Vektoren

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• Was ist ein Vektor?
• Betrag eines Vektors
• Spezielle Vektoren / Ortsvektor
• Gegenvektor
• Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten
• Nullvektor
• Einheitsvektor
• Normalenvektor

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist ein Vektor?

In diesem Video lernst du, was ein Vektor ist und wie du ihn darstellen kannst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was ein Vektor ist. Ein Vektor gibt an, wie man vom Ausgangspunkt zum Zielpunkt kommt. Der Weg wird durch einen Pfeil dargestellt.

Dieser Pfeil gibt also an, wie man vom Punkt P zum Punkt Q gelangt. Außerdem kannst du mit solchen Pfeilen Verschiebungen darstellen. Verschiebst du das blaue Dreieck, wie durch die Pfeile angegeben, erhältst du das grüne Dreieck.

Dabei wird der Punkt A auf den Punkt A' verschoben, B auf B' und C auf C'. Die vier Pfeile sind parallel, gleich lang und gleich gerichtet. Das bedeutet, sie zeigen in die gleiche Richtung.

Deshalb sind sie alle Vertreter oder Repräsentanten desselben Vektors. Um einen Vektor zu kennzeichnen, nimmst du den Anfangspunkt und den Endpunkt und machst einen Pfeil darüber. Da die anderen Pfeile denselben Vektor repräsentieren, ist Vektor PQ das gleiche wie Vektor AA', Vektor BW' und Vektor CC'.

Du kannst auch einfach einen kleinen Buchstaben dafür schreiben, zum Beispiel A. Das ist also jedes Mal der Vektor A. Jetzt wollen wir diesen mit Koordinaten angeben. Dazu schaust du, wie man denn jetzt genau von hier nach da kommt. Dazu geht man 3 nach rechts, also in x1-Richtung und 2 nach oben, also in x2-Richtung.

Dafür schreibst du eine Klammer und dann kommt zuerst die 3 und dann die 2. Achtung, das ist kein Bruch. Zwischen der 3 und der 2 steht kein Bruchstrich. Das ist ein Vektor in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, da er nur zwei Koordinaten hat.

Später arbeiten wir nur noch mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Dann kommt also noch eine dritte Koordinate hier drunter hinzu.

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors ist die Länge seiner Pfeile. Hier lernst du, den Betrag eines Vektors zu berechnen. Die Formel basiert übrigens auf dem Satz des Pythagoras.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was der Betrag eines Vektors ist und wie du ihn berechnest. Der Betrag des Vektors ist die Länge des Pfeils. Um diese zu berechnen, brauchst du die Koordinaten des Vektors.

Der Vektor c hat die Koordinaten 4 und 3. Für den Betrag schreibst du sogenannte Betragsstriche um den Vektor c. Nun kommt eine Wurzel. Jetzt nimmst du jede einzelne Koordinate und quadrierst sie. Also 4 zum Quadrat und 3 zum Quadrat.

Die beiden Zahlen werden addiert. 4 zum Quadrat ist 16 und 3 zum Quadrat ist 9. 16 plus 9 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Wenn du den Pfeil messen würdest, wäre er also 5 Einheiten lang. Vielleicht kommt dir die Formel bekannt vor.

Auf das gleiche Ergebnis kommst du nämlich auch mit dem Satz des Pythagoras. Wenn du dir vorstellst, das wäre die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, dann gilt c² ist a² plus b². Um c zu berechnen, musst du die Wurzel daraus ziehen.

a ist 4 und b ist 3. Die restliche Rechnung ist also genauso wie zuvor. In der Regel hast du es aber nicht mit Vektoren in der Ebene zu tun, sondern im Raum, wie in diesem Fall. Hier noch ein paar Hilfslinien, damit du dir die Lage des Pfeils besser vorstellen kannst.

Ein Vektor im Raum hat drei Koordinaten. Die Formel für den Betrag lässt sich aber zum Glück auf drei Koordinaten erweitern. Der Betrag von Vektor a ist also die Wurzel aus 1 zum Quadrat plus 2 zum Quadrat plus minus 2 zum Quadrat.

1 zum Quadrat ist 1, 2 zum Quadrat ist 4 und minus 2 zum Quadrat ist auch 4. 4 plus 4 plus 1 ist 9 und die Wurzel daraus ist 3. Wenn du den Pfeil messen könntest, wäre er also drei Einheiten lang. Auf diese Weise kannst du auch die Länge einer Strecke berechnen beziehungsweise den Abstand von zwei Punkten. Angenommen du möchtest ausrechnen, wie weit die Punkte a und b voneinander entfernt sind.

