Skalarprodukt

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• Wie berechne ich das Skalarprodukt?
• Wie prüfe ich, ob zwei Vektoren orthogonal sind?
• Wie bestimme ich einen Normalenvektor?
• Wie berechne ich den Winkel zwischen 2 Vektoren?

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Wie berechne ich das Skalarprodukt?

Vektoren kann man auf 2 Arten miteinander multiplizieren: mit dem Skalarprodukt und mit dem Vektorprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine Zahl (auch Skalar genannt) und keinen Vektor. Ist diese Zahl Null, dann sind die Vektoren zueinander orthogonal. Das bedeutet, sie stehen senkrecht aufeinander. In diesem Video zeige ich dir, wie du das Skalarprodukt berechnest und wie orthogonale Vektoren aussehen.

Lösungsbeschreibung

Vektoren kann man auf zwei Arten miteinander multiplizieren, mit dem Skalarprodukt und mit dem Vektorprodukt. In diesem Video zeige ich dir, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnest. Dazu machen wir zwei Beispiele.

Das erste Beispiel ist mit Vektoren in der Ebene. Diese haben jeweils nur zwei Koordinaten. Vektor A ist das und Vektor B ist das.

Dazwischen machst du einen ganz normalen Malpunkt. Nun rechnest du 1 mal 2, dann kommt ein Plus und dann rechnest du minus 3 mal 4. Das brauchst du nur noch zusammenzufassen. 1 mal 2 ist 2, Plus mal Minus ergibt Minus und 3 mal 4 ist 12.

2 minus 12 ist minus 10. Beim Skalarprodukt kommt also eine Zahl raus und kein Vektor. Nun machen wir noch ein Beispiel im Raum.

Das heißt, die Vektoren haben jeweils drei Koordinaten. Das Skalarprodukt berechnest du aber genauso wie vorher. Du rechnest 6 mal 2, dann kommt ein Plus, dann rechnest du minus 4 mal 3, dann kommt wieder ein Plus und zum Schluss rechnest du 0 mal 0. Jetzt fasst du alles zusammen.

6 mal 2 ist 12, Plus mal Minus ergibt Minus und 4 mal 3 ist 12. 0 mal 0 ist 0. 12 minus 12 plus 0 ist 0. Es kann also auch 0 rauskommen, obwohl keiner der Vektoren der Nullvektor ist. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null, wenn diese zueinander orthogonal sind.

Das bedeutet, sie stehen senkrecht aufeinander. Dafür gibt es in der Mathematik dieses Symbol. Vektor u ist senkrecht zu Vektor v. Hier siehst du Vektor u und Vektor v in einem Koordinatensystem.

Rot und hellgrün sind ein paar Hilfslinien eingezeichnet. Die beiden Vektoren liegen in der x1, x2 Ebene. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°.

Das bedeutet, die Vektoren sind zueinander orthogonal. Man sagt auch, sie stehen senkrecht aufeinander.

Wie prüfe ich, ob zwei Vektoren orthogonal sind?

Dazu berechnest du einfach das Skalarprodukt der Vektoren. Kommt Null raus, sind sie zueinander orthogonal. Das bedeutet, sie stehen senkrecht aufeinander. Der Winkel zwischen ihnen beträgt dann 90 Grad.

Lösungsbeschreibung

Mit dem Skalarprodukt kannst du prüfen, ob zwei Vektoren zueinander orthogonal sind. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Sind die Vektoren A und B zueinander orthogonal? Die Aufgabe könnte auch so formuliert sein. Stehen die Vektoren A und B senkrecht aufeinander? Um das zu beantworten, bildest du einfach das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Hier setzt du Vektor A ein und hier Vektor B. Das ergibt –1 mal –1 plus 3 mal 2 plus 7 mal –1.

–1 mal –1 ist 1. 3 mal 2 ist 6. Plus mal Minus ergibt Minus. Und 7 mal 1 ist 7. 1 plus 6 ist 7. Und 7 minus 7 ist 0. Wenn hier 0 rauskommt, sind die Vektoren zueinander orthogonal. Das bedeutet, sie stehen senkrecht aufeinander.

