• Einzelnachhilfe zu Hause
  • Infratest ABACUS-Nachhilfe Gut 1,8
Abacus-Nachhilfeinstitut

Differentialgleichungen aufstellen und lösen

Springe zu den Inhalten

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.


Zurück zur Übersicht

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung gibt an, wie Ableitung und Funktion zusammenhängen. Die Ableitung einer Wachstumsfunktion ist die Wachstumsgeschwindigkeit. Die Differentialgleichung gibt somit an, wie die Wachstumsfunktion und die Wachstumsgeschwindigkeit zusammenhängen. An der Differentialgleichung kannst du auch erkennen, um welche Wachstumsart es sich handelt. In diesem Video zeige ich dir, was eine Differentialgleichung ist und wie diese für exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum aussieht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie sich Wachstum mit einer Differenzialgleichung beschreiben lässt. Hier siehst du die drei Wachstumsarten exponentiell, beschränkt und logistisch mit der zugehörigen Wachstumsfunktion. Hier steht jeweils die Ableitung der Wachstumsfunktion.

Nun versucht man, die Ableitung jeweils mithilfe der Wachstumsfunktion darzustellen. Bei exponentiellem Wachstum ist das sehr leicht nachzuvollziehen. Die Wachstumsfunktion und ihre Ableitung unterscheiden sich nur durch den Faktor k. f' von x ist also k mal f von x. Eine solche Gleichung nennt man eine Differenzialgleichung.

Eine Differenzialgleichung gibt also den Zusammenhang von Ableitung und Ausgangsfunktion an. Wenn du eine Differenzialgleichung siehst, die dieser Form entspricht, kannst du sofort sagen, dass damit exponentielles Wachstum beschrieben wird. Hat die Differenzialgleichung dagegen diese Form, handelt es sich um beschränktes Wachstum und bei dieser Form um logistisches Wachstum.

Lerne die Differenzialgleichung für exponentielles und beschränktes Wachstum auswendig. Es gibt zwei typische Aufgabenstellungen. Entweder ist eine Wachstumsfunktion gegeben und du sollst die zugehörige Differenzialgleichung angeben oder genau umgekehrt.

Die Wachstumsfunktion wird dann als Lösung der Differenzialgleichung gezeichnet. Wie du solche Aufgaben löst, siehst du in den folgenden Videos.


Zurück zur Übersichtnoch oben

Differentialgleichungen lösen / Beispiel 1: Exponentielles Wachstum

Bei einer Differentialgleichung kennst du weder die Funktion f(x), noch ihre Ableitung f′(x). Du weißt nur, wie die beiden zusammenhängen. Damit sollst du die Funktion f(x) bestimmen. Diese wird als Lösung der Differentialgleichung bezeichnet. Zusätzlich wird ein Anfangswert gegeben, um die Funktion eindeutig angeben zu können.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lösen wir eine Differentialgleichung. Die Aufgabe lautet, gib die Lösung zu der Differentialgleichung f' von x gleich 0,4f von x und dem Anfangswert f von 0 gleich 2 an. Diese Differentialgleichung beschreibt exponentielles Wachstum.

Denn die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum sieht so aus. Das solltest du auswendig wissen. k ist bei uns 0,4.

Die Wachstumsfunktion bei exponentiellem Wachstum sieht so aus. Auch das solltest du auswendig wissen. k ist dieser Faktor.

Bei uns ist das also 0,4. Jetzt müssen wir nur noch das c bestimmen. Dazu ist der Anfangswert gegeben.

Ohne diesen könnten wir c nicht bestimmen. Damit geht es auf der nächsten Seite weiter. Die Wachstumsfunktion sieht also so aus und uns fehlt noch das c. Als Hinweis ist in der Aufgabe der Anfangswert f von 0 gleich 2 gegeben.

Bilde daher f von 0. Dazu setzt du hier und hier für x,0 ein. 0,4 mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist 1. 10 mal 1 ist c. f von 0 ist 2. Somit ist c gleich 2. Das setzt du jetzt hier ein und schon hast du die Lösung der Differentialgleichung bestimmt. Diese Funktion beschreibt exponentielles Wachstum.