Dann denke dir einfach einen Vektor von a nach b und berechne seinen Betrag. Die Punkte a und b haben diese Koordinaten. Der Vektor ab, der die beiden Punkte verbindet, hat dann diese Koordinaten.

Dafür rechnest du Ende minus Anfang, also die Koordinaten von b minus die Koordinaten von a. 1 minus 0 ist 1, 2 minus 0 ist 2 und minus 1 minus 1 ist minus 2. Nun hast du den Vektor ab und bestimmst genau wie vorher seinen Betrag. Ist dir aufgefallen, dass das derselbe Vektor ist wie der Vektor davor? Deshalb ist auch die Rechnung gleich und es kommt wieder 3 raus. Die beiden Pfeile sind nämlich nur unterschiedliche Repräsentanten ein- und desselben Vektors, denn sie sind parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

Vektor ab ist also gleich Vektor a. Fassen wir nochmal zusammen. Der Betrag des Vektors ab ist die Länge der blauen Pfeile. Das ist außerdem die Länge der Strecke ab.

Für diese Strecke macht man einen Querstrich über a und b. Außerdem ist das der Abstand der Punkte a und b voneinander. Das ist nützlich für Textaufgaben. Der Vektor ab kann auch mit einem Kleinbuchstaben wie a bezeichnet werden.

Spezielle Vektoren / Ortsvektor

Es gibt viele Begriffe, die einen Vektor näher beschreiben, aber auch Verwirrung stiften. In diesem Abschnitt erkläre ich dir deshalb die häufigsten Begriffe. Darüberhinaus solltest du noch folgende Bezeichnungen kennen: Stützvektor (Aufpunktvektor), Richtungsvektor (bei Geraden) und Richtungsvektoren/Spannvektoren (bei Ebenen). Ein Vektor, der den Ursprung mit einem Punkt P verbindet, heißt Ortsvektor des Punktes P. Der Ortsvektor hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was ein Ortsvektor ist. Hier hast du den Punkt P gegeben. Der Vektor, der den Koordinatenursprung mit dem Punkt P verbindet, heißt Ortsvektor des Punktes P. Dafür schreibt man Vektor OP.

Dieser Vektor hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. Nun gehen wir umgekehrt vor. Hast du einen Vektor A gegeben und möchtest einen Pfeil davon zeichnen, dann interpretiere die Koordinaten zunächst als Punkt und zeichne diesen. Verbinde dann den Ursprung mit diesem Punkt durch einen Pfeil.

Das ist der Pfeil des Vektors A, der am einfachsten zu zeichnen ist. Da dieser im Ursprung beginnt, ist das gleichzeitig der Ortsvektor des Punktes A. Dafür kannst du auch Vektor OA schreiben. Hier noch ein paar Hilfslinien.

Der Vektor A und der Ortsvektor des Punktes A sind somit gleich.

Gegenvektor

Beim Gegenvektor ist die Pfeilspitze auf der anderen Seite.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was ein Gegenvektor ist und wie du ihn bestimmst. Wenn der Vektor AB von A nach B geht, dann geht der Gegenvektor von B nach A. Es bleibt also alles gleich bis auf die Orientierung. Die Pfeilspitze ist jetzt am anderen Ende.

Entsprechend wird dieser Vektor mit Vektor BA bezeichnet. Hast du den Vektor AB gegeben, kannst du den Gegenvektor ganz leicht berechnen. Vektor BA ist einfach Minus Vektor AB.

Du schreibst also ein Minus vor den Vektor AB. Das Minus kannst du noch reinziehen. Dann ändern sich die Vorzeichen der Koordinaten.

Aus 1 wird Minus 1, aus 2 wird Minus 2 und aus Minus 2 wird 2. Die Rechnung kannst du auch weglassen. Schreibe dann einfach diesen Vektor ab und tausche die Vorzeichen. Vektoren können durch unendlich viele Pfeile repräsentiert werden.

Nimmst du diese Pfeile, ergibt sich dieses Bild von Vektor und Gegenvektor. Hier nochmal ein kleiner Überblick. Zum Vektor AB ist der Gegenvektor Minus Vektor AB.

Dazu änderst du jeweils das Vorzeichen der Koordinaten. Dieser Vektor entspricht dem Vektor BA. Während der Vektor AB von A nach B geht, geht der Gegenvektor von B nach A. Vektoren können auch mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden.