Formuliere einen passenden Antwortsatz. Zum Beispiel, die Vektoren A und B sind zueinander orthogonal. Oder die Vektoren A und B stehen senkrecht aufeinander.

Hier siehst du Vektor A und Vektor B. Rot und hellgrün sind ein paar Hilfslinien eingezeichnet. Ist das Skalarprodukt 0, beträgt der Winkel zwischen den Vektoren 90°. Das heißt, sie stehen senkrecht aufeinander.

Wie bestimme ich einen Normalenvektor?

Ein Normalenvektor zu 2 gegebenen Vektoren ist ein Vektor, der zu beiden orthogonal ist. In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Normalenvektor mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmst. Das läuft auf das Lösen eines Gleichungssystems hinaus, das mehr Variablen als Gleichungen hat. Alternativ kannst du das Vektorprodukt der beiden gegebenen Vektoren berechnen. Das Ergebnis ist ein Normalenvektor. Hinweis: In der Aufgabe muss nicht explizit ein Normalenvektor gesucht sein. Ein Normalenvektor lässt sich als Vektor umschreiben, der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist bzw. der senkrecht auf ihnen steht.

Lösungsbeschreibung

Mit dem Skalarprodukt kannst du einen normalen Vektor bestimmen. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Ermittle einen normalen Vektor zu Vektor A und Vektor B. Die Aufgabe könnte auch so formuliert sein. Bestimme einen Vektor, der zu den Vektoren A und B orthogonal ist. Genau das ist die Definition für einen normalen Vektor.

Du suchst also einen Vektor, der mit Vektor A einen Winkel von 90° einschließt. Und mit Vektor B ebenso. Nennen wir den gesuchten Vektor mal n. Dann muss also das Skalarprodukt von Vektor A und n Null ergeben.

Und genauso das Skalarprodukt von Vektor B und n. Der Vektor n muss also diese beiden Bedingungen erfüllen. Nun setzt du die Koordinaten der Vektoren ein. Vektor A war das und Vektor B war das.

Vektor n kennst du ja noch nicht. Deshalb bezeichnest du die Koordinaten erstmal mit n1, n2 und n3. Jetzt rechnest du jeweils das Skalarprodukt aus.

Einmal n1 plus einmal n2 plus zweimal n3 ist gleich Null. Einmal n1 ist n1. Einmal n2 ist n2.

Und hier kannst du auch den Malpunkt weglassen. Nun machst du das gleiche hier drüben. Einmal n1 plus nullmal n2 plus minus einmal n3 ist gleich Null.

Einmal n1 ist n1. Nullmal irgendwas ist Null. Das kannst du gleich weglassen.

Plus mal Minus ergibt Minus und einmal n3 ist n3. Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem. Schreibe sie untereinander und nummeriere die Gleichungen.

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt drei unbekannte, aber nur zwei Gleichungen. Deshalb darfst du eine unbekannte frei bestimmen.

Setze zum Beispiel n3 gleich 1. Hier kannst du n3 auf die andere Seite bringen. Das ergibt n1 gleich n3. Da du n3 gleich 1 gesetzt hast, muss n1 dann ebenfalls 1 sein.

Um zu verdeutlichen, dass die zweite Gleichung geändert wurde, kannst du hier einen kleinen Strich dran schreiben. Nun setzt du n1 und n3 in die erste Gleichung ein. Du schreibst also diese Zeile ab und schreibst für n1 eine 1 und für n3 eine 1. 2 mal 1 ist 2 und 1 plus 2 ist 3. Nun bringst du noch die 3 rüber.

n2 ist somit minus 3. Jetzt kannst du einen normalen Vektor angeben, beziehungsweise einen Vektor, der zu Vektor a und b orthogonal ist. Erst kommt n1, dann n2 und zum Schluss n3. Je nachdem, welche Zahl du für n3 wählst, kommt hier ein anderer Vektor raus.

Alle erfüllen jedoch die Bedingungen. Hier siehst du Vektor a und Vektor b. Rot und hellgrün sind ein paar Hilfslinien eingezeichnet. Und hier ist der Vektor n, den du berechnet hast.

