Rechnen mit Vektoren

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• Vektoren addieren
• Vektoren subtrahieren
• Eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren
• Parallele Vektoren
• Linearkombination von Vektoren
• Geschlossene Vektorkette

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Vektoren addieren

So bildest du die Summe zweier Vektoren zeichnerisch und rechnerisch.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie du die Summe zweier Vektoren bestimmst. Fangen wir mit einem Beispiel in der Ebene an. Das bedeutet, die Vektoren haben jeweils nur zwei Koordinaten.

Nun rechnest du als erstes 3 plus minus 4. Das ist das gleiche wie 3 minus 4 und das macht minus 1. Und nun rechnest du 1 plus 2 gleich 3. Das war schon alles. Nennen wir die Vektoren mal A, B und C. Und lösen die Aufgabe nun zeichnerisch. Dazu brauchst du Pfeile.

Markiere dir zuerst den Punkt 3,1. x1 ist 3 und x2 ist 1. Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil. Dieser Pfeil stellt den Vektor A dar.

Das ist der Ortsvektor des Punktes 3,1. Vektor B kannst du direkt an seiner Spitze ansetzen. Um in x1 Richtung zu gehen, gehst du nach rechts.

Wegen dem Minus gehst du aber in die entgegengesetzte Richtung, also vier Einheiten nach links. Von dort gehst du zwei Einheiten in x2 Richtung, also nach oben. Dort muss die Spitze des Pfeils sein.

Nun verbindest du den Anfangspunkt vom ersten Pfeil mit dem Endpunkt vom zweiten Pfeil. Das ist der gesuchte Vektor C. Bei dieser Methode entsteht ein Dreieck. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen den Koordinaten des Vektors C. x1 ist minus 1 und x2 ist 3. Bei der zweiten Methode entsteht ein Parallelogramm.

Diese zeige ich dir jetzt. Markiere wie eben den Punkt 3,1 und zeichne den zugehörigen Ortsvektor. Das gleiche machst du nun für Vektor B. Markiere den Punkt minus 4,2 und verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Dieser Pfeil stellt den Vektor B dar. Nun setzt du wie zuvor einen Pfeil von Vektor B an Vektor A an. Dazu gehst du vier Einheiten nach links und zwei Einheiten nach oben.

Genauso setzt du jetzt einen Pfeil von Vektor A an Vektor B an. Dazu gehst du drei Einheiten in x1-Richtung, also nach rechts, und eine Einheit in x2-Richtung, also nach oben. Beide Pfeilspitzen zeigen auf denselben Punkt.

Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt. Das Ergebnis ist derselbe Vektor wie vorher. Daran siehst du dass du die Vektoren bei der Addition vertauschen kannst.

Hier rechnest du Vektor A plus Vektor B und hier umgekehrt Vektor B plus Vektor A. Das Ergebnis ist das gleiche. Manchmal hast du nur eine weiße Zeichenfläche gegeben und sollst die Vektoren addieren. Du kennst also gar nicht ihre Koordinaten.

Dann machst du einfach folgendes. Verschiebe Vektor B mit Geodreieck und Lineal an die Spitze von Vektor A. Verbinde nun den Anfang von Vektor A mit der Spitze von Vektor B. Der rote Pfeil stellt nun Vektor A plus Vektor B dar. Nun addieren wir noch Vektoren im Raum.

Das heißt die Vektoren haben immer drei Koordinaten. Das Vorgehen ist aber das gleiche. 1 plus minus 1 ist das gleiche wie 1 minus 1 und das ist 0. 2 plus minus 4 ist minus 2 und 3 plus 2 ist 5. Das war schon alles.

Nennen wir die Vektoren wieder A, B und C und lösen die Aufgabe zeichnerisch. Markiere dir zuerst den Punkt 1, 2, 3. Dazu gehst du 1 in X1-Richtung, also nach vorn, dann 2 in X2-Richtung, also nach rechts und 3 in X3-Richtung, also nach oben. Nun verbindest du den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Dieser Pfeil stellt den Vektor A dar. Das ist der Ortsvektor des Punktes 1, 2, 3. Vektor B setzt du direkt an seiner Spitze an. Minus 1 bedeutet, du gehst 1 entgegen der X1-Richtung, also nach hinten.

Minus bedeutet immer entgegengesetzt. Dann gehst du 4 entgegen der X2-Richtung, also nach links und nun gehst du noch 2 in X3-Richtung, also nach oben. Dort muss die Spitze des Pfeils sein.

