein.
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Wie löse ich eine Wurzelgleichung?
Um die Wurzel zu beseitigen, musst du die Gleichung potenzieren (z.B. quadrieren). In bestimmten Fällen können dabei "Scheinlösungen" entstehen. Um diese zu entlarven, ist es wichtig, zum Schluss eine Probe zu machen. In diesem Video zeige ich dir alles Schritt für Schritt an 2 Beispielen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du Wurzelgleichungen löst. Dazu habe ich dir zwei Beispiele mitgebracht. Hier siehst du das erste Beispiel.
Bei Wurzelgleichungen ist häufig noch der Definitionsbereich angegeben. Der Ausdruck unter der Quadratwurzel darf nämlich nicht negativ werden. Wenn du für x 1 einsetzt, kommt unter der Wurzel 0 raus, denn 1 – 1 ist 0. Das ist ok.
Würdest du für x aber 0 einsetzen, würde unter der Wurzel –1 rauskommen, also eine negative Zahl. Das ist nicht erlaubt. x muss also mindestens 1 sein, damit das nicht passiert.
Und das schreibt man so. x ist größer gleich 1. Um die Gleichung zu lösen, bringe als erstes die 2 rüber, damit die Wurzel alleine auf einer Seite steht. Quadriere nun die Gleichung.
Das Quadrieren hebt die Wurzel auf, sodass links x – 1 übrig bleibt. Deshalb wird diese Wurzel auch Quadratwurzel genannt. Rechts schreibst du nun statt 2, 2 zum Quadrat, also 2 hoch 2. Das ist 4. Rechne nun noch plus 1 und du erhältst die Lösung 5. Bei solchen Wurzelgleichungen musst du zum Schluss immer eine Probe machen.
Denn durch das Quadrieren können Scheinlösungen entstehen. Das liegt daran, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Setze dazu für x 5 ein und rechne nach, ob die linke Seite tatsächlich Null ergibt.
5 – 1 ist 4. Die Wurzel aus 4 ist 2. 2 – 2 ist 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Somit ist 5 die Lösung. Scheinlösungen würden bei der Probe zu einer falschen Aussage führen.
Kommen wir zum zweiten Beispiel. Diesmal sollst du die Gleichung dritte Wurzel aus x gleich –2 lösen. Anders als die Quadratwurzel ist die dritte Wurzel für alle x definiert.
Deshalb ist hier kein Definitionsbereich angegeben. Um die dritte Wurzel aufzuheben, musst du hoch 3 rechnen. Links bleibt dadurch x übrig.
Und rechts schreibst du statt –2, –2 hoch 3. Da –2 negativ ist, musst du es in Klammern setzen. Den nächsten Schritt brauchst du nicht aufschreiben, das rechnest du nur im Kopf. –2 hoch 3 bedeutet ja –2 mal –2 mal –2.
Und das ergibt –8. Denn 2 mal 2 ist 4 und 4 mal 2 ist 8. Minus mal Minus ist Plus und Plus mal Minus ist wieder Minus. Diesmal ist keine Probe notwendig, da 3 eine ungerade Zahl ist.
Nur wenn du mit einer geraden Zahl potenzierst, wie beim Quadrieren, können Scheinlösungen entstehen. Falls du unsicher bist, kannst du trotzdem eine Probe machen und hier für x –8 einsetzen. Vermutlich irritiert es dich, dass nun eine negative Zahl unter der Wurzel steht.
Im Gegensatz zur Quadratwurzel kann man die dritte Wurzel aber auch aus negativen Zahlen ziehen. Prüfe das gern mit deinem Taschenrechner. Die dritte Wurzel aus –8 ist –2.
Hier steht also eine wahre Aussage. Und somit ist –8 die Lösung.
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Tipps
In diesem Video bekommst du wichtige Tipps, die dir besonders bei schwierigen Aufgaben weiter helfen!
Lösungsbeschreibung
In diesem Video bekommst du nützliche Tipps zum Lösen von Wurzelgleichungen. Die Quadratwurzel ist immer größer oder gleich 0. Hier ein Beispiel. Minus 3 ist negativ.
Da die Wurzel aber nicht negativ werden kann, egal welche Zahl man für x einsetzt, hat diese Gleichung keine Lösungen. Du brauchst also gar nicht erst losrechnen, sondern kannst sofort hinschreiben, dass die Gleichung nicht lösbar ist. Manchmal benötigst du dieses Potenzgesetz.
