Lineare (Un-)Abhängigkeit

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• Was bedeutet lineare (Un-)Abhängigkeit?
• Prüfen, ob Vektoren in der Ebene linear abhängig sind
• Prüfen, ob Vektoren im Raum linear abhängig sind
• Vektor als Linearkombination darstellen

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Was bedeutet lineare (Un-)Abhängigkeit?

Sind Vektoren in der Ebene linear abhängig, liegen Pfeile von ihnen auf ein und derselben Geraden. Sind Vektoren im Raum linear abhängig, liegen Pfeile von ihnen in einer Ebene.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit bedeuten. Schauen wir uns zuerst zwei Beispiele in der Ebene an.

Das heißt, das Koordinatensystem hat nur zwei Achsen, x1 und x2. Diese beiden Vektoren sind linear abhängig. Diese beiden nicht.

Bei linear abhängigen Vektoren kannst du die Pfeile so verschieben, dass sie auf ein und derselben Geraden liegen. Bei linear unabhängigen Vektoren funktioniert das nicht. Sind zwei Vektoren linear abhängig, dann sind sie vielfache voneinander und somit auch parallel.

Gut zu wissen, in der Ebene gibt es nur zwei linear unabhängige Vektoren. Jeder hinzukommende Vektor lässt sich aus diesen zwei Vektoren linear kombinieren. Falls du also drei Vektoren in der Ebene gegeben hast, müssen diese automatisch linear abhängig sein.

Die Ebene wird auch mit R2 bezeichnet. Nun schauen wir uns zwei Beispiele im Raum an. Das heißt, das Koordinatensystem hat jetzt drei Achsen, x1, x2 und x3.

Diese drei Vektoren sind linear abhängig. Diese nicht. Bei linear abhängigen Vektoren kannst du die Pfeile so verschieben, dass sie in einer Ebene liegen.

Bei linear unabhängigen Vektoren funktioniert das nicht. Gut zu wissen, im Raum, also im R³, gibt es höchstens drei linear unabhängige Vektoren. Jeder hinzukommende Vektor lässt sich aus diesen drei Vektoren linear kombinieren.

Falls du also vier Vektoren gegeben hast, müssen diese automatisch linear abhängig sein. Jetzt zeige ich dir, wie du Vektoren auf lineare Abhängigkeit untersuchst. Bei zwei Vektoren machst du folgendes.

Du bildest die Gleichung R mal Vektor A plus S mal Vektor B gleich der Nullvektor. Müssen R und S beide Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist, dann sind Vektor A und Vektor B linear unabhängig. Ist die Gleichung auch für andere Werte von R und S erfüllt, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Alternativ kannst du prüfen, ob die Vektoren parallel sind, wie ich es dir in einem anderen Video gezeigt habe. Parallel bedeutet linear abhängig. Bei drei Vektoren erweiterst du die Gleichung einfach um T mal Vektor C. Müssen nun R, S und T jeweils Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist, dann sind die drei Vektoren linear unabhängig.

Andernfalls sind sie linear abhängig. Für R, S und T gleich Null ist die Gleichung ja immer erfüllt. Die Frage ist also, ob das auch auf andere Zahlen zutrifft.

Prüfen, ob Vektoren in der Ebene linear abhängig sind

In der Ebene können nur 2 Vektoren linear unabhängig sein. Mehr Vektoren sind automatisch linear abhängig voneinander. Um zu prüfen, ob 2 Vektoren linear abhängig sind, stellst du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten auf und löst dieses. Alternativ kannst du untersuchen, ob die beiden Vektoren parallel sind. Parallel bedeutet linear abhängig. Das gilt auch für 2 Vektoren im Raum.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du prüfst, ob zwei Vektoren in der Ebene linear abhängig sind. Dazu habe ich dir zwei Aufgaben mitgebracht. Das ist die erste.