Das ist ein Pfeil von Vektor B. Nun verbindest du den Anfangspunkt vom ersten Pfeil mit dem Endpunkt vom zweiten Pfeil. Das ist der gesuchte Vektor C. Die Koordinaten dieses Punktes entsprechen den Koordinaten des Vektors C. X1 ist 0, da der Vektor in der X2-X3-Ebene liegt. X2 ist –2 und X3 ist 5.

Vektoren subtrahieren

So bildest du die Differenz zweier Vektoren zeichnerisch und rechnerisch.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie man die Differenz zweier Vektoren bildet. Fangen wir mit einem Beispiel in der Ebene an. Das bedeutet, die Vektoren haben jeweils nur zwei Koordinaten.

Nun rechnest du als erstes 3 minus minus 1. Das ist das gleiche wie 3 plus 1 und das macht 4. Und nun rechnest du 4 minus 2 gleich 2. Das war schon alles. Nennen wir die Vektoren mal A, B und C. Und jetzt lösen wir die Aufgabe zeichnerisch. Dazu brauchst du Pfeile.

Markiere dir zuerst den Punkt 3,4. X1 ist 3 und X2 ist 4. Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil. Dieser Pfeil stellt den Vektor A dar.

Auf die gleiche Weise zeichnest du nun Vektor B ein. Markiere den Punkt minus 1,2. Und verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Dieser Pfeil stellt den Vektor B dar. Verbinde nun die Spitze vom zweiten Pfeil mit der Spitze vom ersten Pfeil. Die Spitze des roten Pfeiles muss also mit der Spitze des blauen Pfeiles zusammentreffen.

Dieser Vektor hat die Koordinaten 4,2. Denn von Anfang bis Ende sind es 4 Einheiten in X1-Richtung und 2 Einheiten in X2-Richtung. Das ist das, was wir hier ausgerechnet haben.

Beachte, dass die Koordinaten dieses Vektors anders sind als die Koordinaten des Endpunktes. Das liegt daran, dass der rote Pfeil nicht im Ursprung 0,0 beginnt. Würden wir diesen Punkt mit P bezeichnen und diesen Punkt mit Q, wäre der blaue Vektor der Ortsvektor OQ und der grüne Vektor wäre der Ortsvektor OP.

Der rote Vektor beschreibt, wie man von P nach Q kommt und wird deshalb Vektor PQ genannt. Er verbindet die beiden Punkte. Wie vorher erhältst du ihn, indem du blauer Vektor minus grüner Vektor rechnest.

Also Vektor OQ minus Vektor OP. Diese Formel musst du dir unbedingt merken. Die Rechnung ist genau die gleiche, nur dass die Vektoren jetzt anders heißen.

Jetzt zeige ich dir eine zweite Möglichkeit, den Differenzvektor einzuzeichnen. Dieses Minus kannst du auch in den Vektor ziehen und hier ein Plus schreiben. Dadurch ändern sich die Vorzeichen.

Aus minus 1 und 2 wird 1 und minus 2. Das ist jetzt nicht mehr der Vektor B, sondern der Gegenvektor minus Vektor B. Jetzt haben wir eine Addition und wie man Vektoren zeichnerisch addiert, habe ich dir schon im letzten Video gezeigt. Markiere den Punkt 3,4. Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Das ist Vektor A. An die Spitze setzt du nun diesen Vektor an. Du gehst 1 in X1-Richtung. Also nach rechts.

Und 2 entgegen der X2-Richtung. Also nach unten. Dort muss die Spitze des Pfeils sein.

Nun verbindest du den Anfang vom ersten Pfeil mit dem Ende vom zweiten Pfeil. Das ist der gesuchte Vektor C. X1 ist 4 und X2 ist 2. Nehmen wir nochmal die Abbildung von vorher mit dazu, entsteht ein Parallelogramm. Die beiden roten Pfeile sind parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Deshalb sind sie Vertreter ein und desselben Vektors, nämlich Vektor C. Du hast also zwei Möglichkeiten, den Differenzvektor zeichnerisch zu bestimmen. Entweder als Vektor von der Pfeilspitze des zweiten Vektors zur Pfeilspitze des ersten Vektors oder indem du zu Vektor A den Gegenvektor von Vektor B addierst. Bleiben wir mal bei der ersten Methode.

Diese ergab dieses Dreieck. Das siehst du hier nochmal, nur in einem etwas größeren Koordinatensystem. Der rote Vektor stellt die Differenz der Vektoren A und B dar.