Potenzierst du ein Produkt wie a mal b, dann kannst du jeden Faktor einzeln potenzieren. Das ist also das gleiche wie a hoch n mal b hoch n. Wenn du zum Beispiel 3 mal Wurzel x quadrieren möchtest, kannst du die 3 und die Wurzel einzeln quadrieren. 3 zum Quadrat ist 9. Und Wurzel x zum Quadrat ist x. Die folgenden 3 Tipps demonstriere ich dir gleich an einem Beispiel.
Kommen 2 Wurzeln vor, die du nicht zusammenfassen kannst, bringe diese auf getrennte Seiten der Gleichung. Manchmal musst du sogar mehrmals quadrieren, um alle Wurzeln zu beseitigen. Außerdem können dir oft die binomischen Formeln beim Ausmultiplizieren helfen.
An diesem Beispiel wirst du sehen, was ich mit den letzten 3 Tipps meine. Hier kommen 2 Wurzeln mit x auf derselben Seite der Gleichung vor. Das ist ziemlich ungünstig fürs Quadrieren.
Bringe deshalb eine der Wurzeln auf die andere Seite. Wegen dem Minus bietet es sich an, diese Wurzel rüberzubringen. Nun quadrierst du wie üblich die Gleichung.
Das Quadrieren hebt diese Wurzel auf, sodass auf der linken Seite x plus 3 übrig bleibt. Auf der rechten Seite kannst du leider nicht einfach die 1 und Wurzel x getrennt quadrieren, sondern du musst alles in Klammern setzen und dann quadrieren. Jetzt sollte es bei dir klick machen.
Solche Ausdrücke löst man mit den binomischen Formeln auf. Wegen dem Plus nimmst du dafür die erste binomische Formel, die ich dir zur Erinnerung hier hingeschrieben habe. a ist bei uns 1 und b ist Wurzel x. Nun schreibst du einfach diese Zeile ab und setzt dabei für a 1 und für b Wurzel x ein.
a² ist bei uns 1². Dann kommt plus 2ab, also plus 2 mal 1 mal Wurzel x. Zum Schluss kommt plus b², also plus Wurzel x zum Quadrat. Nun fasst du einfach zusammen.
1 zum Quadrat ist 1. 2 mal 1 ist 2. Quadrieren und Wurzel ziehen heben sich auf, sodass hier x übrig bleibt. Was in dieser Zeile steht, kannst du auch alles im Kopf rechnen. Falls dir die binomischen Formeln zu kompliziert sind, kannst du die Klammer auch ohne das Quadrat zweimal nebeneinander schreiben und Schritt für Schritt ausmultiplizieren.
Nachdem du dann alles zusammengefasst hast, erhältst du das Gleiche wie hier. Da hier kein Platz mehr ist, schreibe ich auf der nächsten Seite weiter. Hier siehst du nochmal die letzte Zeile.
Obwohl wir gerade quadriert haben, kommt immer noch eine Wurzel vor, die wir beseitigen müssen. Dazu bringst du zunächst alles andere rüber, damit die Wurzel allein auf einer Seite steht. Rechne als erstes minus x. x minus x ist 0. Das x fällt somit auf beiden Seiten weg.
Bringe nun die 1 rüber. 3 minus 1 ist 2. Teile nun durch 2. Und jetzt quadrierst du die Gleichung erneut. Das Quadrieren hebt die Wurzel auf, sodass rechts x übrig bleibt.
Links schreibst du statt 1, 1 zum Quadrat. Das ist 1. Hier habe ich zusätzlich die Seiten getauscht, weil man das besser lesen kann. x ist somit 1. Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, musst du zum Schluss eine Probe machen.
Dazu setzt du in die Ausgangsgleichung für x die Lösung 1 ein und prüfst, ob die linke Seite dann tatsächlich 1 ergibt. Hier und hier setzt du für x also die Zahl 1 ein. 1 plus 3 ist 4. Die Wurzel aus 1 ist 1. Die Wurzel aus 4 ist 2. 2 minus 1 ist 1. Hier steht also eine wahre Aussage.
Somit ist 1 die Lösung der Wurzelgleichung.
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