Sind die Vektoren a und b linear abhängig? Stelle folgende Gleichung auf. r mal Vektor a plus s mal Vektor b ist gleich der Nullvektor. Nun setzt du hier die Koordinaten von Vektor a ein und hier die Koordinaten von Vektor b. Die Koordinaten von Nullvektor sind alle Null.

Nun schreibst du das als zwei einzelne Zeilen auf. Minus 4r plus 2s ist gleich Null. Das ist die erste Gleichung.

Und die zweite lautet? 2r plus 1s, also plus s, ist gleich Null. 2r plus s ist gleich Null. Das ist ein Gleichungssystem, das du nun löst.

Das geht zum Beispiel mit dem Additionsverfahren. Sagen wir mal, du möchtest die Variable r eliminieren. Dann multiplizierst du die zweite Zeile einfach mit 2 und rechnest anschließend die erste und zweite Zeile zusammen.

2 mal 2r sind 4r und minus 4r plus 4r fällt weg. Das war ja unsere Absicht. 2 mal s sind 2s und 2s plus 2s sind 4s.

2 mal 0 ist 0 und 0 plus 0 bleibt 0. Um zu verdeutlichen, dass die zweite Zeile geändert wurde, kannst du einen Strich dran machen. Teile nun einfach durch 4. Das ergibt s gleich 0. Das setzt du nun in die andere Gleichung ein, also in die erste. Und zwar hier, wo s steht.

Das ergibt minus 4r plus 2 mal 0 gleich 0. 2 mal 0 ist 0, das kannst du gleich weglassen. Um r zu bestimmen, brauchst du nur noch durch minus 4 zu teilen. Das ergibt r gleich 0. Das bedeutet, diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn r und s beide 0 sind.

Somit sind die Vektoren a und b linear unabhängig. Hier siehst du die beiden Vektoren durch Pfeile dargestellt. Nur durch Verschieben ist es nicht möglich, sie auf ein und derselben Geraden zu platzieren.

Deshalb sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Machen wir aus der minus 4 jedoch eine 4, dann sind die Vektoren linear abhängig. Schauen wir uns mal an, wie dann die Rechnung aussieht.

Es bleibt also alles gleich, außer dass hier, hier und hier eine 4 steht, statt minus 4. Um r zu eliminieren, multiplizieren wir diesmal mit minus 2. Minus 2 mal 2r sind minus 4r und 4r minus 4r fällt weg. Minus 2 mal s sind minus 2s und 2s minus 2s fällt auch weg. Genauso gut können wir aber auch 0s dafür schreiben.

0 mal irgendwas ist immer 0, egal was wir für s einsetzen. Deshalb darfst du dir irgendeine Zahl für s aussuchen, zum Beispiel 1. Wie vorher setzt du das nun in die erste Gleichung ein. Du schreibst also diese Zeile ab und setzt für s 1 ein.

Nun löst du wie zuvor nach r auf. 2 mal 1 sind 2. Diese bringst du rüber, indem du minus 2 rechnest. Dann steht da 4r gleich minus 2. Nun teilst du noch durch 4. Das ergibt r gleich minus 1 halb bzw.

minus 0,5. Diese Gleichung ist also auch erfüllt, wenn man für r minus 1 halb und für s 1 einsetzt. Immer wenn du noch eine andere Lösung als r und s gleich 0 findest, sind die Vektoren linear abhängig.

Nun ist es möglich, ein Pfeil von Vektor a und Vektor b auf ein und derselben Geraden zu platzieren. Der Pfeil von Vektor a ist doppelt so lang wie der von Vektor b.

Prüfen, ob Vektoren im Raum linear abhängig sind

Im Raum können höchstens 3 Vektoren linear unabhängig sein. Mehr Vektoren sind automatisch linear abhängig voneinander. Um zu prüfen, ob 3 Vektoren linear abhängig sind, stellst du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten auf und löst es mit dem Gauß-Verfahren. Bei 2 Vektoren im Raum genügt es zu prüfen, ob sie parallel sind. Parallel bedeutet linear abhängig.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du prüfst, ob drei Vektoren im Raum linear abhängig sind. Dazu habe ich dir zwei Aufgaben mitgebracht. Das ist die erste.