In die gleiche Abbildung zeichnen wir jetzt noch die Addition von Vektor A und Vektor B ein. Dazu setzt du Vektor B an Vektor A an und umgekehrt Vektor A an Vektor B. Die Verbindung vom Ursprung zu diesem Punkt ist Vektor A plus Vektor B. Addition und Subtraktion ergeben also die Diagonalen des Parallelogramms, das von den Vektoren A und B aufgespannt wird. Zum Schluss zeige ich dir noch die Subtraktion von Vektoren im Raum.

Diese haben immer drei Koordinaten. Nun berechnen wir Vektor A minus Vektor B. Hier setzt du das ein und hier setzt du das ein. 1 minus minus 1 ist das gleiche wie 1 plus 1 und das macht 2. Minus 2 minus 4 ist minus 6 und 0 minus 3 ist minus 3. Das ist der Differenzvektor von Vektor A und Vektor B. Die zeichnerische Darstellung würde entsprechend gehen wie in der Ebene.

Eine Zahl mit einem Vektor multiplizieren

Die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor wird auch Skalarmultiplikation genannt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Zahl mit einem Vektor multiplizierst. Das nennt man auch Skalarmultiplikation. Als Beispiel nehmen wir den Vektor a und bilden das Produkt zweimal Vektor a. Eine reelle Zahl, wie diese 2, wird auch Skalar genannt, daher der Name Skalarmultiplikation.

Für Vektor a schreibst du das ab. Und nun rechnest du 2 mal 3 gleich 6 und 2 mal 1 gleich 2. Das war auch schon alles. Hier siehst du ein Pfeil von Vektor a. Um zweimal Vektor a zu erhalten, kannst du diesen Pfeil einfach verlängern, bis er zweimal so lang ist.

Den Malpunkt kannst du weglassen und nur 2 Vektor a schreiben. Der rote Pfeil beginnt auch im Ursprung und geht bis zu diesem Punkt. x1 ist 6 und x2 ist 2. Machen wir noch ein Beispiel dazu.

Diesmal multiplizieren wir diesen Vektor mit –1,5. Für Vektor v schreibst du das ab. 1 mal –1,5 ist –1,5 und –2 mal –1,5 ist 3. Hier siehst du ein Pfeil des Vektors v. Und hier ein Pfeil von –1,5 Vektor v. Der Faktor –1,5 darf auch vorm Vektor stehen.

Der rote Pfeil ist anderthalb mal so lang wie der blaue Pfeil. Und die Spitze zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Das liegt an dem Minuszeichen.

Der rote Pfeil beginnt im Ursprung und geht bis zu diesem Punkt. x1 ist –1,5 und x2 ist 3. Machen wir noch ein letztes Beispiel. Der Vektor ab geht von a nach b. Das sind seine Koordinaten.

Denn du gehst 1 in x1-Richtung und 2 entgegen der x2-Richtung. Das liegt an dem Minus. Wenn du nun den Vektor haben willst, der von b nach a geht, dann brauchst du nur –1 mal Vektor ab zu rechnen.

Denn dadurch dreht sich der Pfeil. Nun schreibst du das ab und rechnest –1 mal 1 ist –1 und –1 mal –2 ist 2. Das ist der Vektor b,a. Nun gehst du nämlich 1 entgegen der x1-Richtung und 2 in x2-Richtung.

Parallele Vektoren

So prüfst du, ob zwei Vektoren parallel sind.

Lösungsbeschreibung

Sind die Vektoren a und b parallel? Wie du das prüfst, zeige ich dir jetzt. Wenn sie parallel sind, dann sind sie vielfache voneinander. Das kannst du so ausdrücken.

Vektor a ist k mal Vektor b. Schreibe hier Vektor a ab und hier Vektor b. Nun schreibst du drei einzelne Zeilen dafür. 2 ist gleich k mal 1, 6 ist gleich k mal 3 und minus 4 ist gleich k mal minus 2. Teile nun jeweils durch diese Zahl, damit k allein auf einer Seite steht. 2 geteilt durch 1 ist 2. k ist also 2. 6 geteilt durch 3 ist 2. k ist also wieder 2. Und minus 4 geteilt durch minus 2 ist auch 2. k ist also immer 2. Wenn immer die gleiche Zahl rauskommt, sind die Vektoren parallel.

Man sagt auch linearabhängig bzw. kollinear. Hier siehst du ein Pfeil des Vektors a und ein Pfeil des Vektors b. Der rote Pfeil ist zweimal so lang wie der blaue Pfeil, da k 2 war.

