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Punkte

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Das dreidimensionale Koordinatensystem

In diesem Video mache ich dich mit dem dreidimensionalen Koordinatensystem vertraut.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du das dreidimensionale Koordinatensystem kennen. Bisher kanntest du nur dieses Koordinatensystem. Es hat zwei Achsen, die meist mit X und Y gezeichnet werden.

Damit lassen sich nur Objekte in der Ebene darstellen, wie dieses Parallelogramm. Mit einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du Objekte im Raum darstellen, wie dieses Prisma. Dieses Koordinatensystem hat deshalb drei Achsen, die meist mit X1, X2 und X3 bezeichnet werden.

Aber auch X, Y und Z sind möglich. Die X2- und X3-Achse zeichnest du so, wie vorher die X- und die Y-Achse. Eine Einheit entspricht zwei Kästchen.

Die X1-Achse zeichnest du diagonal durch die Eckpunkte der Kästchen. Eine Einheit entspricht einem Kästchen.


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Punkte einzeichnen

So zeichnest du Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzuzeichnen. Als Beispiel zeichnen wir den Punkt P mit den Koordinaten 2, 3 und 4 ein. Du startest immer beim Ursprung.

Dann gehst du zwei Einheiten in X1-Richtung, also nach vorn. 1, 2. Von dort aus gehst du drei Einheiten in X2-Richtung, also nach rechts. 1, 2, 3. Und von dort aus vier Einheiten in X3-Richtung, also nach oben.

1, 2, 3, 4. Dort liegt der Punkt P. Ohne Hilfslinien oder andere Anhaltspunkte ist es nicht möglich, die Koordinaten von P abzulesen. Wenn man nur das sieht, könnte der Punkt nämlich genauso gut die Koordinaten 0, 2, 3 haben. Bei negativen Koordinaten gehst du jeweils in die entgegengesetzte Richtung.

Du startest wieder beim Ursprung. Jetzt gehst du zwei Einheiten entgegen der X1-Richtung, also nach hinten. 1, 2. Von dort aus gehst du drei Einheiten entgegen der X2-Richtung, also nach links.

1, 2, 3. Und von dort aus vier Einheiten entgegen der X3-Richtung, also nach unten. 1, 2, 3, 4. Dort liegt der Punkt Q.


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Besondere Lage von Punkten

Ob ein Punkt auf einer Achse oder in einer Koordinatenebene liegt, kannst du sofort an seinen Koordinaten erkennen.

Lösungsbeschreibung

So erkennst du, ob ein Punkt auf einer Achse oder in einer Koordinatenebene liegt. Sind zwei Koordinaten eines Punktes 0, dann liegt er auf einer Achse. Der Punkt A mit den Koordinaten 1, 0, 0 liegt hier auf der x1-Achse, denn seine x1-Koordinate ist 1 und die anderen beiden Koordinaten sind 0. Der Punkt B mit den Koordinaten 0, 2, 0 liegt hier auf der x2-Achse, denn seine x2-Koordinate ist 2 und die anderen beiden Koordinaten sind 0. Entsprechend liegt der Punkt C mit den Koordinaten 0, 0, 3 hier auf der x3-Achse.

Der Punkt O mit den Koordinaten 0, 0, 0 ist der Ursprung des Koordinatensystems. In diesem Punkt schneiden sich die drei Achsen. Ist eine Koordinate eines Punktes 0, dann liegt er in einer Koordinatenebene.

Hier unten ist die x1-x2-Ebene. Auf die x2-x3-Ebene schaust du direkt drauf. Und hier seitlich ist die x1-x3-Ebene.

Der Punkt D liegt in der x1-x2-Ebene, da x3 gleich 0 ist. Du gehst 1 in x1-Richtung, also nach vorn, und 2 in x2-Richtung, also nach rechts. Der Punkt E liegt in der x2-x3-Ebene.

Da x1 gleich 0 ist, du gehst 3 in x2-Richtung, also nach rechts, und 4 in x3-Richtung, also nach oben. Und der Punkt F liegt in der x1-x3-Ebene, da x2 gleich 0 ist. Du gehst 3 in x1-Richtung, also nach vorn, und von dort aus 5 in x3-Richtung, also nach oben.

Hier siehst du nochmal, dass diese Punkte wirklich in den Koordinatenebenen liegen.


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