Sind die Vektoren a, b und c linear abhängig? Stelle folgende Gleichung auf. r mal Vektor a plus s mal Vektor b plus t mal Vektor c ist gleich der Nullvektor. Nun setzt du hier die Koordinaten von Vektor a ein, hier von Vektor b und hier von Vektor c. Der Nullvektor hat die Koordinaten 0 0 0. Nun schreibst du das als drei einzelne Zeilen auf.

1r also r plus minus 2s also minus 2s plus 3t ist gleich 0. r minus 2s plus 3t ist gleich 0. Das ist die erste Gleichung. Und die zweite lautet 2r plus 2s plus minus 6t also minus 6t ist gleich 0. 2r plus 2s minus 6t ist gleich 0. Und die dritte Gleichung lautet 3r plus minus 1s also minus s plus 1t also plus t ist gleich 0. 3r minus s plus t ist gleich 0. Das ist ein Gleichungssystem, das du nun mit dem Gauss-Verfahren löst. Da hier kein Platz mehr ist, machen wir das auf der nächsten Seite.

Soweit waren wir schon. Die erste Zeile schreibst du nochmal ab. An dieser Stelle eliminierst du nun r mithilfe der ersten Zeile.

Multipliziere diese dazu zunächst mit minus 2. Das machst du aber nur im Kopf. Und dann rechnest du die erste und zweite Zeile zusammen. Minus 2 mal r sind minus 2r und minus 2r plus 2r fällt weg.

Das war ja unsere Absicht. Minus 2 mal minus 2s sind 4s und 4s plus 2s sind 6s. Minus 2 mal 3t sind minus 6t und minus 6t minus 6t sind minus 12t.

Minus 2 mal 0 ist 0 und 0 plus 0 bleibt 0. Nun machst du das gleiche nochmal mit der ersten und dritten Zeile, um hier r zu eliminieren. Multipliziere diesmal die erste Zeile mit minus 3. Minus 3 mal r sind minus 3r und minus 3r plus 3r fällt weg. Minus 3 mal minus 2s sind 6s und 6s minus s sind 5s.

Minus 3 mal 3t sind minus 9t und minus 9t plus t sind minus 8t. Hier kommt wieder eine 0 hin. Um zu verdeutlichen, dass die zweite und dritte Zeile geändert wurden, kannst du einen Strich dran machen.

Und nun eliminierst du hier s mithilfe der zweiten Zeile. Diesmal musst du zuvor beide Zeilen multiplizieren. Zum Beispiel diese mit 5 und diese mit minus 6. 5 mal 6s sind 30s und minus 6 mal 5s sind minus 30s.

Zusammen ergibt das 0 und fällt weg. 5 mal minus 12t sind minus 60t und minus 6 mal minus 8t sind 48t. Minus 60t plus 48t sind minus 12t.

Hier kommt wieder eine 0 hin. Teile nun noch durch minus 12. t ist somit 0. Das setzt du nun in die zweite Zeile ein.

Und zwar hier, wo t steht. Das ergibt 6s minus 12 mal 0 gleich 0. 12 mal 0 ist 0. Das kannst du gleich weglassen. Um s zu bestimmen, brauchst du nur noch durch 6 zu teilen.

s ist somit auch 0. Nun nimmst du dir die erste Zeile vor und setzt für s und t jeweils 0 ein. 2 mal 0 ist 0 und 3 mal 0 ist 0. Die linke Seite ist somit r. r ist also auch 0. Da die einzige Lösung r gleich 0, s gleich 0 und t gleich 0 ist, sind die Vektoren a, b und c linear unabhängig. Machen wir aus der 1 jedoch minus 1, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Schauen wir uns mal an, wie dann die Rechnung aussieht. Es bleibt also alles gleich, außer dass hier und hier minus 1 steht und hier minus t. Machen wir wieder auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Die Umformungen bleiben auch gleich. Nur an dieser Stelle kommt jetzt etwas anderes raus als vorher. Rechnen wir das kurz nach.