Du brauchst dir übrigens keine Gedanken zu machen, welcher Vektor wohin muss. Du könntest Vektor a und Vektor b auch vertauschen. Dann würde k gleich ein Halb rauskommen, da die Pfeile von Vektor b nur halb so lang sind wie die von Vektor a.

Linearkombination von Vektoren

Werden mindestens 2 Vektoren addiert oder subtrahiert, nennt man das eine Linearkombination. Zuvor können die Vektoren noch vervielfacht werden (Skalarmultiplikation).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was eine Linearkombination ist. Als Beispiel bilden wir eine Linearkombination der beiden Vektoren a und b. Bei einer Linearkombination werden mehrere Vektoren addiert oder subtrahiert. Bei einer Subtraktion würde hier ein Minus stehen.

Außerdem können die Vektoren zusätzlich mit Zahlen wie 3 und 2 multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor. Lass uns mal nachrechnen, wie man darauf kommt.

Anschließend zeige ich dir noch, wie du die Aufgabe zeichnerisch lösen kannst. Schreibe als erstes Vektor a ab und Vektor b. 3 mal 1 ist 3. Hier genauso. 2 mal 2 ist 4. Und 2 mal minus 1 ist minus 2. Nun addierst du die beiden Vektoren.

3 plus 4 ist 7. 3 plus minus 2 ist das gleiche wie 3 minus 2. Und das ist 1. Das Ergebnis ist der Vektor mit den Koordinaten 7 und 1. Zeichnerisch kannst du die Aufgabe so lösen. Die einfachste Möglichkeit, den Vektor a zu zeichnen, geht so. Suche dir den Punkt 1,1 und verbinde den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Auf die gleiche Weise kannst du Vektor b zeichnen. Hier ist der Punkt 2 minus 1. Und das ist ein Pfeil von Vektor b. Verdreifache nun Vektor a. Verlängere dazu den Pfeil, bis er 3 mal so lang ist. Dieser lange Pfeil stellt diesen Vektor dar.

Verdopple nun Vektor b. Verlängere dazu den Pfeil, bis er doppelt so lang ist. Dieser lange Pfeil stellt diesen Vektor dar. Nun musst du diese beiden Vektoren noch addieren.

Das geht zum Beispiel mit der Parallelogramm-Methode, die ich dir in einem anderen Video gezeigt habe. Verbinde nun den Ursprung mit diesem Punkt. Dieser Pfeil repräsentiert diesen Vektor.

Also die Linearkombination 3 Vektor a plus 2 Vektor b. Hier kannst du die x1-Koordinate ablesen und hier die x2-Koordinate. Vielen Dank für's Zuschauen.

Geschlossene Vektorkette

Eine besondere Linearkombination ist die geschlossene Vektorkette. Dabei endet der letzte Pfeil genau dort, wo der erste Pfeil beginnt. Dadurch entstehen geschlossene Figuren wie Dreiecke, Parallelogramme usw.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was eine geschlossene Vektorkette ist. Hier siehst du eine Linearkombination von drei Vektoren. Wenn du das ausrechnest, kommt der Nullvektor raus.

Denn 4 plus minus 2 ist 2 und 2 minus 2 ist 0. 1 plus 2 ist 3 und 3 minus 3 ist ebenfalls 0. Bezeichnen wir die Vektoren mal mit A, B und C und zeichnen sie in ein Koordinatensystem. Suche dir den Punkt 4,1 und verbinde den Ursprung mit diesem Punkt. Das ist ein Pfeil von Vektor A. Addiere nun Vektor B. Dazu setzt du Vektor B an die Spitze von Vektor A. Dazu gehst du 2 nach links wegen dem Minus und 2 nach oben.

Dort muss die Spitze von Vektor B sein. Nun ziehst du noch Vektor C ab. Dazu addierst du den Gegenvektor von Vektor C. Du gehst also 2 nach links statt nach rechts und 3 nach unten statt nach oben.

Das ergibt den grünen Pfeil. Die Spitze trifft dann genau auf den Anfangspunkt des ersten Vektors. Deshalb nennt man das eine geschlossene Vektorkette.

Die Kette könnte natürlich noch viel mehr Glieder haben als drei. Das ist ja nur ein Beispiel. Dieser Punkt hat die Koordinaten 0,0.

Das sind genau die Koordinaten des Nullvektors. Du kannst die Vektorkette natürlich auch an einer beliebigen anderen Position im Koordinatensystem beginnen. Aber dann kannst du am Endpunkt nicht mehr die Koordinaten des Ergebnisvektors ablesen, da diese nicht mehr übereinstimmen.