Mittelpunkt, Trapez und Parallelogramm

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• Mittelpunkt bestimmen
• Aufgaben zu Trapezen
• Aufgaben zu Parallelogrammen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Mittelpunkt bestimmen

Mit der Vektorrechnung kannst du Mittelpunkte bestimmen und verschiedene Aufgaben zu Trapezen und Parallelogrammen lösen. Dazu solltest du bereits Vektoren addieren können und wissen, was eine Linearkombination ist. In diesem Video lernst du, den Mittelpunkt einer Strecke bzw. den Punkt in der Mitte zwischen 2 Punkten zu bestimmen. Eine Strecke kann zum Beispiel eine Kante oder Diagonale in einer Figur sein.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Mittelpunkt einer Strecke angibst. Angenommen, du hast zwei Punkte A und B gegeben und sollst den Mittelpunkt M dieser Strecke bestimmen. Dann denkst du dir hier den Ursprung eines Koordinatensystems und verbindest diesen mit dem Punkt M durch einen Pfeil.

Diese Verbindung ist der Ortsvektor von M. Genauso verbindest du den Ursprung mit dem Punkt A. Das ist der Ortsvektor von A. Nun verbindest du A und B durch den Vektor AB. Bis zum Mittelpunkt ist das genau die Hälfte des Vektors AB. Vektor OM ist deshalb Vektor OA plus ein Halb mal Vektor AB.

Das siehst du hier nochmal. Der Ortsvektor von M ist der Ortsvektor von A plus ein Halb mal Vektor AB. Der gesuchte Punkt M hat die gleichen Koordinaten wie der Vektor OM.

Wenn dieser zum Beispiel die Koordinaten 1, 2 hat, dann ist das der gesuchte Punkt M. Falls dir diese Zeile nicht klar ist, dann sieh dir nochmal das Video zur Addition von Vektoren an.

Aufgaben zu Trapezen

Zunächst wiederholen wir, was ein Trapez ist. Anschließend zeige ich dir, wie du nachweist, dass ein Viereck ein Trapez ist und wie du den Mittelpunkt einer Diagonale berechnest.

Lösungsbeschreibung

So löst du Aufgaben zur Vektorrechnung am Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck. Die Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn.

Zwei der Seiten sind parallel, aber nicht gleich lang. Das Trapez muss natürlich nicht genauso aussehen. Es könnte zum Beispiel auch gedreht sein.

Eine typische Aufgabe ist folgende. Du sollst nachweisen, dass ein Viereck ein Trapez ist. Dann bildest du den Vektor AB und den Vektor DC und zeigst, dass sie parallel sind, aber nicht gleich lang.

Wenn sie parallel sind, dann ist Vektor AB gleich K mal Vektor DC. Nun rechnest du dieses K aus. Dazu gibt es auch ein ausführliches Video auf Abimathe.

Wäre K gleich 1, wären die Vektoren gleich, also auch gleich lang. Deshalb darf K nicht 1 sein. Wenn hier also ein K rauskommt, das nicht 1 ist, dann ist das Viereck ein Trapez.

Eine andere typische Aufgabe ist diese. Du sollst den Mittelpunkt dieser Diagonale bestimmen. Dann denkst du dir hier den Ursprung eines Koordinatensystems und verbindest diesen mit dem Punkt M1 durch einen Pfeil.

Diese Verbindung ist der Ortsvektor von M1. Genauso verbindest du den Ursprung mit dem Punkt A. Das ist der Ortsvektor von A. Dieser Vektor ist die Hälfte von dem Vektor AC, da der Punkt M1 in der Mitte davon liegt. Vektor OM1 ist nun Vektor OA plus ein Halbmalvektor AC.

Das siehst du hier nochmal. Der gesuchte Punkt M1 hat die gleichen Koordinaten wie der Vektor OM1. Wenn dieser zum Beispiel die Koordinaten 1,2 hat, dann ist das der gesuchte Punkt M1.

Falls dir diese Zeile nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video zur Addition von Vektoren an. Den Punkt M2 würdest du entsprechend über den Ortsvektor von B und den Vektor BD bestimmen.

Aufgaben zu Parallelogrammen

Zunächst wiederholen wir, was ein Parallelogramm ist. Danach zeige ich dir, wie du nachweist, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist und wie du den Schnittpunkt der Diagonalen berechnest. Außerdem lernst du, zu den Punkten A, B und C einen vierten Punkt D so zu bestimmen, dass daraus ein Parallelogramm wird.

Lösungsbeschreibung

So löst du Aufgaben zur Vektorrechnung am Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. Die Beschriftung ist immer gegen den Uhrzeigersinn.

Die Seiten, die sich gegenüberliegen, sind parallel und gleich lang. Eine typische Aufgabe ist folgende. Du sollst nachweisen, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist.

Dann bildest du den Vektor AB und den Vektor DC. Wenn beide die gleichen Koordinaten haben, dann ist das Viereck ein Parallelogramm. Denn wenn diese Pfeile denselben Vektor repräsentieren, sind sie parallel und gleich lang.

Dann sind aber automatisch diese beiden Seiten auch parallel und gleich lang. Somit sind alle Kriterien für ein Parallelogramm erfüllt. Statt Vektor AB gleich Vektor DC, könntest du auch zeigen, dass Vektor AD gleich Vektor BC ist.

Eine andere typische Aufgabe ist diese. Du sollst den Schnittpunkt der Diagonalen bestimmen. Dann denkst du dir hier den Ursprung eines Koordinatensystems und verbindest diesen mit dem Punkt S durch einen Pfeil.

Diese Verbindung ist der Ortsvektor von S. Genauso verbindest du den Ursprung mit dem Punkt A. Das ist der Ortsvektor von A. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich. Dieser Vektor ist somit die Hälfte des Vektors AC. Vektor OS ist nun Vektor OA plus ein halbmal Vektor AC.

Das siehst du hier nochmal. Der gesuchte Punkt S hat die gleichen Koordinaten wie der Vektor OS. Wenn dieser zum Beispiel die Koordinaten 1, 2 hat, dann ist das der gesuchte Punkt S. Falls dir diese Zeile nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video zur Addition von Vektoren an.

Die dritte typische Aufgabe zu Parallelogrammen ist diese. Du hast drei Punkte A, B und C gegeben und sollst Punkt D so bestimmen, dass daraus ein Parallelogramm wird. Dann denkst du dir hier den Ursprung eines Koordinatensystems und verbindest diesen mit dem Punkt D durch einen Pfeil.

Diese Verbindung ist der Ortsvektor von D. Genauso verbindest du den Ursprung mit dem Punkt A. Das ist der Ortsvektor von A. Der Vektor, der von B nach C führt, führt auch von A nach D. Somit ist Vektor OD gleich Vektor OA plus Vektor BC. Das siehst du hier nochmal. Der gesuchte Punkt D hat die gleichen Koordinaten wie der Vektor OD.