Zurück zur Übersichtnoch oben

Beispiel 2: Beschränktes Wachstum

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lösen wir noch eine Differentialgleichung. Die Aufgabe lautet, gib die Lösung zu der Differentialgleichung f' von x gleich 0,1 mal 2 minus f von x und dem Anfangswert f von 0 gleich 0 an. Diese Differentialgleichung beschreibt beschränktes Wachstum.

Denn die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum sieht so aus. Das solltest du auswendig wissen. k ist bei uns 0,1 und s ist bei uns 2. Die Wachstumsfunktion bei beschränktem Wachstum sieht so aus.

Auch das solltest du auswendig wissen. k ist dieser Faktor. Bei uns ist das also 0,1.

s ist die Schranke 2. Jetzt müssen wir nur noch das c bestimmen. Dazu ist der Anfangswert gegeben. Ohne diesen könnten wir c nicht bestimmen.

Damit geht es auf der nächsten Seite weiter. Die Wachstumsfunktion sieht also so aus und uns fehlt noch das c. Als Hinweis ist in der Aufgabe der Anfangswert f von 0 gleich 0 gegeben. Bilde daher f von 0. Dazu setzt du hier und hier für x 0 ein.

Minus 0,1 mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist 1. c mal 1 ist c. f von 0 ist 0. Bringe nun c rüber. c ist somit gleich 2. Das setzt du jetzt hier ein und schon hast du die Lösung der Differentialgleichung bestimmt. Diese Funktion beschreibt beschränktes Wachstum.


Zurück zur Übersichtnoch oben

Differentialgleichung bestimmen / Beispiel 1: Exponentielles Wachstum

Umgekehrt kann auch die Wachstumsfunktion gegeben sein. Dann sollst du ihre Ableitung mit Hilfe der Funktion selbst darstellen. Diese Darstellung ist die gesuchte Differentialgleichung.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, selbst eine Differentialgleichung aufzustellen. Die Aufgabe lautet, gib zur Funktion f mit f von x gleich 4 e hoch 0,5x eine Differentialgleichung an. Diese Funktion beschreibt exponentielles Wachstum, denn die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum sieht so aus.

Das solltest du auswendig wissen. c ist bei uns 4 und k ist bei uns 0,5. Die Differentialgleichung bei exponentiellem Wachstum sieht dann so aus, auch das solltest du auswendig wissen.

k ist diese Zahl, bei uns ist das also 0,5. Das ist schon die Lösung der Aufgabe. Diese werden wir jetzt noch Schritt für Schritt rechnerisch herleiten.

Hier siehst du nochmal die gegebene Wachstumsfunktion. Diese leitest du nun ab. Der Faktor 4 bleibt beim Ableiten erhalten.

e hoch 0,5x leitest du mit der Kettenregel ab. Die äußere Ableitung ist wieder e hoch 0,5x. Die innere Funktion ist 0,5x.

Die Ableitung davon ist 0,5. Alles wird miteinander multipliziert. 4 mal 0,5 ist 2. Die Ableitung ist somit 2e hoch 0,5x.

Nun versuchst du, einen Zusammenhang zwischen dem und dem herzustellen. Das ist zum Glück einfach. 4 ist das Doppelte von 2. Nimm die Funktion daher mal ein Halb bzw.

mal 0,5. Das muss immer die gleiche Zahl sein wie hier, also k. Das sind dann 0,5 mal 4e hoch 0,5x. 0,5 mal 4 macht 2. Und das ist genau die Ableitung f' von x. f' von x ist also 0,5 mal f von x. Das ist die gesuchte Differenzialgleichung.

Diese beschreibt exponentielles Wachstum.