Der Gegenvektor zum Vektor A ist entsprechend Minus Vektor A. Ändere einfach die Vorzeichen der Koordinaten. Aus 3 wird Minus 3, 0 bleibt 0 und aus Minus 4 wird 4. Diese Vektoren sind Vektoren im Raum, da sie drei Koordinaten haben. Der Vektor B ist ein Vektor in der Ebene, da er nur zwei Koordinaten hat.

Der Gegenvektor wird aber genauso gebildet. Aus Minus 5 wird 5 und aus 6 wird Minus 6.

Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten

Ein Verbindungsvektor verbindet 2 Punkte miteinander bzw. beschreibt, wie man von Punkt A zu Punkt B gelangt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Vektor von Punkt A nach Punkt B bestimmst. Rot und grün eingezeichnet sind noch ein paar Hilfslinien, damit du dir das Ganze besser vorstellen kannst. An diesem Punkt durchstößt der Pfeil die X1-X2-Ebene und geht praktisch darunter weiter.

Als Bezeichnung für den Vektor schreibt man den Anfangspunkt A, dann den Endpunkt B und darüber einen Pfeil. Das Ganze liest sich Vektor AB. Die Punkte A und B haben diese Koordinaten.

Um den Vektor AB zu bestimmen, kannst du aber nicht mit Punkten rechnen, sondern benötigst ebenfalls Vektoren. Das ist zum Glück ganz einfach. Schreibe die Koordinaten nicht nebeneinander, sondern untereinander.

Beginne dabei mit dem Endpunkt B, also 1, 2, –1. Das ist der sogenannte Ortsvektor von Punkt B. Zu Ortsvektoren gibt es ein extra Video. Dann kommt ein Minuszeichen und jetzt kommt der Ortsvektor von Punkt A, also 0, 0, 1. Du rechnest also Ende minus Anfang.

1–0 ist 1, 2–0 ist 2 und –1–1 ist –2. Das ist der gesuchte Vektor. Wie du siehst, ist das wirklich einfach.

Und wie lautet der Vektor von Punkt B zu Punkt A? Das ist der gleiche Vektor, nur in entgegengesetzter Richtung. Deshalb nennt man ihn auch Gegenvektor. Dieser ist einfach Minusvektor AB.

Du schreibst also ein Minus vor den Vektor, den du gerade berechnet hast. Das Minus kannst du noch reinziehen. Dadurch ändern sich die Vorzeichen der Koordinaten.

Aus 1 wird –1, aus 2 wird –2 und aus –2 wird 2. Natürlich kannst du diesen Vektor auch wie zuvor bestimmen, indem du Ortsvektor vom Endpunkt A minus Ortsvektor vom Anfangspunkt B rechnest. Denn diesmal sind Anfangspunkt und Endpunkt ja vertauscht.

Nullvektor

Die Koordinaten des Nullvektors sind alle Null. Dieser Vektor bewirkt keine Verschiebung.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was der Nullvektor ist. Seine Koordinaten sind alle Null. In der Ebene hat jeder Vektor zwei Koordinaten.

Dort sieht der Nullvektor also so aus. Und im Raum hat jeder Vektor drei Koordinaten. Dann sieht der Nullvektor so aus.

Seine Pfeile entarten zu Punkten. Wenn du diesen Nullvektor in ein Koordinatensystem zeichnest, dann ist das nur ein Punkt und kein Pfeil. Der Nullvektor bewirkt keine Verschiebung wie die anderen Vektoren.

Wenn du ihn zum Beispiel zu einem anderen Vektor addierst, ändern sich diese Koordinaten nicht. Denn 1 plus 0 ist immer noch 1. Minus 2 plus 0 ist immer noch minus 2. Und 3 plus 0 ist immer noch 3.

Einheitsvektor

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. Hat ein Vektor nicht den Betrag 1, kannst du ihn strecken oder stauchen, um daraus einen Einheitsvektor zu machen - nur beim Nullvektor geht das nicht. In diesem Video erfährst du außerdem, wozu du überhaupt Einheitsvektoren brauchst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was ein Einheitsvektor ist und wie du ihn bildest. Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor. Seine Pfeile haben also alle die Länge 1. Du kannst jeden Vektor außer den Nullvektor normieren, sodass er genau den Betrag 1 hat.

Das bedeutet, du kannst zu jedem Vektor einen Einheitsvektor bilden, außer wie gesagt zum Nullvektor. Wie das geht, zeige ich dir jetzt. Als Beispiel nehmen wir diesen Vektor A. Der zugehörige Pfeil hat die Länge 5. Und das sind die Koordinaten des Vektors.