Der Winkel zwischen Vektor n und Vektor a beträgt 90°. Die Vektoren sind also orthogonal zueinander. Das gleiche gilt für Vektor n und Vektor b. Ein normaler Vektor zu zwei gegebenen Vektoren steht immer senkrecht auf jedem der beiden.

Wie berechne ich den Winkel zwischen 2 Vektoren?

In diesem Video zeige ich dir eine Formel zur Berechnung des Winkels zwischen 2 Vektoren. Für diese Formel solltest du wissen, wie man den Betrag eines Vektors berechnet. Ist der Winkel 90 Grad, sind die Vektoren zueinander orthogonal. Das bedeutet, sie stehen senkrecht aufeinander. Um den Winkel zu berechnen, löst du zum Schluss eine trigonometrische Gleichung.

Lösungsbeschreibung

Mit dem Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Wie das geht, lernst du in diesem Video. Dazu lösen wir folgende Aufgabe.

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a und b. Dafür brauchst du diese Formel. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist das gleiche wie der Betrag von Vektor a mal den Betrag von Vektor b mal Cosinus alpha. Alpha ist der gesuchte Winkel.

Nun stellst du diese Formel nach Cosinus alpha um. Dazu teilst du durch das, damit Cosinus alpha allein auf einer Seite steht. Zunächst berechnest du mit dieser Formel Cosinus alpha und darüber kommst du an den Winkel alpha ran.

Du brauchst also das Skalarprodukt von Vektor a und b und die Beträge der beiden Vektoren. Berechnen wir erstmal das Skalarprodukt. Vektor a ist das und Vektor b ist das.

Nun rechnest du 4 mal 2 plus 0 mal minus 3 plus minus 3 mal 6. 4 mal 2 ist 8, 0 mal minus 3 ist 0, plus mal minus ergibt minus und 3 mal 6 ist 18. 8 plus 0 minus 18 ist minus 10. Das muss später hier oben hin.

Nun brauchst du noch die Beträge von Vektor a und Vektor b, also die Länge ihrer Pfeile. Dazu gibt es auch ein extra Video auf Abimatte. Hier siehst du nochmal Vektor a. Für den Betrag machst du Betragsstriche um Vektor a. Dann kommt eine Wurzel und nun rechnest du 4 zum Quadrat plus 0 zum Quadrat plus minus 3 zum Quadrat.

4 zum Quadrat ist 16, 0 zum Quadrat ist 0, das kannst du gleich weglassen, und minus 3 zum Quadrat ist 9. 16 plus 9 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Die Pfeile von Vektor a haben also die Länge 5. Das gleiche machst du nun für Vektor b. Der Betrag von Vektor b ist die Wurzel aus 2 zum Quadrat plus minus 3 zum Quadrat plus 6 zum Quadrat. 2 zum Quadrat ist 4, minus 3 zum Quadrat ist 9 und 6 zum Quadrat ist 36. 36 plus 4 ist 40 und 40 plus 9 ist 49.

Die Wurzel daraus ist 7. Jetzt setzt du alles in diese Formel ein. Das Skalarprodukt ist minus 10. Der Betrag von Vektor a ist 5 und der Betrag von Vektor b ist 7. Das Minus kannst du vor den Bruch ziehen.

10 und 5 kürzen sich zu 2. Du willst aber nicht Cosinusalpha wissen, sondern Alpha. Dazu brauchst du die Umkehrfunktion Cosinus hoch minus 1 von minus 2 Siebte. Das gibst du nun in den Taschenrechner ein und erhältst 106,6 Grad.

Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist und nicht auf Bogenmaß. Gradmaß wird im Display durch ein D angezeigt oder durch DEG. Das steht für den englischen Begriff Degree.

Hier siehst du die beiden Vektoren a und b. Rot und hellgrün sind ein paar Hilfslinien eingezeichnet. Wenn ein Winkel zwischen Vektoren gesucht ist, ist immer der kleinere Winkel hier zwischen gemeint und nicht der größere außenrum. Die Formel gibt dir genau diesen Winkel.

Dieser Winkel beträgt also 106,6 Grad.