Zurück zur Übersichtnoch oben

Beispiel 2: Beschränktes Wachstum

Lösungsbeschreibung

In diesem Video übst du nochmal, eine Differentialgleichung aufzustellen. Die Aufgabe lautet, gib zur Funktion f mit f von x gleich 100 minus 50 e hoch minus 0,1x eine Differentialgleichung an. Diese Funktion beschreibt beschränktes Wachstum, denn die Funktionsgleichung für beschränktes Wachstum sieht so aus.

Das solltest du auswendig wissen. s ist bei uns 100, c ist bei uns 50 und k ist 0,1. Die Differentialgleichung bei beschränktem Wachstum sieht so aus.

Auch das solltest du auswendig wissen. k ist diese Zahl. Bei uns ist das also 0,1.

Und s ist 100. Das ist schon die Lösung der Aufgabe. Diese werden wir jetzt aber noch Schritt für Schritt rechnerisch herleiten.

Hier siehst du nochmal die gegebene Wachstumsfunktion. Diese leitest du nun ab. Die Zahl 100 fällt beim Ableiten weg.

Der Faktor 50 und das Minus davor bleiben beim Ableiten erhalten. e hoch minus 0,1x leitest du mit der Kettenregel ab. Die äußere Ableitung ist wieder e hoch minus 0,1x.

Die innere Funktion ist minus 0,1x. Die Ableitung davon ist minus 0,1. Alles wird miteinander multipliziert.

Minus mal Minus ist Plus. Ein Plus lässt man weg. Und 50 mal 0,1 ist 5. Die Ableitung ist somit 5e hoch minus 0,1x.

Nun versuchst du einen Zusammenhang zwischen dem und dem herzustellen. Bei beschränktem Wachstum ist das nicht so einfach. Deshalb ist es hier wirklich nützlich, vorher zu wissen, dass das rauskommen muss.

Bei beschränktem Wachstum bildest du zuerst s minus f von x. Die Schranke s ist 100. Das macht dann 100 minus und dann schreibst du die Funktion ab. Die musst du in Klammern setzen.

Nun löst du die Klammer auf. 100 minus 100 fällt weg. Minus mal Minus ergibt Plus.

Und ein Plus lässt man auch weg. Das sind also 50e hoch minus 0,1x. Das sieht schon fast aus wie die Ableitung.

Nur, dass wir vorne eine 5 brauchen und keine 50. Das ist aber schnell gelöst, indem du einfach mit 0,1 multiplizierst. Das musst du dann natürlich auch auf der anderen Seite machen.

Und den Rest dazu in Klammern setzen. Tipp, das muss immer K sein, also diese Zahl. 0,1 mal 50 ergibt wie beabsichtigt 5. Somit steht hier die Ableitung f' von x. f' von x ist also 0,1 mal in Klammern 100 minus f von x. Das ist die gesuchte Differentialgleichung.

Diese beschreibt beschränktes Wachstum.


Zurück zur Übersichtnoch oben

Umfangreiche Textaufgabe

Mit dieser Textaufgabe kannst du das Gelernte üben und die Lösung als Muster für ähnliche Aufgaben verwenden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lösen wir eine umfangreiche Textaufgabe zu Differentialgleichungen. Die Aufgabe lautet, ein Patient erhält eine Tropfinfusion. Pro Minute gelangen dabei 4 ml des Medikaments in sein Blut.

Gleichzeitig baut sein Körper pro Minute 5% der gerade vorhandenen Menge ab. Aufgabe A, beschreibe die Menge des Medikaments im Blut durch eine Differentialgleichung. Aufgabe B, wie groß ist die momentane Änderungsrate, wenn das Blut 30 ml des Medikaments enthält.

Aufgabe C, welcher Wachstumsart entspricht die Differentialgleichung. Aufgabe D, gib die Lösung der Differentialgleichung an. Und Aufgabe E, beschreibe wie sich die Menge des Medikaments mit der Zeit verändert.

Nun gehen wir die Aufgaben der Reihe nach durch. Aufgabe A lautete, beschreibe die Menge des Medikaments im Blut durch eine Differentialgleichung. Dazu überlegst du dir folgendes.

Die Menge nimmt zu und gleichzeitig ab. Die Zunahme sind 4 ml pro Minute. Die Abnahme sind 5% der gerade vorhandenen Menge pro Minute.