Minus 3 mal 3t sind minus 9t und minus 9t minus t sind minus 10t. Vorher hatten wir dort minus 8t. Diese Umformung ist auch genau wie vorher.

Aber an dieser Stelle kommt wieder etwas anderes raus. 5 mal minus 12t sind minus 60t und minus 6 mal minus 10t sind 60t. Zusammen ergibt das 0 oder 0t.

0 mal irgendwas ist immer 0, egal was du für t einsetzt. Deshalb darfst du dir irgendeine Zahl für t aussuchen, zum Beispiel 1. Wie vorher setzt du das nun in die zweite Gleichung ein. Du schreibst also diese Zeile ab und setzt für t eins ein.

Nun löst du wie zuvor nach s auf. Minus 12 mal 1 sind minus 12. Diese bringst du rüber, indem du plus 12 rechnest.

Dann steht da 6s gleich 12. Nun teilst du noch durch 6. Das ergibt s gleich 2. Und nun setzt du s und t in die erste Gleichung ein. Du schreibst also diese Zeile ab und schreibst für s 2 und für t 1. Minus 2 mal 2 sind minus 4. Und 3 mal 1 ist 3. Minus 4 plus 3 ist minus 1. Rechne plus 1 und du erhältst r gleich 1. Da du eine Lösung gefunden hast, bei der r, s und t nicht alle gleich 0 sind, sind die Vektoren linear abhängig.

Vektor als Linearkombination darstellen

Sind die Vektoren linear abhängig, lässt sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen. Wie das geht, siehst du in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

Sind Vektoren linear abhängig, lässt sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video. Im letzten Video haben wir gezeigt, dass die Vektoren a, b und c linear abhängig sind.

Dazu haben wir diese Gleichung gelöst. Die Gleichung ist z.B. für r gleich 1, s gleich 2 und t gleich 1 erfüllt. Setzt du das ein, ergibt das Vektor a plus 2 Vektor b plus Vektor c ist gleich der Nullvektor.

Nun kannst du die Gleichung nach Vektor a, b oder c auflösen und hast diesen Vektor dann als Linearkombination der anderen dargestellt. Machen wir das als Beispiel mal für Vektor a. Hier siehst du nochmal die Gleichung von eben. Nun bringst du das rüber und das auch.

Vektor a ist also der Nullvektor minus 2 Vektor b minus Vektor c. Den Nullvektor kannst du wie die Zahl Null behandeln und weglassen. Vektor a lässt sich so als Linearkombination der Vektoren b und c darstellen. Das können wir ja mal nachrechnen.

Vektor a hat diese Koordinaten, Vektor b diese und Vektor c diese. Minus 2 mal minus 2 ist 4, minus 2 mal 2 ist minus 4 und minus 2 mal minus 1 ist 2. Hier kannst du auch noch das Minus reinziehen, damit das Zusammenfassen leichter wird. Das ergibt minus 3, minus minus 6 ist 6 und minus minus 1 ist 1. Nun kannst du hier ein Plus schreiben.

4 plus minus 3 ist das gleiche wie 4 minus 3 und das ist 1. Minus 4 plus 6 ist 2 und 2 plus 1 ist 3. Es kommt also tatsächlich das gleiche raus. Hier siehst du ein Pfeil von Vektor a, b und c. Vektor a lässt sich so als Linearkombination von Vektor b und c darstellen. Wenn das Vektor b ist, dann ist minus 2 mal Vektor b doppelt so lang und entgegengesetzt gerichtet.

Wenn das Vektor c ist, dann ist minus Vektor c entgegengesetzt gerichtet. Wenn du diesen Pfeil dann hier ansetzt, trifft seine Spitze auf die Spitze von Vektor a.