Vektorprodukt

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Vektorprodukt

Vektoren kann man auf 2 Arten miteinander multiplizieren: Mit dem Vektorprodukt und mit dem Skalarprodukt. In diesem Video lernst du, das Vektorprodukt zu berechnen. Das Ergebnis ist ein Normalenvektor der beiden Vektoren. Alternativ kannst du einen Normalenvektor auch mit dem Skalarprodukt bestimmen. Hinweis: In einer Aufgabe muss nicht explizit ein Normalenvektor gesucht sein. Ein Normalenvektor lässt sich als Vektor umschreiben, der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist bzw. der senkrecht auf ihnen steht.

Lösungsbeschreibung

Vektoren kann man auf zwei Arten miteinander multiplizieren, mit dem Vektorprodukt und mit dem Skalarprodukt. In diesem Video lernst du, das Vektorprodukt zu berechnen. Statt Vektorprodukt sagt man auch Kreuzprodukt.

Das Vektorprodukt zweier Vektoren gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene. Die Vektoren haben also jeweils drei Koordinaten. Für das Vektorprodukt der Vektoren A und B schreibst du A Kreuz B. Nun machst du eine große Klammer und jetzt arbeitest du eine ganz bestimmte Reihenfolge ab.

Jeder hat seine eigene Methode, sich diese zu merken. Als Hilfe kannst du folgendes machen. Schreibe die Koordinaten von Vektor A zweimal untereinander.

Das gleiche machst du nochmal für Vektor B. Dann streihst du die letzte und die erste Zeile durch. Nun rechnest du. Minus 2 mal minus 1. Dann kommt ein Minuszeichen.

Und jetzt rechnest du. Drei mal 0. Als nächstes rechnest du. Drei mal 2. Dann kommt wieder ein Minuszeichen.

Und nun rechnest du einmal minus 1. Für die letzte Zeile rechnest du einmal 0, dann wieder das Minus und dann kommt minus 2 mal 2. Das Ganze kannst du dir auch anders merken. Zum Beispiel so. Wenn du die erste Zeile aufschreibst, darfst du hier die erste Zeile nicht benutzen.

Also beginnst du darunter und rechnest nun über Kreuz. Minus 2 mal minus 1. Minus 3 mal 0. Wenn du die zweite Zeile aufschreibst, darfst du diese hier oben nicht benutzen. Du beginnst darunter, also in der dritten Zeile.

Drei mal, und da hier drunter nichts ist, fängst du wieder oben an. Also mal 2. Dann kommt ein Minus und dann einmal minus 1. Und für die dritte Zeile darfst du oben die dritte Zeile nicht benutzen, sondern nur die erste und die zweite. Jetzt kommt einmal 0 minus minus 2 mal 2. Jetzt fasst du zusammen.

Minus 2 mal minus 1 ist 2. Dann überträgst du das Minus und 3 mal 0 ist 0. 3 mal 2 ist 6. Minus mal Minus macht Plus. Und 1 mal 1 ist 1. 1 mal 0 ist 0. Minus mal Minus macht Plus. Und 2 mal 2 ist 4. 2 minus 0 ist 2. 6 plus 1 ist 7. Und 0 plus 4 ist 4. Das Ergebnis ist also ein Vektor.

Dieser steht senkrecht auf Vektor A und senkrecht auf Vektor B. Man sagt auch, er ist orthogonal zu Vektor A und zu Vektor B. Das bedeutet, dieser Vektor ist ein normalen Vektor zu Vektor A und B. Einen normalen Vektor bezeichnet man mit Vektor n. Hier siehst du die drei Vektoren A, B und n. Die hellgrünen und roten Linien sollen dir helfen, dir das Ganze besser vorzustellen. Das Vektor n orthogonal zu Vektor A und zu Vektor B ist, bedeutet, dass hier ein rechter Winkel ist und hier auch. Einen normalen Vektor benötigst du zum Beispiel, um eine Ebene in normalen Form anzugeben.

Zum Schluss möchte ich kurz auf die Einheitsvektoren eingehen. Bei diesen ist jeweils eine Koordinate 1 und die anderen beiden sind 0. Die Vektoren lassen sich als Pfeile darstellen, die im Ursprung beginnen und auf den Koordinatenachsen liegen. Der Vektor e1 liegt auf der x1-Achse, der Vektor e2 auf der x2-Achse und der Vektor e3 auf der x3-Achse.

Alle Pfeile haben die Länge 1. Jeder dieser Einheitsvektoren ist orthogonal zu den anderen beiden. Jeder ist also ein normalen Vektor bezüglich der anderen beiden Vektoren. Vektor e1 ist das Vektorprodukt von Vektor e2 und e3.

Vektor e2 ist e3 kreuz e1. Die Reihenfolge ist nicht egal. Wenn du die Vektoren vertauscht, kommt hier –1 raus.

Das ist der Gegenvektor, der aber auch orthogonal zu Vektor e1 und e3 ist. Und Vektor e3 ist e1 kreuz e2. Gut zu wissen, wenn die Vektoren a und b linear abhängig sind, dann ist ihr Vektorprodukt der Nullvektor.

Ebenso gilt umgekehrt. Ist das Vektorprodukt der Nullvektor, dann sind die Vektoren linear abhängig.