Eine Differentialgleichung beginnst du immer mit der Ableitung, also f' von T. Die Ableitung ist die momentane Änderungsrate. Diese ergibt sich aus der Zunahme minus der Abnahme. Die Zunahme beträgt 4 ml pro Minute.

Die Einheiten lässt du weg und schreibst hier die 4 hin. Die Abnahme beträgt 5% der gerade vorhandenen Menge. Für 5% schreibst du 5 Hundertstel.

Die gerade vorhandene Menge ist f' von T. 5 Hundertstel sind 0,05. Das ist eine Differentialgleichung, die die Menge des Medikaments im Blut beschreibt. Kommen wir zur Aufgabe b. Wie groß ist die momentane Änderungsrate, wenn das Blut 30 ml des Medikaments enthält? Die gerade vorhandene Menge sind also 30 ml.

Das ist f' von T. Einheiten lässt du aber weg. Die momentane Änderungsrate ist ja die Ableitung. Und die hast du gerade mit dieser Differentialgleichung ausgedrückt.

Hier setzt du für f' von T nun einfach die 30 ein. 0,05 mal 30 ist 1,5. Und 4 minus 1,5 ist 2,5.

Im Antwortsatz schreibst du die Einheit dazu. Die momentane Änderungsrate beträgt dann 2,5 ml pro Minute. Eine Rate hat immer einen Zeitbezug, in diesem Fall pro Minute.

Kommen wir zur Aufgabe c. Welcher Wachstumsart entspricht die Differentialgleichung? Das war die Differentialgleichung, die du in Aufgabe a bestimmt hast. Hier siehst du sie nochmal und dazu die Übersicht aus dem ersten Video. x heißt bei uns allerdings T. Nun musst du herausfinden, ob die Differentialgleichung dieser Form, dieser Form oder dieser Form entspricht.

Auf den ersten Blick könnte beschränktes Wachstum passen, wenn du 0,05 ausklammerst. Wenn du das machst, bleibt hier f von T übrig. Und hier kannst du einfach durch 0,05 teilen, damit sich das wieder ausgleicht.

4 geteilt durch 0,05 ist 80. Jetzt hat unsere Differentialgleichung tatsächlich die Form für beschränktes Wachstum. k ist bei uns 0,05 und die Schranke s ist 80.

Die Differentialgleichung beschreibt also beschränktes Wachstum. Kommen wir zur Aufgabe d. Gib die Lösung der Differentialgleichung an. Hier ist also die zugehörige Funktion f von T gesucht.

Da wir schon wissen, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt, nimmst du einfach die allgemeine Formel dafür. Diese siehst du zum Beispiel hier. Nur, dass wir T statt x haben.

Und nun setzt du für k 0,05 ein und für s setzt du 80 ein. Jetzt fehlt nur noch das c. Das bekommst du, wenn du den Anfangswert einsetzt. Am Anfang ist T gleich 0. Am Anfang ist noch gar nichts von dem Medikament im Blut.

Also ist f von 0 gleich 0. Setze nun hier für T 0 ein. 0 mal irgendwas ist 0 und e hoch 0 ist 1. c mal 1 ist c. Das ergibt 80 minus c. Nun bringst du noch das c rüber und tausch die Seiten. c ist somit 80.

Das setzt du nun hier ein und schon hast du die Lösung der Differenzialgleichung bestimmt. Kommen wir zur letzten Aufgabe. Beschreibe, wie sich die Menge des Medikaments mit der Zeit verändert.

Wie wir schon herausgefunden haben, wächst die Menge beschränkt. Die Schranke S sind 80 ml. Standardmäßig kannst du dafür folgende Beschreibung nutzen und diese einfach auf die jeweilige Aufgabe anpassen.

Die Menge des Medikaments nimmt anfangs am schnellsten zu und dann immer langsamer. Bei Annäherung an die Schranke 80 ml geht die Zunahme gegen 0.


Zurück zur Übersichtnoch oben