Das ist der zugehörige Einheitsvektor. Wie du siehst, zeigt er in die gleiche Richtung, aber hat jetzt die Länge 1. Beim Einheitsvektor wird als Index immer einen Null dran geschrieben. Hier siehst du zum Vergleich nochmal den Vektor A und den Einheitsvektor A0 nebeneinander.

Um den Einheitsvektor A0 anzugeben, schreibst du den Vektor A ab und normierst ihn durch einen bestimmten Faktor, in diesem Fall ein Fünftel. Wie man auf diesen Faktor kommt, zeige ich dir jetzt. Dazu berechnest du als erstes den Betrag des Vektors A. Schreibe eine Wurzel und darunter 0² plus 3² plus –4².

0² ist 0, 3² ist 9 und –4² ist 16. 0 plus 9 plus 16 ist 25 und die Wurzel daraus ist 5. Das ist der Betrag des Vektors A, also die Länge seiner Pfeile. Um den zugehörigen Einheitsvektor A0 zu bilden, multiplizierst du mit 1 durch diesen Betrag.

Du kannst den Vektor so stehen lassen. Das ist eine skalare Multiplikation, also eine Multiplikation von einer Zahl mit einem Vektor. Falls dich diese Schreibweise verwirrt, kannst du den Faktor auch in den Vektor ziehen.

Dazu multiplizierst du jede Koordinate mit ein Fünftel. Ein Fünftel mal 0 ist 0. Ein Fünftel mal 3 sind 3 Fünftel, beziehungsweise 0,6. Und ein Fünftel mal –4 sind –4 Fünftel, beziehungsweise –0,8.

Wenn du von diesem Vektor den Betrag ausrechnen würdest, wie hier oben, käme 1 raus. Mit Einheitsvektoren kannst du zum Beispiel folgende Anwendungsaufgabe lösen. Ermittle zwei Punkte, die auf der Gerade G liegen und vom Punkt A den Abstand 1 haben.

Unser Einheitsvektor hat ja genau die Länge 1. Wenn du ihn am Punkt A anlegst, dann befindet sich an der Pfeilspitze ein Punkt, der zu A genau den Abstand 1 hat. Nennen wir diesen Punkt mal B. Genauso kannst du auch in die andere Richtung gehen. Dann nimmst du den Gegenvektor, weil bei diesem die Pfeilspitze auf der anderen Seite ist.

Auch der Punkt C hat zum Punkt A den Abstand 1. Zum Schluss zeige ich dir noch drei wichtige Einheitsvektoren, die du dir merken solltest. Sie werden üblicherweise mit Vektor e1, Vektor e2 und Vektor e3 bezeichnet. Die zugehörigen Ortsvektoren starten im Ursprung und liegen auf den Koordinatenachsen.

Damit kannst du dich also jeweils auf einer Achse entlang bewegen oder parallel dazu.

Normalenvektor

Einen Normalenvektor bestimmst du mit dem Skalarprodukt oder dem Vektorprodukt. Du benötigst einen Normalenvektor, um eine Ebene in Normalenform bzw. Hesse'scher Normalenform anzugeben. Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, kannst du daran leicht einen Normalenvektor ablesen. Ein Normalenvektor ist orthogonal (senkrecht) zu 2 linear unabhängigen Vektoren. Was das genau bedeutet, erfährst du in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was ein normaler Vektor ist. Ist ein Vektor n orthogonal zu zwei linear unabhängigen Vektoren a und b, dann ist Vektor n ein normaler Vektor von Vektor a und b. Orthogonal bedeutet senkrecht. Die Vektoren a und b liegen hier in der Koordinatenebene, die von der x1- und x2-Achse aufgespannt wird.

Da sie nicht parallel sind, sind sie linear unabhängig. Der Vektor n stieg senkrecht auf dieser Ebene und somit auch auf den Vektoren a und b. Hier ist also ein rechter Winkel und hier auch. Deshalb ist Vektor n ein normaler Vektor zu Vektor a und b. Hier noch ein Spezialfall.

Es kann auch sein, dass jeder Vektor ein normaler Vektor der anderen beiden ist. Das trifft zum Beispiel auf die Einheitsvektoren e1, e2 und e3 zu, die auf den Koordinatenachsen liegen. Das liegt daran, dass zwischen zwei Einheitsvektoren jeweils ein rechter Winkel ist, also hier, hier und hier.

Wie bestimmt man jetzt eigentlich einen normalen Vektor? Das geht mit dem Skalarprodukt oder dem Vektorprodukt. Die Tutorials habe ich dir verlinkt.